第6章控制系统校正

第六章系统的性能指标与校正6.1系统的性能指标系统的性能指标，按其类型可以分为（1）时域性能指标，包括瞬态性能指标和稳态性能指标；（2）频域性能指标，（3）综合性能指标（误差准则）1、瞬态性能指标（1）延迟时间td（2）上升时间tr（3）峰值时间tp（4）最大超调量或最大百分比超调量Mp（5）调整时间或过渡过程时间ts2、稳态性能指标它是指过渡过程结束后，实际的输出量与希望的输出量之间的偏差——稳态误差一、时域性能指标频域的主要性能指标如下：（1）相位裕度γ（2）幅值裕度Kg（3）复现频率ωm及复现频宽0~ωm（4）谐振频率ωr及谐振峰值Mr，Mr=Amax（5）截止频率ωb及截止频宽0~ωb二、频域性能指标频域性能指标与时域性能指标之间有一定的关系，如峰值时间和过渡过程时间都与系统的带宽有关。可以证明，ωbtp及ωbts都是系统阻尼比的函数。因此，当系统的阻尼比给定后，ωbtp及ωbts都是常数，故系统的截止频率ωb与tp及ts都呈反比关系，或者说，系统的带宽越大，该系统的快速性越好。这表明，带宽表征了系统的响应速度。例系统1

系统2

6.2系统的校正一、校正的概念二、校正分类6.3串联校正串联校正按校正环节的性质分为（1）增益调整；（2）相位超前校正；（3）相位滞后校正；（4）相位滞后——超前校正。

一、相位超前校正

1相位超前校正原理及其频率特性当s很小时，即低频时，

相当于比例环节；

相当于比例微分环节；

此环节不起作用。

当s较小时，即中频时，当s很大时，即高频时，高通滤波器采用相位超前校正，加大了系统的剪切频率，截止频率，其结果加大了系统的带宽，加快了系统的响应速度；还有可能加大相位裕度，结果加大了系统的相对稳定性。2采用Bode图进行相位超前校正图示为单位反馈控制系统，通过相位超前校正使系统性能达到，稳态指标：单位恒速输入时稳态误差为；频域指标：相位裕度，幅值裕度。解：由稳态误差确定K，根据I型单位反馈系统，有系统的开环频率特性为系统校正前的开环Bode图系统校正前的单位阶跃响应校正前系统剪切频率，相位裕度，幅值裕度大于10dB，故系统是稳定的。但因相位裕度小于50º，故系统的相对稳定性不合要求。相位超前校正会使系统的剪切频率右移，增加6º以补偿，最大相位超前量为由得在图上找到幅值为-6.24dB，对应的频率约为，即校正后系统的剪切频率。由计算出校正后系统的传递函数为为了补偿超前校正造成的幅值衰减，需增加倍的开环放大系数，使。相位超前校正环节的频率特性为校正后系统的相位裕度从约17º提高到约50º，幅值裕度>10dB，满足系统要求。校正后系统的响应时间约为0.25s，超调量约为22%，各项性能指标好于校正前。1、相位滞后校正原理及其频率特性当s很小时，即低频时，此环节不起作用；

相当于比例积分环节加一阶微分环节；相当于比例环节。当s较小时，即中频时，

当s很大时，即高频时，二、相位滞后校正低通滤波器滞后校正环节是一个低通滤波器。滞后校正的机理并不是相位滞后，而是使得大于1/T的高频段的增益全部下降，相位变化很小。因此，β和T要尽可能大。常用的为β=10和T=3~5s。结论：相位滞后校正使高频幅值衰减，降低了幅值穿越频率，提高了相位稳定裕度，改善了系统的稳定性；相位滞后校正环节如果在高频幅值不改变时，可以提高系统的低频幅值，减小稳态误差。因此，相位滞后校正环节适应于系统稳定性差的场合；或动态特性满足要求而稳态精度较差的场合。设单位反馈控制系统，其开环传递函数如下，稳态性能指标：单位恒速输入时稳态误差；频域性能指标：相位裕度，幅值裕度。采用Bode图进行相位滞后校正解：由稳态误差确定K，根据I型单位反馈系统，有频率特性为系统的相位裕度为-11º，幅值裕度为-4.5dB，闭环系统是不稳定的。采用相位滞后校正能有效改进系统的稳定性，对给定的相位裕度增加5º~12º作为补偿，相位裕度为40º+5º=45º，在图中找到相位裕度45º，对应的频率约为0.75，则校正后的系统剪切频率设为。在图上找到处幅值约为20.5dB，取β为10。相位滞后校正环节的零点转角频率

应远低于已校正的系统剪切频率，选因此，T=13.3s。

相位滞后校正环节的极点转折频率为相位滞后校正环节的频率特性为校正后系统的开环传递函数为校正后系统的相位裕度，幅值裕度，系统的稳态性能指标及频域性能指标都达到了设计要求。校正后系统响应时间约为14s，超调量约为34%。1、相位滞后——超前校正原理及其频率特性超前校正滞后校正

