概率模型的确立基于样本空间概念的教学思考 论文_第1页
概率模型的确立基于样本空间概念的教学思考 论文_第2页
概率模型的确立基于样本空间概念的教学思考 论文_第3页
概率模型的确立基于样本空间概念的教学思考 论文_第4页
概率模型的确立基于样本空间概念的教学思考 论文_第5页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

概率模型的确立——基于样本空间的概率教学的思考魏乃智(安徽省临泉第一中学236400)摘要:一般把样本点定义为随机试验的一个基本结果.在同一个试验背景下,能否根据问题人为规定样本点存在着争议.本文围绕争议对象的定义,概念发展历史,争议的本质,以及利用样本点和基本事件两个概念定义“结果”进而解决这些矛盾展开研究.在中学阶段,围绕样本空间的概率教学,本文认为有必要重新区别定义基本事件和样本点:对于同一个随机试验,将无论何观测角度去观测,都不能再分解的基本结果叫作样本点,把在一定问题情境下不必再分解的基本结果叫作基本事件,基本事件看作是由样本点映射而成的事件,基本事件的集合我们称映射样本空间或基本事件空间.这样在同一个试验背景下,样本空间唯一确定下来,根据不同问题,我们可以在样本空间基础上找到合适的基本事件空间建立不同的概率模型以方便问题的解决.关键词:基本事件样本点样本空间基本结果基本事件空间1古典概型计算的争议建立不同的概率模型去计算某一个随机事件的概率.一种观点认为样本空间是基于随机实验的,给定了随机实验,样本空间就随之而定.掷一次硬币样本空间则为{正面,反面},抛一次骰子,则样本空间则为{点数为1,点数为2,点数为3,点数为4,点数为5,点数为6}.6只有两个样本点,若把点数除3所得得余数看成一个基本结果,则样本空间有3个样本点.一般来说有争议,找定义[1],样本空间的定义又是什么?2样本点没有统一定义北师大版必修3[2]旧版本中把试验每一个可能的结果称为基本事件.而在新《数学课程标准》[3]和本事件.类似定义也可见高等数学的教材[4]:点组成的集合称为随机事件,样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件。很多教材都是按照上述方式定义的.虽然定义了每一个可能的试验结果为样本点,但是并没有定义什么才是试验的结果?试验结果是基于观测者的角度还是试验呈现的角度?能否人为规定?参见另一种定义,在《概率论及其应用》[5]一书,则认为样本点犹如几何中的点一样是不定义的,而把不可分解的简单事件(理想)试验的每一个不可分解的结果可用一个且只能用一个样本点来表示,试验中一切事件都应可以用样本点来表示.样本点是随机结果中不可分解的一个结果.这种定义方式可以使试验结果以试验而定下来.以掷一次骰子,结果只能是6个,从5个除颜色不同其它完全相同的小球摸出一球,无论颜色如何结果也都只能是5个,样本点的个数是根据随机试验定下来了.3追本溯源,从概率起源看定义发展概率是研究偶然性、随机现象的规律性的数学理论,人们用概率表示来刻画一个随机事件发生的可必然性在之前都是属于哲学的研究范畴.随着14海运保险公司,人们开始利用随机事件发生可能性进行决策研究.因是容易证明计算结果的概率.早期的概率计算是基于代数计算、排列组合等计数方法为主,这一时期拉斯给出的,他在《分析概率论》[8]中这样描述:概率论的要义是:将同一类的所有事件都化简为一定数目的等可能情况.即化简到这样的程度,我比就是欲求概率的测度.简而言之,概率是一个分数,其分子是有利情况的数目,分母是所有可能情况的数目.《分析概率论》利用概率研究随机事件的固有性质,并建立了一套完整的理论体系,它左右了19世纪概率论的发展[9].拉普拉斯概率的定义规定了两个先决条件:所有情况的发生是等可能的,所有可到等可能情况数目之比.而拉普拉斯的概率定义通常称为概率的古典定义,而它只适用于古典概型的场合,我们把符合拉普拉斯两个条件的概率模型称为古典概型.这种概率的定义表述不足之处在于不够清晰和严谨,并试图把任何一个概率问题纳入到可能模型中去研究.随着概率应用范围的增广,人们逐步发现这种概率定义的局限性,随后被严格的公理化的概率理论所取代.以俄国数学家柯尔莫哥洛夫发表概率公理化体系.而概率论的公理化体系一般认为都是在拉普拉斯概率体系的基础上发展和逐步完善的,都旨在将随机事件可能性转化为概率的测度问题.可见,理解古典概型的相关问题对现代概率论的研究也具有重要意义.而理解古典概型的基本概念之一——样本点就显得至关重要.4.争议的本质是对“结果”的定义不够清晰对于古典概型来说,样本点是基于试验结果定义的.笔者认为,之所以争议样本点能否认为规定原因在于“结果“没有明确的定义.到底什么才是试验的结果?至少有两个层面,一个是试验呈现的结果,还有一个是为解决问题,人为规定的一个结果,例如掷一次骰子,点数为1,点数为2,点数为3,点数为6奇数,偶数,同样从有3个不可辩白球和23个白球和两个黑球编号,将其按照可辩之球来看待,则试验就有五个结果.而如何规定则取决于观测角度,取决于要研究的问题.而如果试验的结果是指不能再分解成其它事件的基本事件,则样本点将随着试验而确定下来.5.概率论主要议题是概率的测度概率论的本质也只是将常识归结为计算[13].对于同一个随机试验,我们可以从不同的角度选择把什问题.以口袋依次摸球为例,口袋中有3人依次摸球,求第二个人摸到白球的概率.将3个白球标记白3,黑球标记黑2,如果考虑5个人的摸球情况,把5个人的5摸球情况作为一个基本结果,则样本空间共包含A55

