共建有效课堂

师生互动共建有效数学课堂邵阳市教育科学研究院魏燕娟

数学课程改革的三个发展阶段

●激情阶段☆●困惑阶段☆●务实阶段

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跨入21世纪，中国迎来教育大变革的时代，百年难遇。……能够亲历大的变革是我们的一种幸运。“人生能有几回搏？”……愿我们在改革的风浪中搏击，在改革的潮头上冲浪……20年后，历史将会记得你在大变革中的英勇搏击。☆

——张奠宙，“在改革的潮头上”，《小学青年教师》，2002年第五期，卷首语作为一名教研员，我常常体会到一线教师在课堂教学中确实遇到了不少困惑。目前，教师要上出一堂大家都认为好的课，真难！如果课上不注重情境设置、与生活联系、运用小组合作学习，评课者就会说上课教师“教育观念未转变”，“因循守旧”；如果课上注意了这些，评课者又很可能说“课上得有点浮”，“追求形式”。教师往往处于两难的境地。☆—谢惠良，“把握实质，用心选择”，《小学数学教学》，2006年第五期新课程改革进行到现在，专家们众说纷纭，我们也莫衷一是。还好，真正每天在教室里和新课程打交道的，站在讲台上能够决定点什么的，和孩子们朝夕相处的，还是我们一线教师，而教育变革的最终力量可能还是我们这些“草根”。—潘小明，“‘数学生成教学’的思考与实践”，《小学青年教师》，2006年第十期小学数学课堂教学的现状分析1．学生的改变（1）学生变得爱学习了（2）学生综合素质明显提高了◆学生识字量增大了、阅读能力提高了◆学生搜集信息和处理信息的能力提高了◆学生交流和表达能力提高了◆学生质疑创新能力提高了◆学生动手实践能力提高了`2．教师的转变（1）教师的观念变了（2）教师的角色变了3．课堂教学的改变（1）课堂教学目标变了◆把过程方法视为课堂教学的重要目标，从而从课程目标的高度突出了过程方法的地位◆关注学生的情感生活和情感体验，努力使课堂教学过程成为学生一种愉悦的情绪生活和积极的情感体验（2）课堂教学活起来了

充满欢乐的课堂不见得是一个优质课堂，但缺乏欢乐，令人枯燥乏味的课堂一定不是成功的课堂。◆运用教材比较肤浅,缺乏有深度的教学内容

◆未能有效地引导学生进行数学地思维,使学生的独立思考能力培养不到位◆合作学习在很大程度上仍流于形式

◆忽视了数学学科的本质,过多追求数学课的趣味性、新颖性,不利于学生对知识的掌握对课堂教学有效性的认识1．有效教学提出的背景

在20世纪以前，在西方的教育理论中占主导地位的教学观是“教学是艺术”，持这种观点的人认为：影响教学过程的因素是复杂的多方面的，每个教师的情况不同，每个班学生的情况不同，所以教学是无规律可循的，是难以用科学的方法进行研究的。教学只能是一种教师个性化的、没有“公共的方法”的行为，是一种“凭良心行事”的、“约定俗成”的行为。

随着20世纪以来科学思潮的影响，以及心理学特别是行为科学的发展，人们才逐步意识到，教学不仅是一种艺术，也是一门科学。有效教学的理念正是源于20世纪上半叶西方的教学科学化运动，它是“教学是艺术还是科学”之争的产物。

２．什么是课堂教学有效性◆从专业角度说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展。◆通俗地说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学活动，学生在学业上有收获，有提高，有进步。具体表现在：学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。３．评价课堂有效性的指导思想◆课堂教学的有效性虽然表现在不同层次上，但学生是否有进步或发展是衡量教学有效性的唯一指标。◆教学的有效性要关注学生的发展，从时间上来说，学生的发展有当下发展和终身发展。◆有效教学的核心问题就是教学的效益问题。提高课堂教学有效性的策略一、建立融洽的师生关系◆解放思想，树立新型教师观

◆巧用策略，营造民主、平等的师生关系氛围

二、做好课前设计

1.学情调研的策略

学情调研的核心任务是把“教材问题”转化为“学生学习教材时的问题”。☆◆问卷调研，准确全面◆随机访谈，以点带面◆课堂观察，及时查补

课堂观察获取的信息主要是包括全体学生的学习状态、对知识理解的速度和深度、学生的错误和争议等。◆作业分析，正确归因☆

◆每一位老师都要充分认识到学情调研的价值，把对学生的关注落实到日常教学中，而不仅仅是在一些研究课上或教学设计评比中体现。◆学情调研要本着实事求是的态度进行，学情调研的目的是为了解决教学中的真问题，不是为了达到某种效果，而人为干预数据。◆学情调研不只局限在知识、方法的层面，对于学生在情感、态度方面的情况也要进行调研。关于学情调研的几点建议2.制定教学目标的策略存在的问题◆缺少全面性数学的基础知识---后续学习的基础

