某机床主轴的优化设计

某机床主轴的优化设计一、 问题来源机床主轴是机床的执行件，它的功用是支承并带动工件或刀具完成表面成形运动，同时还起到传递运动和扭矩、承受切削力和驱动力等载荷的作用，结构复杂，价格昂贵，是机床最重要的部件之一。主轴的前端安装着卡盘与工件，直接参与切削加工，它的变形和振动对机床的加工精度和表面质量影响最大，直接影响到机床的加工质量和生产率。因此，机床设计的成功关键取决于主轴设计的优劣。主轴优化设计是机床设计中主轴设计的有效手段，它可以克服以往设计方法中的盲目性，提高主轴的设计质量、设计效率及设计的科学性和可靠性。二、 已知条件题目中的主轴是一个阶梯轴，支撑采用角接触轴承，机床主轴的输入功率P=1.5kW，主轴的转速n=940r/min，主轴的悬臂端受到的切削力F=20kN，主轴内径d=40mm，悬臂端许用挠度y°=0.05mm，取[p1=£/m，b]=0.0025。。要求主轴两支承跨距（L）为350mmWLW600mm，外径（D）为70mmWDW150mm，悬臂端长度（a）为80mmWaW160mm.主轴的材料采用40Cr，密度P=7800kg/m3。从机床主轴制造成本和加工精度的要求出发，考虑主轴的自重和外伸段挠度这两个重要因素，选取主轴的质量最轻和最小轴端位移为设计目标，将主轴的刚度作为约束条件。三、数学建模/图1主轴示意图F/图1主轴示意图F111设计变量本文设计的机床主轴结构主要由5个参数来确定:（1） 主轴悬伸段直径Da；（2） 主轴前后支承间轴径D；（3） 支承跨距L；（4） 主轴悬臂端长度a；（5） 主轴内孔直径d。另外，主轴轴端有作用力F和弯矩M，设:xix2XDxix2XaX=DX=L3x1-4」2目标函数在满足主轴传动要求下，减轻重量，节约材料降低成本.以最小自重为追在满足主轴传动要求下，减轻重量，节约材料降低成本.以最小自重为追求的目标.机床主轴的质量:k求的目标.机床主轴的质量:k2_d2)xa+C)2-d2)xl]aW=关4式中：P为主轴密度（g/m3）令

f(x)=w=%k2-d2)xX+(2-d2)xX]4a 4 2 3目标函数目标函数F(x)=minf。3约束条件（1）刚度约束机床主轴变形对加工质量影响很大，因此，对主轴的要求主要表现为刚度要求，即主轴伸出端的挠度（或位移）Y尽可能小。只考虑F作用力作用在主轴前端时，主轴前端有位移Y口:F一a2

F=3EI式中：E为主轴材料的弹性模量2.1x105（N/mm2），ia为主轴悬伸段截面惯性距壹D4-d4Km4），I为主轴支承段截面惯性距壹D4-d4Km4）。64a 64只考虑力矩山作用在主轴前端时，主轴前端产生位移七为:Y=也［竺+2L］，M为主轴端所受的力矩N-mm）om6E"IIJ机床主轴前端位移Y可认为是同平面内的Yf和丫尸之和，故有Y=丫「+Ymo(1)另外，机床主轴端所受力矩M是有切削力F引起的，为便于设计计算，取M=2aF，代入到式（1）可得:Y=Fa2(4a3L，

~3E"厂+丁J

Y=刚度约束为y<y0，故,、64FX2%⑴=w（2）扭转变形限制轴的扭转刚度条件为:平，<虹］，平max，max180T兀「GIpminP式中：T为轴所受最大扭矩，T=9549-nG=8.1平，<虹］，平max，max180T兀「GIpminP式中：T为轴所受最大扭矩，T=9549-nG=8.1x104MPa，Ipmin为轴截面的最小惯性矩，为轴材料的剪切弹性模量，In=“D4-d4)32，则V、 1A—- <0。/3212Q=180x ,9549Pg2 - nGn(X4-d4^3212(3)偏转角约束9vb］，因在后支承面B处的偏转角最大，在后支承截面B处的偏转角为:FaL ,FaL 、3EI3ED—d4)，故只需满足9vb］Bg3G)=F3X4)-0.0025<0。3EX4-d4/(4)主轴悬伸段直径根据经验，主轴悬伸段直径Da取值范围为：80<Da<160，故g4(x)=X1-80<0,