=120个样本点,而事件“第二个人摸到白球”包4含3A44

35=72个样本点,故所得概率为P=120=.55若只把第二个人摸球情况看成一个基本结果,则共有53个样本点,则所得概率为P=3.5不相干,甚至当它们可以辩别时,我们也可以作不辩别来处理.当我们具体讨论一些具体问题时,到底是应用可辩别还是不可辩别的球的模型,则可以根据特定的目的和便利性来决定.也就是说样本空间的确定可以根据问题来选择,样本空间确定后,理论才能开始登场.体系要求的,满足于此则可以说样本空间的选取是适恰的.试验的结果取决于我们准备研究的模型,是可以基于问题的.从这个角度来说,根据研究的问题,选择一个适合的观测角度,确立样本点是具有普遍意义的.在古典概型的计算中,在保证有限等可能的情况下应尽可能地选取最小样本空间,这种选取最小样本空间的思路是有广泛意义的[7].6.样本空间应与试验有关而与问题无关问题本身无关,很随意的构建样本空间,会让样本空间的表达变得混乱.考虑两个问题,以连续掷两次果规定2为点数大于3的数,3为点数小于等于3于求解概率更会让原本清晰的问题,因为样本空间的表达不清变得混乱.另一方面观测角度如果脱离随机试验基本背景,随意确立样本空间则会引发随机性悖论.如图1为圆心角为90°的扇形,AB为扇形的弦,C、D为AB的三等分点,在扇形内随机取一点P,求射线OP与线段相交的概率.如图P在线段ABP在线段1BD上的可能性是相等的,则样本空间共有三个样本点,每个样本点的概率为即射线OP与AC、CD、31DB相交的概率都是.3而事实上,如果结合试验背景,是在扇形内取随机一点,射线OP与AC、CD、DB是否相交取决于点P是否出现在扇形区域OP与这三个线段相交取决于三个扇形区域的面S扇形AOE

∠AOE积.射线OP与线段AC相交的概率为P1=S扇形AOB=OP与线段CD相交的概率P2=S扇形EOFS扇形AOB

∠COD=∠AOE

=0.410,射线OP与线段DB相交的概率P3=

S扇形FOBS扇形AOB

∠COD=∠AOE=0.295.EPEPCFDA EPCFDO B O B图1 图2若不能明晰样本空间的概念,随意选取观测角度确立样本点,学生不易体会古典概型的等可能性,不能更好的把握古典概型的本质,会对后面概率论的理解产生知识的负迁移.从概率的概念的发展历史以及概率论的公理体系来看,争议的两种说法都有各自的合理性和普遍一个“结果”:那就是无论从哪个角度观测,每一个基本结果都不再分解成其它的结果.而为了更方便的解决问题,我们可以重新选择观测角度,利用这些“结果”方便研究待解决的问题.那么如何定义这些结果呢?7利用样本点和基本事件定义“结果”单元,基本事件是包含样本点的集合.如果把样本点和基本事件看成是同一概念,随意规定基本事件则则会在求解随机事件概率时变得刻板狭隘,有失灵活.人们往往把样本点看成是最基本结果视之为一个元素,而基本事件则看成是样本点的集合,所以我们可以把样本点和基本事件分开看待.我们需要重新定义样本点和基本事件来刻画“结果”.类比几何中最小单元便是点,属无定义的概念.所有曲线和面都可看成点的集合.在同一个随机试再分的一个可能结果,每次试验只能出现其中的一种结果,其它所有事件都可以看成是这些结果的和,我们把这种结果,称为一个样本点,所有的样本点的集合称为样本空间.例如从不辨的55在这5个球种不放回取球两次,按有序处理20种结果,不能再分…,有了这个特征,样本空间才能依据试验定下来,不同模型也可通过样本空间寻求关系.一定条件下不能再分的简单事件.在问题情景中,所有随机事件可以转化为基本事件的并,由基本事件构成的基本事件空间可以理解为由样本空间得到的导出样本空间,样本空间中每个样本点都唯一对应一个基本事件,基本事件空间是样本空间的映射样本空间.证样本空间依据试验而定,又能再解决具体问题时可以根据问题情景重新确定基本事件和基本事件空间,也能通过找到基本事件和样本点的关系方便赋概.参考文献:24~25.[2]严士健.高中数学必修3课本教材教科书[M].北京:北京师范大学出版社,2013:131~135.[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2018:125~126.[4]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2007:2~3.[5](美)威廉.费勒;胡迪鹤译.概率论及其应用[M].北京:人民邮电出版社.2014,第3版:7~11.[6]黄明珍.论概率定义的不断完善过程[J].海南大学学报自然科学版,1990,8:60.[7]程学理.古典概型中样本空间选取教学法探

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论