数学的基本技能---正确,规范,迅速数学的基本思想---数学最本质的东西

数学的基本活动经验---解决不同类问题时有不同的策略◆缺乏针对性

数学课程的基本目标分为四个方面：知识技能、数学思考、解决问题、情感态度认真学习课程标准１．数学学习的目标——准确定位◆明确目标动词的内涵

◆选择目标动词，为课堂教学准确定位结果性目标：了解（认识）、理解、掌握、灵活运用过程性目标：经历（感受）、体验（体会）、探索２．四个课程内容的核心概念——落脚点数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践◆深入理解核心概念

数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、

运算能力、推理能力和模型思想等

为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别

注重发展学生的应用意识和创新意识

◆反映核心价值观，使课堂教学意义深远☆

深入解读教材◆整体把握知识之间的内在联系

☆◆真正读懂教材的编写意图☆

◆充分挖掘教学内容蕴含的数学“大思想”☆准确了解学情

★

不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师。

——徐利治

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。

《标准》中“数学的基本思想”主要指：数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。数学抽象的思想派生出的有：

分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。数学推理的思想派生出的有：

归纳的思想；演绎的思想；公理化思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。数学模型的思想派生出的有：简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。

常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。☆关于制订教学目标的几点建议◆一个前提——领会课程标准的精神

◆一个基本——读懂教材

◆一个意识——研究学生

3.设计探究学习的策略选择适合且需要的教学内容是探究的前提

◆教学内容是否直观

◆教学内容是否是旧知识的“生长点”或新旧知识的“连接点”

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◆教学内容是否能用已学的方法进行处理

◆教学内容是否属于探索规律

◆教学内容的解决方法和结果是否开放

☆精心设计探究问题是关键

1．好的问题要有好的载体

◆利用生活中真实存在的问题☆◆改造生活问题◆利用蕴含数学文化的问题☆

◆利用新颖的呈现形式２．问题本身要难易适度３．问题设计要有层次制订探究计划是保证１．精心准备探究材料２．精心设计探究学习的组织形式◆个人独立探究☆◆小组合作探究◆班级集体探究３．设计适当的探究时间和空间

关于设计探究学习的几点建议◆在不同年龄的教学中，要使探究学习与学生的年龄特点得到很好的结合◆把握好学生的自主探究与教师的适度指导之间的关系★案例：5、2的倍数的特征（老师在黑板上写出若干个数：685、3202、18500……）师：这些数都很大，我能不计算就知道哪个是5的倍数，哪个是2的倍数！（老师故意显得很“牛”的样子）（许多学生高高举手齐说“我也能，我也能……”）（老师略微迟疑，指名回答）生１：685、18500……是5的倍数，3202、18500……是2的倍数。师：他说得对吗？生2：对，因为个位上0,2,4,6,8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。我还知道个位是0的数既是2的倍数也是5的倍数。（很多学生回应表示同意）……☆

案例倍数师：森林运动会上，小猴啦啦队队员的数量是小狗啦啦队的2倍，请你们自己用学具摆一摆。（学生动手摆）（学生汇报）生1：小狗摆2只，小猴摆4只。生2：小狗摆3只，小猴摆6只。

……师：他们摆的对吗？师：你们摆的不一样，为什么都是对的呢？有没有相同的地方？生：都是２倍，这种关系是一样的。师：这里的“２”到底是一个什么样的数？还是数量吗？生：不是数量了。

……

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能在具体事例中，知道或能举例说明字母式子的意义；在理解字母式子意义的基础上，能够在新的情境中初步用字母式子表示数或数量关系；在参与用字母表示数的数学活动中，在具体情境中初步认识字母式子的特征，获得用字母表示数的初步经验，体会符号简明、概括与抽象的特点。☆案例：立体图形的复习教学目标：①整理复习立体图形的特征、表面积和体积，利用表面积和体积的知识解决简单的实际问题。②联系所学过的立体图形的知识，形成知识网络，使学生对知识有更深入的理解。③对学生进行解题策略的指导，培养学生灵活应用所学知识解决问题的能力及良好的审题习惯。◆出示各种立体图形，说出特征，梳理成表格◆复习表面积、体积概念、回忆计算公式及推导过程，将概念和计算方法进行区分◆进行大量解题训练

