医学统计学：第三章 正态分布

第三章正态分布第一节随机事件与概率第二节正态分布第一节随机事件与概率一、随机事件(randomevent)：1.随机事件定义：对随机现象进行实验或观察称为随机试验。随机试验每一个可能的结果称为随机事件，简称事件。在一次随机试验中，某随机事件可能发生，也可能不发生；但在一定数量的重复试验后，该随机事件的发生与否是有规律的。1.不能再分解的随机事件成为基本随机事件2.由若干个基本事件组成的事件成为复合事件如在掷骰子试验中，观察朝上的点数事件Ai

={i}，i=1，2，3，4，5，6为基本事件事件

B={1,3,5}为复合事件2.随机事件的运算(1)如果随机事件A发生必导致随机事件B发生则称事件B包含事件A，记作或

AB(2)如果两个事件满足和，则称两个事件相等，记作A=B

AB

(3)事件A与B中至少有一个发生，这一事件称为事件A与B的和(或并)，记作

(4)事件A与B中同时发生，这一事件称为事件A与B的积(或交)，记作ABAB

(5)事件A发生而B不发生，这一事件称为事件A与B的差，记作

若事件A与B满足AB=∅，则称事件A与B互不相容(或互斥)BABA(6)若事件A与B满足且AB=∅，则称A与B互为对立事件(或互逆事件)，记作A

二、概率

1.概率（probability):

是描述随机事件发生的可能性大小的数值。古典概型

(1)随机试验的结果为有限个基本事件，并且两两互不相容

(2)所有基本事件的发生是等可能的，即它们发生的概率相等例1连续抛掷均匀的硬币3次，试计算发生如下事件的概率：(1)恰好1次正面(2)至多1次正面2.条件概率：某一事件已经发生的情况下，另一随机事件的概率。

在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为A对B的概率，记作P(A\B)

P(A\B)=P(A)，事件A与B相互独立3.运算法则(1)加法法则：

若事件A、B互不相容，其和A+B的概率P(A+B)等于两者的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)

对于任意两个事件A、B，其和记为A∪B，有P(A∪

B)=P(A)+P(B)-P(AB)若事件A、B互不相容，则P(AB)=0

BAAB(2)乘法法则：事件A、B之积的概率等于其中任一事件(概率不为零)的概率与另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率之积P(AB)=P(B)P(A＼B);P(AB)=P(A)P(B＼A)

事件A、B相互独立的充分必条件是：P(AB)=P(B)P(A)

例2

已知某人群中男性色盲者占总人口的比例为0.025。假定该人群的男女比例为8:7。现从该人群中随机抽取一名男性，问他是色盲的概率是多少？

A:男性B:色盲，所求概率为P(B＼A)P(AB)=0.025，

三、随机变量

1.随机变量(randomvariable)：综合反映随机现象及其结果(取值)的量。离散型连续型

2.随机变量的概率分布

(1)离散型随机变量的概率分布：设X为一个离散型随机变量，它的有限个或无限可列个可能取值为记事件的概率为

i=1,2,···

基本性质：

①0≤Pi≤1i=1,2,···

②

例3记X为连续3次抛掷均匀硬币，出现“正面”的次数。试求它的概率分布。(2)随机事件分布函数：设X为一随机变量，对于其定义域内的任意实数x，令

F(x)=P(X≤x)

则称F(x)是随机变量X的分布函数事件{X≤x}的概率F(x)是实数x的函数，对于任意实数x1≤x2都有

P(x1＜X≤x2)=F(x2)-F(x1)性质：

对于任意实数x都有0≤

F(x)≤1②F(x)是实数x的非减函数，若a<b，则F(a)≤

F(b)离散型随机变量的分布函数F(x)与概率函数Pi满足如下关系

根据例3计算的概率分布，试计算P(1＜X≤3)(3)连续型随机变量的概率密度函数与分布函数

分布函数F(x)可以表示为：概率密度函数f(x):①对于任意实数x,都有F(x)≧0②3.随机变量的数字特征(1)离散型随机变量X

，它的有限个或无限可列个可能取值记为xi

(i=1,2,…)，相应取值{X=xi}的概率记为Pi。总体均数和方差：(2)连续型随机变量X，其取值范围为(a,b)，其概率分布函数为F(x)，总体均数和方差为：23第二节正态分布

