第四章 分形在振动信号特征提取中的应用

分形理论在故障诊断中的应用一分形思想的形成二分形的研究对象三分形的应用欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体

一维空间：线段，有长度，没有宽度；二维空间：平行四边形，有周长、面积；三维空间：球，表面积、体积；．问题：对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？一分形思想的形成英国的海岸线地图英国的海岸线有多长?测量方法：我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过r，设这样测得的海岸线长度为L(r).然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。用一只小老鼠代替人测量。用苍蝇代替小老鼠测量。测量结论：随着步长r越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。问题：A、B两国有一段共同的陆地边界线，并向B国呈弧形弯曲（20）.横跨边界线有一战略高地原属两国所共有.20世纪80年代，A国对边界重新进行测量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A国境内.于是A国向B国提出，要求将高地全部归属A国，引起两国争端.英国的海岸线有多长(续)?英国科学家理查逊海岸线长度经验公式

L(r)=kr1-DMandelbrot的贡献把D的意义挖掘出来，D解释为“分形维数”。上式取对数，得到

lgL(r)=(1-D)lgr+C

英国海岸线的分数维：1.25澳大利亚海岸线的分数维：1.13黑板房子轿车盒子太阳平时可以用几何图形表示形状简单的物体，可是象山峰、白云、雪花等物体再用单一的几何图形就很难表达，我们用什么方法画出这些形状不规则的物体呢？他们象什么物体？我们如何画出这两幅图片？种子：一条线段方式条数：2条角度:与种子的夹角都是120度

长度：都为种子的一半第1次234……新树枝的条数248162n新树枝的长度假设种子的长是单位1n用以上方法画出的图形叫分形图用类似的画法设计一棵与它形状不同的分形树我们依然以线段为种子，让它另外的方式生长，能得到怎样的图形呢？线段三等分以中间线段为边向外作等边三角形，然后把中间线段擦掉以线段为种子第一次生长第三次生长生长方式

第二次生长这也是分形图的一种，叫柯赫曲线它是瑞典数学家柯赫发现的，因此以他的名字命名。它象什么？你能用类似的方法设计一条与它不同的曲线吗？以线段为种子，向外作正方形而得柯赫曲线雪花曲线所见的雪花也是分形图的一种，它叫雪花曲线我们如何画出雪花曲线呢？1Koch曲线Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。特点:(1)长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。(2)当取其中的一部分展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。Koch曲线2Mandelbrot集

热情地赞赏者常常说：曼德布罗特集是最复杂的数学对象，即使用无限的时间也不足以观察它的全貌。那饰以多姿多彩荆棘的圆盘，那弯曲缠绕的螺线和细丝，那挂着微细颗粒的鳞茎，那无穷尽的斑驳的色彩，那好像是上帝葡萄藤上的累累果实。曼德布罗特集显示了分形之美。曼德布罗特集成为了分形、混沌的一种国际标志。给定为一个初始的复数，C为一个复常数。对Z进行这样的迭代：Zn+1=Zn2+C如果n趋向于无穷时Zn有界，则C属于Mandelbrot集。为了更好的编程绘制Mandelbrot集，采用下述方法：（1）设定一个最大的迭代次数N，和Zn模的上界M（2）给定Z0=0，C=0进行迭代，迭代超过M时的迭代次数n相同的点，标以相同的颜色。（3）在[-2.5,1]×[-1.5,1.5]的区域上将图形640*480的分辨率画出。3Julia集

Julia集和Mandelbrot集可以说是一对孪生兄弟。Mandelbrot集的迭代公式Zn+1=Zn2+C中，给定复数C，如果n趋向于无穷时Zn有界，Z0则属于Julia集。

Julia集图形的画法自然和Mandelbrot集的画法一样，只是初始条件和边界条件还有迭代变量稍有不同。(1)C=0.6+0.5i时的Julia集(2)C=0.5+0.5i时Julia集

(3)C=0.364+0.1i时的Julia集(4)C=0.37+0.27i时的Julia集4用计算机模拟出的其它分形图形春夏秋冬

上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。自然界中的分形山星云植物的叶子天空中的云朵自然界存在的一些形状及其结构诸如星系、闪电、泥裂、材料断口、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、小肠绒毛、大脑皮层等等。尽是分形。自然界中的分形几何模型所建立的简单的几何结构，其与所生成的自然结构特征相同。从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。河流分布图股票价格曲线复杂的大自然与欧氏几何的局限性人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界丰富多彩的现象。传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。Mandelbrot的大量工作(1)曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》震惊学术界（1967年）．(2)法兰西学院讲演报(1973年)．(3)“病态”“数学怪物”命名——分形（Fractal）（1975年）．(4)法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版（1975年）．(5)英文版《分形：形、机遇和维数》出版（1977年）．(6)英文版《大自然的几何学》出版（1982年）。分形的定义严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（曼德布罗特在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。原文是：A

fractalisashapemadeofpartssimilartothe

wholeinsomeway.)也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。分形图形的自相似性分形图形可看成是一种与整体有相似性的若干局部所构成的图形。它的任何一局部都与整体有严格的几何相似性，即比例的自相似性，并且在任意尺度上有无穷细节的精细结构和无限可分。Julia集分形图形Julia集分形图形二分形研究的对象研究“反直觉的”，“病态”的“数学怪物”

。1.具有精细的结构，即在任意X的尺度之下，它总有复杂的细节；（结构的精细性）

2.不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；（形态的不规则性）

。3.通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的或者统计意义下的；（局部与整体的自相似性）

4.分形维数一般是分数（不排除是整数），并且大于拓扑维数。5.常常是以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生．（生成的迭代性）

分形理论所研究的对象多为随机的、离散的、非连续的复杂现象，并且通过自相似性将对象的复杂性与简单性统一起来。作为一种数学理论，分形有严格的推理过程和测量方法，再加上自身的简洁性便于与现代计算机技术相结合构建数学模型，从而对自相似现象进行定量分析和模拟。三分形的应用分形理论应用于从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域。重点介绍在故障诊断中的应用1.分形的基本知识分形维数的一种直观定义(不很确切).如果我们把集合E放大倍，得到的新集合可以由d个集合叠加而成，则称集合E的分形维数是d.分形维数是描述分形的重要参数,能够反映分形的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法。对于一些具有严格相似性的分形,其维数可以由维数的定义方便地求出.对于复杂的分形,计算其维数的实用方法一般有:通过改变标尺求分维的标尺法,利用统计学中方差原理的半方差法和根据功率谱密度求分维的PSD法.另外,根据测度关系、相关函数、分布函数也可求分维。例Box-Counting 将E维空间分割成一块块的超立方体盒子，分布在E维空间中的点集会落在这些盒子中，设Ci为落入第i个盒子的点数，r为盒子的边长，S(r)=sum(Ci的平方),log(S(r))与log(r)的斜率为关联维数D2;如果用N(r)表示不为空的盒子，通过计算log(N(r))与log(r)的斜率来计算Hausdorff维数D02.分形的应用（1）在工程技术中的应用分形理论在摩擦学中用于粗糙表面的表