案例：立体图形的复习教学目标：①对立体图形的特征、表面积、体积的知识进行梳理，形成知识网络，利用表面积和体积的知识灵活解决简单的实际问题。②通过猜一猜、选一选、想一想等活动，在猜想、判断、说理的过程中，复习图形知识，发展空间观念。③通过灵活的练习形式，感受数学与生活的密切练习，培养对数学的兴趣。从正面观察：判断它们分别是什么形体，并说出各自的特征。①①①②②②③③③从左面观察：从上面观察：第一个环节◆猜一猜：有3个立体图形分别标有①，②，③。◆选一选从下面的8个长方形中选出6个组成长方体。◆想一想：这些立体图形是怎样形成的？在学生想象的基础上，教师用课件演示将平面图形平移、旋转形成立体图形。闭眼想一想，这个长方体什么样？①②③④⑤⑥⑦⑧12cm10cm10cm10cm12cm10cm10cm10cm23cm23cm23cm23cm17cm17cm12cm12cm

第二个环节◆选一选，每个算式分别计算的是哪个立体图形的表面积。①（4×3+4×2+3×2）×2②6×11×4+6×6×2③8×8×6④2×3.14×3×5+3.14×32×2◆想一想：每个图形什么样，有多大？（进而引出有关体积的复习）……

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案例百以内数的加减法①②④③☆案例多边形面积的计算案例多边形面积的计算

教学目标：通过操作，理解并掌握平行四边形面积公式及推导过程，应用公式解决简单的实际问题；经历动手实践和自主探索的过程，感悟转化与对应的数学思想和方法；体会数学探索带来的乐趣，激发热爱数学的兴趣。☆案例小数乘法◆能不能把小数乘法转化成已学过的整数乘法进行计算？◆怎样确定积的小数点位置？☆案例植树问题

◆提出问题，产生争议。在长1000米的小路一侧每隔10米种一棵树，一共要准备多少棵树苗？

◆利用学具，进行探究。在植树问题中棵树和间隔数之间有什么关系呢？

☆案例①准备一些高约13厘米，底面直径约5.5厘米的易拉罐，让学生动手测量并计算用料和容积。②出示下面这个形状的包装，并提出问题：

13厘米

5.5厘米◆两个包装各有什么特点？猜一猜，它们有什么相同点？有什么不同点？◆从商家角度考虑，讨论到底哪个更合算。◆这两种不同形状的包装在实际生活中各有什么用途呢？☆☆三、教学过程调控1.提问的策略

◆为促进学生理解而提问，使学生开动脑筋☆◆利用追问使学生理解概念本质☆

◆为了解学生需求而提问，让学生产生学习愿望☆◆通过反问与追问培养学生的逆向思维☆

案例平均数学生在老师的引导下，掌握了计算平均数的方法，并算出甲队拍球的平均数是14个，乙队拍球的平均数是12个。师：12个表示什么？生：表示乙队拍球的平均数。师：你怎么认识“12”这个数？生1：我拍了13个，把多的一个给其他队员了。生2：我拍了14个，把多的2个给了拍8个的队员了。生3：我很高兴，本来我只拍了8个，他们给我增加了4个。师：你们的意思是说，把多的给少了，这样就……

生：平均了。（让学生根据自己的体会描述对平均数意义的理解，在这个基础上吴老师进行了总结：12就是８、13、14、13这一组数的平均数，它比较好地表示了这一组数据的总体水平）师：当人数不相等，比总数不公平时，是谁出现在我们的课堂？生：平均数。师：此时此刻，你不想对平均数发自内心地说两句吗？生1：平均数啊，你很公平。生2：平均数，你使不公平的事变公平了。☆

