二次函数的最值

f(x)=ax2+bx+c(x∈R)判别式a>0a<0函数的图像△>0△=0△<0最值当x=时,y最大值=当x=时,y最小值=第一页第二页，共17页。练习:已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列各x的取值范围内的最值：①-3

x

-2②-2

x

1；③0

x

1；④-3

x

1/2第二页第三页，共17页。练习:已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列各x的取值范围内中的最值：①；②xyxyO-1-1O1-3-22552第三页第四页，共17页。练习:已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列各x的取值范围内的最值：③

；④xy-1xO-1y-21-31551第四页第五页，共17页。你知道二次函数在定义域上的最值在什么地方产生吗二次函数在上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或抛物线的顶点处取得，不能误认为函数的最值就是在顶点处取得。一般来说，讨论二次函数在上的最值，主要是看与对称轴的位置关系，从而应用单调性来解决。第五页第六页，共17页。例1：分别求函数在（1）（2）（3）上的值域.第六页第七页，共17页。图（2）图（1）mnmnmn图（3）mn图（4）第七页第八页，共17页。含参的二次函数的最值求解第八页第九页，共17页。例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在定义域上的最小值？变式：求二次函数f(x)=-x2+4ax-3在定义域上的最大值？第一类：

：函数对称轴不固定，定义域固定第九页第十页，共17页。例3：二次函数f(x)=x2-2x-3在

(a>-3)上的最值是多少？yxo1-3a

第2类:函数对称轴固定，动定义域=f(a)=a2-2a-3=f(-3)=12第十页第十一页，共17页。yx

o1-3a5yx

o1-35a

f(x)=x2-2x-3,

(a>-3)fmin=f(1)=-4fmax=f(-3)=12fmin=f(1)=-4fmax=f(a)=a2-2a-3第十一页第十二页，共17页。解:对称轴x=1,抛物线开口向上例4：求y=x2-2x+3在定义域上的最值。2yxo13a

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+31.当0<a≤1时，函数在上是减函数，第十二页第十三页，共17页。

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+3

,函数在上是减函数,在上是增函数∴当x=1时,ymin=2

当x=0时，ymax=3yxo1322a解:对称轴：x=1,抛物线开口向上例4：

求函数y=x2-2x+3在定义域上的最值，并求此时x的值。2.当1<a<2时1.当0<a≤1时，函数在上是减函数，第十三页第十四页，共17页。,函数在上是减函数,在上是增函数,∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例3

求函数y=x2-2x+3在区间上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时

,函数在上是减函数,在上是减函数,∴当x=1时,ymin=2

当x=0时，ymax=3解:对称轴：x=1,抛物线开口向上1.当0<a≤1时，函数在上是减函数，

∴当x=0时，ymax=3

当x=a时，ymin=a2-2a+32.当1<a<