数学分析习作读书报告

PAGE3云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：Stolz定理及其推论和应用、推广学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学姓名、学号：任课教师：杨汉春时间：

摘要：对于某些类型的极限计算问题，应用大学微分教科书中介绍的方法计算，将显得比较繁琐。通过对Stolz定理的讨论。将给出三个直接的推论并引述其推广的定理，由此得到几种较为简单的计算方法，从而解决一些较为复杂题型的极限计算问题。关键词：极限；Stolz定理；推论；应用；推广一、定理介绍Stolz公式： 设数列{}单调递增趋于+，（可以为无穷）,则。证明：（I）先设A<+由式，>0，存在N>0，当n>N时有<<，特别取n=N+1，N+2，（）（）＜＜（）（），（）（）＜＜（）（），............()（)＜＜﹙)（）,将这些式子统统相加得（）（)＜＜（）（），∴＜＜，此即|-|＜.而0≦||=||≤||||·||由于以及式，∴||，.∴.﹙II﹚再当时，由有④∴.⑤下证递增趋于由④知，＞0，当＞时，有＞.⑥∵＞0∴＞0,即单调递增.由⑥式有＞＞，从而有············＞，将这些式子统统加起来有＞.∴＞⑦显然当时，.由⑤式及上面（I）的结论有∴.（III)当时，只要令，则由上面（II)可证证毕定理推论：推论1：（算术平均收敛公式）若.证明:㈠下面介绍不使用Stolz定理的普通证法：由＞＞＜，则有≤＜＜＜取M=max（），则，又为定值，则，于是对上述＞0，＞时，有＜取＞时，有＜即有㈡现用Stolz公式证明证毕小结：①明显使用Stolz公式使得该推论的证明简洁很多，所以在做题过程中如果能看出其中隐含的Stolz公式的形式，并能构造出类似的形式就能大大缩短解题过程和时间。②这推论逆过来是不成立的，即若存在。例：但。推论2：（几何平均收敛公式）设＞0（），且，则.证明：㈠一般证法：当时，由夹逼定理当得＜∴.㈡利用推论一证明：∵，∴.再由推论一知证毕推论3：（比值）若＞0，，且.证明：令.由几何平均收敛公式知此即.一般应用例1、设证明：，并求.证：∵＜，∴单调递减.因为，所以0﹤﹤1，即有下界，从而（存在）.由，两边取极限有，∴，此即.再求，考虑①∵②∵③由②③两式∴.④将④代入①得∴.

例2、用证明：证：令＞0.∴，，＞，则当＞时，有＜∴.注：如果本体不限方法，还可有另外的证法证：令∴再由几何平均收敛公式显然方法2更加简。例3、已知数列满足条件，证明：.证：用施笃兹公式=.=∴小结：乍看这题无从下手，但是如若根据的形式想到stolz公式的话，对条件进行简单的变形后就迎刃而解.可能这种变形很难考虑到，并将其实现，所以这就需要我们平时多做这方面的习题掌握一些变形的规律.例4、证明：证明：例5、计算解：因，这里由推论3得总结：以上是Stolz定理应用于计算数列极限，因数列可以看为整标函数，即，故将定理推广到实数集研究，事实上也是可以的。现用定理2叙述之.定理2设⑴在区间内有定义，﹥，而且在上有界⑵函数在单调增加，并且；⑶（A为有限数或），则同理，Stolz定理还可以推广到区间、单调减少，区间为、单调减少，区间为、单调减少，区间为、单调增加等形式。现用定理2来证明一题。例6：证明Cauchy定理：若函数定义于区间内，﹥，，在这里假定右端的极限存在（有限数或）证：令显然在由于故依定理2，即小结：此方法较之使用“”证明，要显得简易得多。参考文献