寒假专题-等差数列求和(二)

第第#页版权所有不得复制课程信息年级四年级学科丨数学版本人教版内容标题寒假专题——等差数列求和（二）编稿老师【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——等差数列求和（二）阅读指导，学会方法：例1.观察下面各数列的规律，根据它们的规律在横线上填入适当的数。再找出数列中的等差数列，并求出这个等差数列的和。1)1，3，6，10，15，_____，28。2）1，4，9，16，25，_____，49。3）1，8，27，64，125，_，3434）2，19，36，53，70，_，104。分析与解答：观察数列(1)：a-a=2；a-a-3；a-a=4；a-a-5；a-a-62132435465发现从第二个数开始，每一个数与前一个数差不相等，所以不是等差数列。它的规律从第二项开始，在前一项的基础上：1+2-3,3+3-6,6+4-10,10+5-15,15+6-21,……根据它的规律，横线上填15+6-21，即(1)：1,3,6,10,15,21,28。观察数列(2)：a-1x1-1；a-2x2-4；a-3x3-9；a-5x5-25,TOC\o"1-5"\h\z1235a-7x7-49。每一项都是它的序数与序数相乘的积，所以a-6x6-36,即(2)：1,764,9,16,25,36,49。不是等差数列。观察数列(3):a—1x1x1—1；a—2x2x2—8；a—3x3x3—27,123a—5x5x5—125；a—7x7x7—343；所以，a—6x6x6—216。即(3)：1,8,57627,64,125,……,216,343。也不是等差数列。观察数列(4),发现：这数列是等差数列，公差d-17，所以a-70+17-87，即6(4)：2,19,36,53,70,87,104。这个等差数列的和怎么求？a-2,a-104,n-71n公式：S—(a+a)xn02n1n2+19+36+53+70+87+104-(2+104)x7一2-106一2x7-53x7-371例2.一个等差数列a-9,a-156,n-22，求这个数列各项之和S是多少？1nn分析与解答：这是一个等差数列求和的题，可以直接用公式解答。即S-(a+a)xn十2n1nS二(9+156)X22十2n=165x11=1815例3.计算：1+2+3++16+17分析与解答：这是一道求等差数列之和的题目，首项a二1，末项a二17，项数1nn=17，根据等差数列求和公式。1+2+3++16+17=(1+17)x17一2=18x17一2=153这题还可以这样分析，首项与末项相加1+17=18，首项与末项的平均数是18三2=9，同样道理，2+16的平均数也是9；3+15的平均数还是9……，9正是这个数列最中间的一项，我们把它叫做“中项”。即：1+2+3+4+5+6+7+8+(9)+10+11+12+13+14+15+16+17从而可以看出9是这个数列的各项的平均数，因此计算这个奇数项等差数列之和，可以这样：中项公式：等差数列之和=中项X项数，就是：1+2+3++16+17二9x17二153注意：这个等差数列求和公式只能用于奇数项等差数列求和，偶数项等差数列求和不能用。为什么呢？就因为偶数项等差数列没有中项，因此不能随意套用中项公式进行计算。例4.计算：500—1_2—3——15—16分析与解答：把一道连减题怎样变化，转化成一道连加的等差数列求和的题呢？根据减法性质，把这题转化为：500_(1+2+3++15+16)。1+2+3++15+16这是一个等差数列，直接求和就可以了。解:500_(1+2+3+……+15+16)=500—(1+16)x16一2=500—17x8=500—136=364【模拟试题】［答题时间：35分钟］尝试练习，合作交流：计算：7+14+21+28+35+42+49一个等差数列a=17，a=206，n=22，求各项之和？1n20人参加乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，他们一共要赛多少场？求100以内除以4没有余数的数一共多少个？它们的和是多少？提示：(1)100以内包括100；(2)100以内除以4没有余数，从小到大排列为4，8，12，16,20，24……，92,96,100，很显然是个等差数列；(3)项数是几？用100-4=25,说明100以内除以4没有余数的数一共有25个。灵活运用，创造发展：求所有两位数的和是多少？92+94+89+93+95+87+86+88【试题答案】二.尝试练习，合作交流：计算：7+14+21+28+35+42+497+14+21+28+35+42+49=(7+49)x7一2=56x7一2=56一2x7=28x7=196—个等差数列a=17，a=206，n=22，求各项之和？1nS二(17+206)x22十2=223x11=245320人参加乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，他们一共要赛多少场？19+18+17+16+3+2+1用中项公式=中项X项数=10x19=190(场)求100以内除以4没有余数的数一共多少个？它们的和是多少？提示：(1)100以内包括100；100以内除以4没有余数，从小到大排列为4，8，12，16，20，24„„，92，96，100，很显然是个等差数列；项数是几？用100-4=25,说明100以内除以4没有余数的数一共有25个。n=100三4=254+8+12+16++92+96+100=(4+100)x25一2=104一2x25=52x25=1300三.灵活运用，创造发展：1.求所有两位数的和是多少？方法一：最小的二位数是10，最大的二位数是99，每相邻两个数的差是1，也就是说从10到99，这90个数排列成等差数列。S=(10+99)x90十2=109x45=4905方法二：还可以从1〜99,自然数列的和里减去1—9个自然数的和，从而得出所求的两位数的和。S]=(1+99)x99十2=100十2x99=50x99=4950

S2二(1+9)X9十2=45或S=5x9=45S=4950-45=490592+94+89+93+95+87+86+88方法一：可以分为两组连续数的和92+94+89+93+95+87+86+88=(92+93+94+95)+(8畀88+87+86)=(92+95)x4一2+(89^86)x4一2=187x2+175x2=374+350724方法二：还是先分两组，一组数从小到大