二次函数专题三：最值问题

二次函数专题三：最值问题一、几何最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短，它们的本质就是要线段首尾相接，或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题，学过的有三角形三边之间的关系，两边之差小于第三边，我们可以利用这个来求第三边的最大值，还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值几何最值模型：1、两点间距离之和最小2、两点之间距离之差绝对值最大3、线段距离之和最大（小）4、费马定理总结：共线距离最大（小）1、抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，B(1,0)，C(0,-3).⑴求二次函数的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.思路点拨：点P到A、C两点距离之差最大，即求|PA－PC|的最大值，因P点在对称轴上，有PA=PB，也就是求|PB－PC|，到了这儿，易知当P点是BC所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段BC的长。具体解题过程略2、研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等.我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程；（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长；（3）M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值.思路点拨：（2）因△OAB是等边三角形，易知AB平行于X轴，且∠AOB=60°，知OA、OB于y轴的夹角等于30°，利用这点容易求出三角形的边长（3）由题目可知MF的长度等于M点到直线y=－1的距离，那么MP+MF就是P点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和，易知最小值就是过P点做y=－1的垂线段的长解：（1）焦点坐标为（0，1），准线方程是；（2）设等边ΔOAB的边长为x，则AD=，OD=.故A点的坐标为（，）.把A点坐标代入函数，得，解得（舍去），或.∴等边三角形的边长为.（3）如图，过M作准线的垂线，垂足为N，则MN=MF.过P作准线的垂线PQ，垂足为Q，当M运动到PQ与抛物线交点位置时，MP+MF最小，最小值为PQ=4.3、思路点拨：（2）要求AE和AM的长，对于求线段的长度我们学过的是勾股定理，相似三角形和简单三角函数，从题目可知OA和OE的长以及E点到x轴的距离，我们作EG⊥x轴，垂足为G，那么容易求出OG的长，从而求出AE的长；要求AM的长，先做OK⊥AE，垂足为K，要求AM的长，首先我们利用已知的OA的长和∠EAO的函数值来求出AK和OK的长，利用OK的长和三角形OMN是等边三角形求出MK和NK的长，AM的长也就知道了（3）这个是著名的费马点的问题，第2问给了我们提示，我们可以猜想当P点在什么位置时，PA+PB+PO才能取最小值，P点应该在线段AE上，至于具体的位置我们还不知道，我们就在线段AE上任取一点P，把PA、PB、PO连起来，要取最小值，那么这三条线段应该首尾相接，我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE所在直线，这时P点应该和在△OAB内的M点重合，PA的长就是AM的长，m的最小值就是AE的长解：(1）过作⊥于．---------------------------1分∵=，∴△∽△．∵点，，可得，．∵为中点，∴．∴，．∴．∴点的坐标为.-----------2分∵抛物线经过、两点，∴.可得.∴抛物线的解析式为.（2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧，∴点的坐标为.∴,∴在△中，,.过点作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等边三角形,∴．∴．∴,或．（写出一个给1分）（3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为.4、2009年中考第25题如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延长AC到点D，使，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线y＝kx＋b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3)设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点．若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)思路点拨：（3）首先要把速度转化成路程，也就是线段的长度，直线与y轴的交点假设为M，则OM=6,设P点在y轴上的速度为2v，那么在GA上的速度为v，P点到达A点所用的时间为，要使时间最短，也就是求AG+GM/2的最小值，那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和，因为∠BMO=30°，GM/2也就是G点到BM的距离，我们作GK⊥BM，垂足为K,问题转化成求GA+GM的最小值，易知，A、G、M必须共线且垂直BM，所以G点就是过A点作BM的垂线与y轴的交点解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4)，∴OA＝6，OC＝4．设DE与y轴交于点M．由DE∥AB可得△DMC∽△AOC．又，．∴CM＝2，MD＝3．同理可得EM＝3．∴OM＝6．∴D点的坐标为(3，6)．(2)由(1)可得点M的坐标为(0，6)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD，∴TE＝SD．∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B(6，0)，点M(0，6)在直线y＝kx＋b上，可得直线BM的解析式为y＝－x＋6．第25题答图(3)确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6，OM＝6，可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝2．∴G点的坐标为(0，2)．(或G点的位置为线段OC的中点)5、（2012东城一模第25题8分）25.如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点,顶点为.(1)求此二次函数解析式；(2)点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.25．（本小题满分8分）解:(1)∵点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴解得∴二次函数解析式为.……………2分（2）可求点C的坐标为（1，）∴点D的坐标为（1，）.可求直线AD的解析式为.由题意可求直线BK的解析式为.∵直线的解析式为,∴可求出点K的坐标为(5,).易求.∴四边形ABKD是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，）.……………5分(3)∵点D、B关于直线AK对称,∴的最小值是.过K作KF⊥x轴于F点.过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q,∴KP⊥AD.∵AK是∠DAB的角平分线,∴.∴的最小值是.即BP的长是的最小值.∵BK∥AD,∴.在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.∴的最小值为8.……………8分6、（2012朝阳二模第第25题8分）25.在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.25.解：（1）∵抛物线经过A（－3,0），B（4,0）两点，∴解得∴所求抛物线的解析式为.……………2分（2）如图，依题意知AP＝t，连接DQ，由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC＝5，BC＝，AB＝7.∵BD＝BC，∴.………………3分∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ=∠CDP.∵BD＝BC，∴∠DCB=∠CDB.∴∠CDQ=∠DCB.∴DQ∥BC.∴△ADQ∽△ABC.∴.∴.∴.解得.………4分∴.………5分∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为.（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点E.点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M.则，即.…………6分当BQ⊥AC时，BQ最小.…………………7分此时，∠EBM=∠ACO.∴.∴.∴，解得.∴M（，）.……………8分即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得MQ＋MA的值最小.二、代数最值问题1、（2012丰台二模25题8分）25．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）．(1)抛物线经过点B、C，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°<<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°<<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E，联结CE，当°时，线段CE的长度最大，最大值为．25．解：（1）∵矩形OABC，A（，0），C（0，2），∴B（，2）．∴抛物线的对称轴为x=．∴b=．……1分∴二次函数的解析式为：．……2分(2)①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A’，联结OA’，设对称轴x=与x轴交于点D，∴OD=．∴OA’=OA=．在Rt△OA’D中，根据勾股定理A’D=3．∴A’(，-3)．……4分②当顶点落C对称轴上时(图略)，设点C的对应点为点C’，联结OC’，在Rt△OC’D中，根据勾股定理C’D=1．∴C’(，1)．……6分(3)120°，4．……8分2、（2012西城二模第25题8分）25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线，点为轴上的一个动点，过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A，点B.⑴直接写出A，B两点的坐标（用含的代数式表示）；⑵设线段AB的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数（，，为整数且），对一切实数恒有≤≤，求，，的值.25．解：(1)，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分图10(2)=AB==.图10∴==.﹍﹍3分∴当时，取得最小值.﹍﹍4分当取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图10)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分(3)∵对一切实数恒有≤≤，∴对一切实数，≤≤都成立.()①当时，①式化为0≤≤.∴整数的值为0.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分此时，对一切实数，≤≤都成立.()②③即对一切实数均成立.②③由②得≥0()对一切实数均成立.④⑤∴④⑤