【解析】湖北省武汉市高三下学期6月适应性考试（供题一）数学（理）试题

2020年高考（6月份）数学供题试卷（理科）一、选择题（共12小题）．，则满足条件B⊆A集合B的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，由确定出集合中元素个数，再由集合子集个数公式即可确定答案.【详解】解：由解得：.，或.则，所以根据集合子集个数公式得满足条件B⊆A的集合B的个数为.故选：C.【点睛】本题考查集合子集的个数，关键是解一元二次不等式，属于基础题.，则（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据的运算性质将化简，代入并化简，再求即可.【详解】，所以，所以故选：B【点睛】本题主要考查的运算性质，复数的乘除运算及复数的模，属于基础题.3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A.2n－1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由把已知式转化的递推式，从而知是等比数列，可求得其通项公式．【详解】由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，，而S1＝a1＝1，所以.故选：B.【点睛】本题考查由与的关系式求数列的通项公式，解题关键是利用把已知式转化的递推式．的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二项式定理可知，令，解出再代入即可得到答案.【详解】由二项式定理可知，令，得，所以的展开式中的系数为.故选：C【点睛】本题主要考查求二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题.5.若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（A.x＜z＜y B.y＜x＜z C.y＜z＜x D.z＜y＜x【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性得到，利用幂函数的单调性得到，即得解．【详解】因为，故单调递减；故，幂函数单调递增；故，则、、的大小关系为：；故选：A【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生（高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人）按1，2，3，…，1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义进行求解判断即可．【详解】解：由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分50组，高二学生编号为496到985，在第17组到33组内，第17组编号为，为高二学生，第33组编号为，为高二学生，故所抽样本中高二学生的人数为．故选：C．【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，结合系统抽样的定义是解决本题的关键，属于基础题．在的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再结合、的正负可得正确的选项.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B.又，，排除C、D.故选：A.【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.的边长为2，，点、分别在直线、上，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的线性运算将，用基底，表示，然后代入，即可求出的值.【详解】由已知可得，，，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积，属于基础题.9.将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先减后增，可知1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合1前面的情况，分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可．【详解】解：将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则所有可能情况有种情况，由于该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当1前面只有一个数时，有4种情况，当1前面只有2个数时，有种情况，当1前面有3个数时，有4种情况，故一共有，故数列为先减后增数列的概率．故选：B．【点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，以及古典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力．：的左、右顶点分别为、，是上一点，且为等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设在双曲线的左支上，由双曲线的性质和等腰三角的性质得出，设，则，结合条件利用正弦定理求出，再由同角三角函数关系和二倍角公式求出，根据直角三角形中任意角的三角函数可求出的坐标，代入双曲线方程，再由离心率公式即可得到所求值．【详解】解：由题可知，为等腰三角形，设在双曲线的左支上，在轴上投影为，则，设，则，的外接圆的半径为，，解得：，则，，，在中，，则的坐标为，，即，，代入双曲线方程可得，由，可得，即有．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，涉及到正弦定理的应用、同角三角函数关系、二倍角以及任意角的三角函数等知识，考查化简计算能力.11.已知函数，对任意，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是A.， B.， C.， D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导数，利用导数判断函数在，上的单调性，把不等式恒成立化为，再解含有的不等式，从而求出的取值范围．【详解】解：结合题意，显然，，由，，，得，，，故，在，递增，故（1），，对任意，，，不等式恒成立，即，，即，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题．12.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值．【详解】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则，因为，故可得：；所以：三角形为等边三角形，故是的中心，连接，则平分，；所以，即，即四面体的外接球的半径为．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以，所以．即的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(其中)的图象在处的切线方程是_____．【答案】【解析】【分析】求出函数在处的导数值，即切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.