正态分布（normaldistribution）也叫高斯分布（Gaussiandistribution），是最常见、最重要的一种连续型分布。一、正态分布的数学形式二、正态曲线三、标准正态分布四、正态曲线下面积五、正态分布的应用24图××某地100名18岁男大学生身高的频数分布25一、数学形式26二、正态曲线(normalcurve)曲线特点：中间高，两头低的钟型曲线，均数处曲线最高以均数为中心左右对称曲线下面积为1或100%有两个参数----均数和标准差。均数决定了曲线的位置，称为位置参数；标准差决定了曲线的形状，称为变异度参数xf(x)m27

29

三、标准正态分布30四、正态曲线下面积正态曲线下一定区间的面积，可以通过对正态分布的密度函数积分得到：其中为正态变量的累积分布函数，反映了正态曲线下、横轴上方从到x

的面积。x31

u-∞为实际应用方便，用标准正态分布的分布函数来计算正态分布的面积分布规律。同样表示了正态曲线下、横轴上方从到的面积。统计学家根据标准正态分布的分布函数编制了标准正态曲线下的面积，即u界值表。32331.标准正态曲线下对称于0的区间其面积相等，如和的面积相等，应用u界值表时需注意：2.曲线下横轴上方的总面积为1或100%3.当已知时，应该先用求出的值，然后查界值表，求得所求区间的面积占总面积的比例，当未知时，常用样本均数和标准差来估计，这时要求样本含量较大。若,X在区间(X1，X2)内取值的概率为(例4-12)常用的几个界值0-11-1.961.96-2.582.5868.27%95.00%99.00%μμ-σμ+σμ-1.96σμ+1.96σμ-2.58σμ+2.58σ68.27%95.00%99.00%36计算正态曲线下面积实例例

mmol/L，

试估计该地正常女子血清甘油三脂在1.10mmol/L以下者占正常女子血清甘油三脂总人数的百分比。

mmol/L，

查界值表，在表的左侧找到－0.1，在表的上方找到0.04，两者的相交处值为0.4443=44.43%。即该地正常女子血清甘油三脂在1.10mmol/L以下者占总人数的44.43%。将x=1.10代入标准正态变量变换公式：37实例图示44.43％38五、正态分布的应用1.不少医学现象服从正态分布或近似正态分布，如同性别、同年龄的儿童的身高；同性别健康成年人的红细胞数、白细胞数、血红蛋白含量、心率等生理生化指标；医学实验中的随机误差等，一般都表现为正态分布，可以按正态分布规律来处理。还有一些医学资料虽然本身呈偏态分布，但经过某种方式的变量变换可以转化为正态分布，如疾病的潜伏期、医院病人的住院天数等，在施加对数变换后，转化成正态分布或近似正态分布，也可以按正态分布规律处理。39正态分布曲线下的面积分布规律，可应用于:

（1）估计医学参考值范围（referencevalue）医学参考值范围，也称医学正常值范围，是指包括绝大多数正常人的形态、功能和代谢产物等各种生理生化指标的波动范围。

（2）质量控制

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a.

从“正常人”总体中抽样;明确研究总体

b.统一测定方法以控制系统误差

c.判断是否需要分组（如性别、年龄）确定

d.根据专业知识决定单侧还是双侧

e.研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80

，90

，95

和99

，常用95

f.根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法

单侧下限---过低异常单侧上限---过高异常双侧---过高、过低均异常

单侧下限异常正常单侧上限异常正常异常正常双侧下限双侧上限异常估计医