第二讲 图形裁剪与几何变换3

计算机辅助设计基础第二讲图形裁剪与几何变换2图形裁剪图形输出流水线窗口视图变换几何变换图形变换数学基础坐标系主要内容第二讲图形裁剪与几何变换3为什么要用多种坐标系？坐标系在图形处理的不同阶段定义不同的坐标系，有利于提高图形处理的效率和用户便于理解。第二讲图形裁剪与几何变换造型坐标系用户坐标系观察坐标系规格化的设备坐标系设备坐标系4造型坐标系坐标系xxyyzz右手系形体或图素在造型坐标系中定义局部坐标系便于定义形体和图素第二讲图形裁剪与几何变换5造型坐标系坐标系第二讲图形裁剪与几何变换6用户坐标系坐标系直角坐标系、放射坐标系、圆柱坐标系或球坐标系定义整图或最高层图形结构全局坐标系，子图、图组、图素等在调用后都放在用户坐标系xyz第二讲图形裁剪与几何变换7用户坐标系坐标系第二讲图形裁剪与几何变换8坐标系第二讲图形裁剪与几何变换直角坐标系仿射坐标系9坐标系第二讲图形裁剪与几何变换圆柱坐标系..10坐标系第二讲图形裁剪与几何变换球坐标系..11观察坐标系坐标系vun眼睛n-观察方向vu定义了观察平面左手直角坐标系可以在用户坐标系任意位置、任何方向定义指定裁剪空间定义观察平面，把用户坐标转化为规格化的设备坐标第二讲图形裁剪与几何变换12设备坐标系坐标系左手直角坐标系用来在图形设备上指定窗口或视图区也用来定义像素和位图规格化设备坐标系左手直角坐标系用来定义视图区提高了应用程序的移植性第二讲图形裁剪与几何变换0,11,10,01,02.6,-3.12.6,2.6-3.1,-3.12.6,-3.113图形输出流水线图形输出流水线第二讲图形裁剪与几何变换造型坐标用户坐标造型变换观察坐标观察变换规格化设备坐标规格化变换投影坐标投影变换设备坐标工作站变换14图形变换数学基础矩阵运算齐次坐标矢量运算主要内容第二讲图形裁剪与几何变换15图形变换数学基础一、矢量运算矢量和第二讲图形裁剪与几何变换16图形变换数学基础一、矢量运算（续）矢量的数乘矢量的点积性质第二讲图形裁剪与几何变换17图形变换数学基础一、矢量运算（续）

矢量的长度

夹角

矢量的叉积

第二讲图形裁剪与几何变换18图形变换数学基础二、矩阵运算矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素第二讲图形裁剪与几何变换19图形变换数学基础二、矩阵运算（续）加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n第二讲图形裁剪与几何变换20图形变换数学基础二、矩阵运算（续）乘法设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n第二讲图形裁剪与几何变换21图形变换数学基础二、矩阵运算（续）逆矩阵若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

当A为n阶矩阵，且A=AT，则

A是对称矩阵。第二讲图形裁剪与几何变换22图形变换数学基础二、矩阵运算（续）矩阵运算的基本性质交换律与结合律师

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A23图形变换数学基础二、矩阵运算（续）矩阵乘法的结合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律第二讲图形裁剪与几何变换24图形变换数学基础三、齐次坐标

所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn)表示为：（hP1,hP2,…,hPn,h）其中，h称为哑坐标。

1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标

h→齐次坐标由齐次坐标÷h→普通坐标

3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。第二讲图形裁剪与几何变换25图形变换数学基础三、齐次坐标（续）1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（a,b,h)，令h等于03.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现齐次坐标的作用：第二讲图形裁剪与几何变换26窗口视图变换一、用户域与窗口区世界（用户）坐标系窗口

用户域是用户定义设计对象的连续无限的二维或三维空间。窗口窗口是用户域的一个子域。在用户域中指定的一个区域，用户只能将该区域的图形输出到图形设备上。窗口一般是矩形区域，可用其左下角点和右上角点坐标来表示。通常窗口的边界与坐标轴平行。窗口可以嵌套。第二讲图形裁剪与几何变换27窗口视图变换二、屏幕与和视图区屏幕域屏幕域是图形设备上输出图形的最大区域屏幕域是有限的整数域，如分辨率为1024×768的显示器，其屏幕域DC可定义为：

DC∈[0∶1023]×[0∶767]视图区用户在屏幕域内指定的用于显示图形的区域用设备坐标定义，一般定义成矩形，由其左下角点和右上角点坐标来定义一个屏幕可以定义多个视图区，并且视图区可以嵌套第二讲图形裁剪与几何变换28窗口视图变换二、屏幕与和视图区（续）

1主菜单区2子菜单区

4提示信息区

3图形显示区图4.2.1视图分区第二讲图形裁剪与几何变换29窗口视图变换三、窗口与视区变换窗口

（wx,wy）11

00视区（vx,vy）第二讲图形裁剪与几何变换30窗口视图变换三、窗口与视区变换（续)第二讲图形裁剪与几何变换31窗口视图变换三、窗口与视区变换（续)矩阵表达式：第二讲图形裁剪与几何变换32窗口视图变换三、工作站变换HV0工作站视区设备/图像坐标系工作站变换：将规范化坐标变换为离散设备/图像坐标。它本质上是第二个窗口-视区变换。110工作站窗口规范化设备坐标系屏幕区第二讲图形裁剪与几何变换33窗口视图变换第二讲图形裁剪与几何变换二维图形输出流程三维图形输出流程34图形裁剪多边形裁剪字符裁剪二维线段裁剪主要内容三维图形裁剪简介裁剪的概念第二讲图形裁剪与几何变换35图形裁剪一、裁剪的概念裁剪：利用窗口技术把整体图形分为窗口内部分和窗口外两部分，保留窗口内部分。覆盖：利用窗口技术把整体图形分为窗口内部分和窗口外两部分，保留窗口外部分。第二讲图形裁剪与几何变换36图形裁剪一、裁剪的概念（续）裁剪算法：一般地，对于给定的区域，判断图形的哪些部分在该区域内或区域外的过程称为裁剪算法。相应的参考区域称为窗口。裁剪技术的本质问题是对线段或多边形作求交与裁剪，仅保留需要的部分。第二讲图形裁剪与几何变换37图形裁剪一、裁剪的概念（续）裁剪算法分类：按照裁剪对象的不同，裁剪算法分为：点裁剪线裁剪（直线段）区域裁剪（多边形）曲线裁剪文本裁剪第二讲图形裁剪与几何变换38图形裁剪二、点的裁剪假设裁剪窗口是一个矩形，其边界平行于坐标轴。

点裁剪对于点P(x,y),若下面的不等式成立，则P显示。否则，P被裁剪掉。窗口

x

y

第二讲图形裁剪与几何变换39图形裁剪二、二维线段裁剪第二讲图形裁剪与几何变换40图形裁剪二、二维线段裁剪（续）1.向量线段不在窗口内

第二讲图形裁剪与几何变换41图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口内

第二讲图形裁剪与几何变换42图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边

起点新坐标或线段在窗口外第二讲图形裁剪与几何变换43图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边

起点新坐标

minY≤Y≤maxY求解有效

Y<minY或Y>maxY线段在窗口外第二讲图形裁剪与几何变换44图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边

起点新坐标

Y>maxY且Ys>maxY

蓝色线段在窗口外绿色线段与上边界相交

第二讲图形裁剪与几何变换