案例圆的认识师：我们描述图形的特点的时候一般要和以前学过的图形作比较。以前我们学过三角形、正方形等。我们以前描述图形的时候往往从“边”和“角”两个角度说明，那么从“边”和“角”的角度来看，圆有什么特点呢？生：它既没有棱也没有角。师：同意吗？同意的请点点头，她说圆没有棱也没有角，对吗？生：对。师：没有棱是什么意思？生：没有棱是说没有边，它不像正方形有四条边。师追问：那它没有边吗？生：不是，有边。师：有边，几条边。生：1条。师：那你们说圆的边和我们以前学过的图形有什么不同呢？生：以前学过的图形的边是直线（线段），而圆的边是曲线构成的。师：看来我们从角来看，圆是没有角的。从边上来看，圆有没有边？生：有。师：有几条边？生：一条边。师：这是圆很特别的地方。其他图形最起码有3条边，而圆只有1条边。并且它的边怎样呢？生：是曲线的。师：对，是曲线的。其他的图形是直线或者说是线段围成的。师：圆，我们从边和角来看是这样的特点。“墨经”中有这样的记载：圆，一中同长也。知道这句话是什么意思吗？一中指什么？生：同心。师：同长，什么同长？生：半径（直径）。师：半径同长，有人说直径也同长。同意古人的说法吗？生：同意。师：难道说正三角形、正四边形、正五边形不是“一中同长”吗？为什么不是呢？生：这些图形的中心到边上各点的距离不相等。师：那圆呢？生：圆心到圆上各点的距离是一样的。师：对，圆上各点到圆心的距离是相等的，这是圆的本质特征。☆

案例估算师：这节课，咱们一起学习估算知识。（板书：估算）师：在学习估算时，你有什么问题要问？生1：怎样去估算？生2：估算注意些什么？生3：估算有什么有的方法？生4：估算有什么用？生5：估算用在哪里？师：你们遇到过什么地方用估算，什么地方要精确计算吗？☆

案例生活中的负数师：就像他说的，人们在记录时为了简便把正数前面的正号省略不写，但去掉正号之后，这个数依然是正数。那么同学们，如果我们把这些正号都去掉的话，那这些数我们熟不熟悉呀？生齐答：熟悉。师：正数就是我们以前学过的数。师：刚才我们说正号可以省略不写，那把负号也省略掉行吗？生齐答：不行。师：为什么不行？多简单呀！生：这样就变成正数了。师：那也就没区分开这些意义相反的量，是这样吗？生齐答：是。2.理答的策略◆教师要学会等待，促进学生反省和深思☆

◆重复学生的语言，突出教学重点☆

◆转向，扩大学生参与广度☆

案例质数与合数师:同学们再想一下，如果有12个小正方形，你能拼出几个不同的长方形？我看到许多同学不用画就已经知道了。生1：能拼出三个不同的长方形。师：是怎样的三个呢？生1：“长是12，宽是1”、“长是6，宽是2”和“长是4，宽是3”三个不同的长方形。师：你们能想象出拼成的这些长方形吗？生2：第一种是把这12个正方形摆成一排；第二种是每排摆6个，摆2排；第三种是每排摆4个，摆3排。师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数会怎样呢？学生几乎是异口同声地说：会越多。师（装作没有听清楚）：你们是说，给出的正方形个数越多，拼出的长方形的个数……（学生再次清楚又响亮地回答“越多”）（此时，教师一声不吭，保持着沉默。课堂一下子安静了下来，学生认真地思考着……又过了一会，学生中开始有点“骚动”，渐渐地，一些学生高举手…）

生1：不一定的。师（故意重复）：他说不一定，对吗？其他一些学生更加坚定而响亮地回答“对！”师：说话得要有根据呀！（学生的情绪更加激动）生：刚才4个小正方形能拼出两个不同的长方形，如果用5个小正方形只能拼出1个。如果按潘老师的说法，5个正方形拼出的不同的长方形应该不止一个2个，所以这话是错误的。师：同学们听明白了吗？他说得好不好？(学生回答“好”)师：我觉得他说得还不太好，他说“潘老师说的”，我什么时候说过“小正方形个数越多，拼出的长方形个数也越多”这话，这可是你们说的呀。不过，你们觉得刚才这位同学举的例子好不好？生：好！师：一个例子就把你们刚才的结论给否定了。多有说服力的反例！师：同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种？（学生思考着，之后相互之间展开了热烈的讨论。）☆案例一位数乘两位数师：两只猴子一共采了多少个桃子？怎么列式解答呢？生1:14+14。生2:14×2。生3:2×14。师：那这道题你是怎么算的呢？同桌间可以商量一下。（学生交头接耳进行讨论）师：谁来说说你是怎样想出结果的？生1：我使用14+14，得到28的。生2：我是看图，右边框里一共是8个，左边框里一共是20个，合起来是28个。生3：我是用乘法来想的，10乘2等于20,4乘2等于8,20加8等于28.生4：我的想法和他们不一样。14是2个7，，乘2后就是4个7，四七二十八。师：哦，你这种想法真好！师（指着屏幕）：刚才有位同学说4乘2等于8，其实就是指哪一部分呀！生：是图上右边的那两个筐里的8个桃。师：那么计算左边两个筐里的桃子就是算什么呢？生：10乘2等于20。师：刚才我们先算了个位上的，再算了十位上的，接下来该怎么办呢？生：相加。师：是啊，要把右边筐里的和左边筐里的桃子都相加，就可以算出一共有桃多少个。☆师：估计谁能赢呢？（学生陷入思考，约10秒钟后陆续举手）生1：淘气赢。因为淘气有两次比笑笑多（用手指指第一次和第三次），而笑笑只有一次比淘气多（有的同学眼睛一亮，若有所思）。师：同意吗？生2：不对。虽然淘气有两次多，可一共加起来（加起来的和）并一定就多。师：（一女孩高高举起了手）小姑娘，你说说。生3：就是淘气赢，因为第一次淘气比笑笑多一分，第二次笑笑比淘气多一分，那么，他们就一样多了。第三次淘气比笑笑多，所以淘气会赢师：谁听明白了？（有接近一半的孩子摇头）（一学生一边高举小手一边喊“我，我”，得到允许后跑上讲台。）生4：刚才那位同学说的是这样的，第一次、第二次后淘气和笑笑的总分一样多，前两次就平了。关键看第三次，第三次淘气多。所以淘气会赢。师：“关键”这个词用得特别好，分析得也不错。关于提问和理答的几点建议一、对设计问题的建议