g5(x)=160-X1<0。(5)主轴前后支承间轴径主轴前后支承间轴径取值范围为：70<D<150，故g(x)=X-70<0,g7G)=150-X2<0。(6)支承跨距支承跨距L取值范围为：350<L<600,故g8(x)=X3-350<0,g9G)=600-X3<0。(7)主轴悬臂端长度主轴悬臂长度a取值范围为：80<a<160，故g10(x)=X4-80<0,gu(x)=160-X4<0。四、优化方法、编程及结果分析1优化方法综合上述分析可得优化数学模型为： X=(X1，X2,X3,X4、；minf(x)；sl.g.(x)<0。考察该模型，它是一个具有4个设计变量，11个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT惩罚函数内点法求解。2方法原理内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题s.t.minf(x)s.t.gj(x)<0(j=1,2,…,m)转化后的惩罚函数形式为h(x,r)=f(x)—rj=1gj⑴

或"x,r)=f(x)—r建InLgj(x)]j=1式中r——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，工―1—或工lnLg(x)] 障碍项。尸g⑴尸j由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子,T0时，才能求得在约束边界上的最优解。3编程首先编写目标函数M文件axis_m.m；Functionf=axis_m(x)pi=3.14;rou=7.8*10A(-6);%主轴密度kg/mmA3d=40;%主轴内径mmf=pi*rou*((x(1)A2-dA2)*x(4)+(x(2)A2-dA2)*x(3)/4再编写非线性约束函数文件M文件ax.m;Function[c,ceq]=g(x);pi=3.14;d=40;%主轴内径mmF=20000; %切削力NP=1.5;%主轴输入功率KWn=960;%主轴转速r/minE=2.1*10A5; %主轴材料弹性模量N/mmA2y=0.05; %许用挠度mmfa=1/12; %许用扭转刚度°/msita=0.0025; %许用偏转角G=0.081; %轴材料的剪切弹性模量GPac(1)=64*F*x(4)A2*(4*x(4)/(x(1)A4-dA4)+3*x(3)/(x(2)A4-dA4))/(3*pi*E)-y;c(2)=180*9549*P/(piA2*n*G*(x(2)A4-dA4)/32)-fa;

c(3)=F*x(3)*x(4)/(3*E*(x(2)A4-dA4))-sita;ceq=[];在MATLAB命令窗口给出搜索值和线性约束，并调用优化程序：x0=[120;110;450;120];a=[1000;-1000;0100;0-100;0010;00-10;0001;000-1];b=[160;-80;150;-70;600;-350;160;-80];1b=[80;70;350;80];ub=[160;150;600;160];[x,fval]=fmincon(@axis_m,x0,a,b,[],[],1b,ub,@ax)4结果分析优化程序经过12次迭代计算收敛，得到结果如下：x=107.6547 102.7428 350.0000 80.0000fval=24.0857圆整后得到X=(109,104,350,80)T，fval=24.9897，显然机床主轴结构比较合理。5UE=1TTKEi-l睫豚]就0用K=»X相口L#洲】=.顷*・3涌里铲图1

图11沙口皿L£导UEK：1沙口皿L£导UEK：■侦EEP=LS1E=1'IZKEi-l眺偷&瘀｝R5Y5=0Ch^=q*L§E脉=上松1LW.<^)53-■■]■=■图2参照以上图1、图2通过查阅机械设计手册发现优化结果没有超过材料的屈服极限，轴的应变分布比较均匀，有利于材料的充分利用。五、课程实践心得体会一个多月的课程学习和一个多礼拜的机械优化设计课程作业实践，收获虽然不是太大，但是也获得了有意义的一些知识。课程学习当中，王老师的言传身教给我留下了深刻的印象，认真负责的教学态度也让人感觉跟其他课程相比更有吸引力，丰富的课堂内容让同学们都乐此不彼，而最后的课程作业实践也是给了我颇多的收获：通过对本例的分析计算和最终结果分析一系列过程，初步了解和熟悉了机械优化设计的基本设计流程，本例中利用MATLAB工具箱进行的优化设计，所得机床主轴参数已然使机床的主轴结构更合理。这也充分说明了MATLAB优化工具箱在机械优化设计中具有的实用价值，这也对我学习MATLAB软件的热情高涨，以期做出更多的优化设计方面的议题和方案。六、参考文献[1]孙靖民，机械优化设计[M].3版.北京：机械工业出版