【详解】由，得，所以切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.14.观察如图数表：设数100为该数表中的第n行，第m列，则＝_____．【答案】114【解析】【分析】根据数表中每行第一个数的特征，结合底数为2指数幂的特征进行求解即可.【详解】由数表可知：第一行第一个数为，第二行第一个数为：，第三行第一个数为：，第四行第一个数为：因此可以归纳得到，第行第一个数为：，因为，所以100是在第6行，因此，第6行第一个数为：，，所以100是第19个数，因此，因此故答案为：114【点睛】本题考查了归纳推理的应用，属于基础题.的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则_____．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式可得，由函数的最大值可求出，由相邻两条对称轴间的距离可求出周期，再利用周期公式可求出，将点代入解析式可求出，从而可得函数的解析式，即可求出的值.【详解】，因为函数的最大值为，所以，所以，由函数相邻两条对称轴间的距离为，可得周期，所以，所以,所以，又的图象与y轴的交点坐标为，所以，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】设，，根据题意可设直线的方程为，将其与抛物线方程联立可求出，结合图形及抛物线的焦半径公式可得，再利用基本不等式，即可求出的最小值.【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径为，抛物线的焦点，可设直线的方程为，设，，由，得，所以，又，，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S．（1）若a，b，求cosB．（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据面积S结合面积公式和余弦定理化简可得，解得，然后根据a，b，由正弦定理求得，再利用平方关系求解.（2）由（1）知，sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），可化为，令，转化为二次函数求解.【详解】（1）因为三角形面积为S，所以，解得，因a，b，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以为锐角，所以（2）由（1）知，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），，，，令，因为，所以，所以，原式，当时，原式取得最大值.【点睛】本题主要考查三角形面积公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，．(1)求的长；(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)由面面平行的性质定理可知，四边形为平行四边形，以菱形对角线的交点为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量坐标，再求即可；(2)分别求出平面与底面的法向量，利用向量的夹角公式求出法向量的夹角余弦值，进而可求出平面与底面所成锐二面角的余弦值．【详解】因为多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，所以平面平面，又平面平面,平面平面,所以，同理，所以四边形是平行四边形，连结,交于，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以,所以的长为.(2)根据题意可取平面的一个法向量为，由(1)知，，设平面的法向量为，则由，得，即，令，则，，所以，所以，所以平面与底面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，线段长的求法及二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得焦点坐标，设，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设，的坐标分别为，，，，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率．【详解】解：（1）时，椭圆，两个焦点，，，，设，可得，即，，，，，，因为，所以的范围是；（2）设，的坐标分别为，，，，可得，，则，两式相减可得，，即，故，又设，，直线，即直线的方程为，从而，代入椭圆方程可得，，由与，联立得，若四边形为平行四边形，那么也是的中点，所以，即，整理可得，解得，经检验满足题意，所以当时，四边形为平行四边形．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【答案】（1）详解见解析；（2）690，604，594；406.【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，依题意知的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数，分别求出、3、4时的值，再与方案①比较，即可得出所求．【详解】解：（1）由题可知，每个人的血样化验呈阳性的概率为，设每个人的血呈阴性反应的概率为，则，所以个人的混合后呈阴性的概率为，呈阳性反应的概率为，依题意知的可能取值为，，所以的分布列为；（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：；所以当时，，此时1000人需要化验的总次数为690次；当时，，此时1000人需要化验的总次数为604次；当时，，此时1000人需要化验的总次数为594次；即时化验次数最多，时化验次数居中，时化验次数最少，而采用方案①需要化验1000次，所以在这三种分组情况下，相比方案①，时化验次数最多可以平均减少（次．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，考查运算求解能力，是中档题．满足，，．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）当且时，求证：．【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由已知中，可得，进而可得，，进而得到函数的解析式；（2）由（1）得：，即，，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数的单调区间；（3）令，，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性分类去掉和的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小.【详解】（1）∵，∴，∴，即，又∵，所以，所以；（2）∵，

∴，∴，①当时，恒成立，函数在R上单调递增；②当时，由得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）令，，当且时，由得在上单调递减，所以当时，，当时，，而，，所以在上单调递增，，则在上单调递增，，①当时，，，所以上单调递减，，，②当时，，，，所以，所以递减，，，综上，．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力