◆教师设计的问题要给学生留有探索的空间，要能激发学生的积极思维，并符合学生的认知水平。

◆教师设计问题要有针对性，要依据每节课的教学目标、重难点，以及学生原有的认知结构设计问题。◆教师要设计追问。如果说一开始的设问可以启发学生观察，引导学生产生认知冲突，那么，在教学过程中教师对某一问题的追问，可以让学生理解概念的本质。◆教师要设计一些反思性问题促进学生反思。二、对教师理答的建议◆教师要关注学生发言，并进行理答，杜绝错误理答和不理答现象。◆教师要适时地采用追问的理答方式，引发学生的深入思考。

◆教师要适时地采用问题转向的理答方式，创设交流研讨的学习氛围。3.利用生成性资源的策略◆直面生成“越位”，将学生思维引向深入☆

◆建立联系的观点，让生成“殊途同归”☆

◆树立发展的观念，让生成成为创造的起点☆◆设计好的问题情境，让生成在意料之中◆加强“软”设计，宽容地接纳生成◆对“生成”做理智的分析与筛选利用生成性资源的几点建议谢谢

案例平行四边形的面积片断一师：今天我们来学习平行四边形面积的计算。生：老师，我知道！（一个学生率先举手生：老师，我也知道！（又有八九个学生紧随其后并嚷起来，课堂上显得有些热闹。（老师有些慌乱，但很快调整了自己的心态，面带微笑与学生商量。）师：同学们真聪明，有什么想法我们等会儿再交流行吗？（经老师一商量，举手的学生都放下了自己的小手，教师也如愿有条不紊按照原计划进行了后面的教学）片断二师：今天我们来学习平行四边形面积的计算。生：老师，我知道！（一个学生率先举手）师：你想说什么？生1：老师，我知道平行四边形的面积=底×高。生2：我知道平行四边形的面积公式是把一个平行四边形沿着高剪开，拼成一个长方形后推导出来的。生3：老师，长方形面积可以用长×宽，平行四边形的面积为什么不能用底乘邻边呢？（老师把刚才学生中有价值的问题在黑板上进行整理后，引导学生思考）师：同学们真善于发现和思考问题，其实这些问题我们只要亲自动手试一下，就能悟出其中的为什么，找到你需要的答案。（师生带着问题共同参与到探索、验证的活动中去）☆案例平行四边形的面积案例分数的基本性质片断一

案例分数的基本性质片断二（学生同样经历了片断一中发现相等的分数，写出几个和这个分数大小相等的分数，并把发现的规律用算式表示出来的过程，然后进行全班交流。）生1：我发现的规律是，分子每次都加3，分母每次都加4。（教师按照回答，把6/8改写成3+3/4+4。）师：那12/16是怎样通过分子每次都加3，分母每次都加4得到的？生1：3+3+3+3/4+4+4+4…（教师进一步往下写，学生齐喊：老师，这太麻烦了！）生2：我是把分子和分母都乘同一个数，如3/4，我把分子3乘2，分母4乘2，这样也可以得到6/8。12/16就是把3/4的分子和分母都乘4。（教师在黑板上写上了学生的第二种发现。）师：想想看，这两种发现之间有没有联系？生3：3+3/4+4就是3/4的分子