三、相位滞后——超前校正带阻滤波器β=10，滞后在先，超前在后。高频段和低频段均无衰减。相位滞后-超前校正环节首先进行相位滞后校正，然后进行超前校正，且高频段和低频段幅值均无衰减，中频段存在增益衰减，其大小为。该校正环节的超前部分可改善系统的瞬态性能，其滞后部分可提高系统的稳态精度。2、采用Bode图进行相位滞后——超前校正设单位反馈控制系统，其开环传递函数如下，稳态性能指标：单位恒速输入时稳态误差；频域性能指标：相位裕度，幅值裕度。解：由稳态误差确定K，根据I型单位反馈系统，有频率特性为校正前系统的相位裕度约为-11º，幅值裕度为-4.5dB，闭环系统不稳定。采用滞后-超前校正环节，选校正前相位穿越频率作为校正后系统的穿越频率，即，对应的幅值为4.5dB，所以超前校正环节在该点应产生-4.5dB的增益使得幅值为0。因此，在Bode图上过点（2.26rad/s，-4.5dB）作斜率为20dB/dec（）的直线，它和0dB线及-20dB线的交点就是超前环节的极点和零点转折频率。由图可知超前环节的零点转角频率为0.33rad/s，极点转角频率为3.3rad/s。则超前环节的频率特性为滞后环节的零点转折频率应远低于rad/s，考虑到超前环节零点转折频率为0.3rad/s。滞后环节的频率特性为

零点转折频率取极点转折频率滞后-超前校正环节的频率特性为校正后系统的开环传递函数为幅值穿越频率为2.26rad/s，相位裕度为45°，相位穿越频率为4.7rad/s，幅值裕度为10.9dB，满足系统设计要求。校正后系统稳定，响应时间约为7s，超调量约为18%。原系统超前校正滞后校正滞后——超前校正滞后——超前校正6.4PID校正

无源校正环节：本身没有放大作用，而且输入阻抗低，输出阻抗高。有源校正环节：一般由运算放大器和电阻、电容组成，也称为调节器。PID调节器：即偏差的比例（Proportional）、积分（Integral）和微分（Derivative）。所谓PID控制规律，就是一种对偏差ε(t)进行比例、积分和微分变换的控制规律，即

其中，为比例控制项；为积分控制项；为微分控制项。一、PID控制规律1、PD调节器Kp=1时的频率特性采用PD控制后，相位裕度增加，稳定性增强；幅值穿越频率增加，系统的快速性提高。PD控制提高了系统的动态性能，但高频增益上升，抗干扰的能力减弱。PD校正相位超前2、PI调节器Kp=1时的频率特性

PI控制后，系统从0型提高到了I型，系统的稳态误差得以消除或减少，但相位裕量有所减小，稳定程度变差。PI校正相位滞后3、PID调节器Kp=1时的频率特性PID调节器在低频起积分作用，改善系统的稳态性能；在中频起微分作用，改善系统的动态性能。PID校正相位滞后超前PID控制作用如下：（1）比例系数Kp直接决定控制作用的强弱，加大Kp可以减少系统的稳态误差，提高系统的动态响应速度，但Kp不能过大。（2）在比例调节的基础上加上积分控制可以消除系统的稳态误差，因为只要存在偏差，它的积分所产生的控制量总是用来消除稳态误差的，直到积分的值为零，控制作用才停止。但它将使系统的动态过程变慢，而且过强的积分作用使系统的超调量增大，从而使系统的稳定性变坏。（3）微分的作用是跟偏差的变化速度有关的。微分控制能够预测偏差，产生超前的校正作用，它有助于减少超调，克服振荡，使系统趋于稳定，并能加快系统的动作速度，减少调整时间，从而改善了系统的动态性能。微分作用的不足之处是放大了噪声信号。1、PD校正环节二、PID校正环节2、PI校正环节3、PID校正环节1、二阶系统最优模型（典型Ⅰ型系统）开环传递函数为

单位反馈系统闭环传递函数为

三、PID调节器设计若使中频段斜率为-20dB/dec，有

参数KT0.250.390.50.691阻尼比10.80.7070.60.5超调量01.5%4.3%9.5%16.3%调整时间9.4T6T6T6T6T上升时间∞6.67T4.72T3.34T2.41T相位裕度76.3°69.9°65.3°59.2°51.8°谐振峰值1111.041.15谐振频率0000.44/T0.707/T闭环带宽0.32/T0.54/T0.707/T0.95/T1.27/T穿越频率0.24/T0.37/T0.46/T0.59/T0.79/T固有频率0.5/T0.62/T0.707/T0.83/T1/T表典型Ⅰ型系统性能指标与参数的关系由表可知：KT=0.5时即ζ＝0.707系统的稳定性、快速性都很好，因此工程上称此系统为最佳二阶系统。K=1/(2T)，ωc=1/(2T)2、高阶系统最优模型（典型Ⅱ型系统）

这个模型既保证了中频段斜率为-20dB/dec，又使低频段有更大的斜率，提高了系统的稳态精度。显然，它的性能比二阶最优模型高。

在初步设计时，可以取ωc=ω2/2；中频段宽度h选为5～12个ω1，如果希望进一步增大稳定裕量，可把h增大到15～18个ω1。按照谐振峰最小准则，有h5678910Mmin1.51.41.331.291.251.22W2/wc1.671.711.751.781.801.82Wc/w133.544.555.5由图可知表不同中频宽h的最小谐振峰值和最佳频比h345678910Mp%52.643.637.633.229.827.225.023.3tr/T22.42.652.853.03.13.23.33.4ts/T212.111.69.5510.411.312.213.214.2N3221111由低频段幅频特性可知，当ωc=1时，L(ω)=20lgK表典型Ⅱ型系统动态指标与h的关系试设计有源校正装置使系统Kv≥40，ωc≥50rad/s，相位裕度γ≥50º。例

为保证系统的稳态精度，提高系统的动态性能，选串联PD校正。校正前开环传递函数为使校正后的开环Bode图为希望二阶最优模型，可消去未校正环节的一个极点，令Td=0.15s，则按希望特性设计控制器的图解法例：单位反馈系统传递函数要求：单位斜波信号稳态误差ess≤0.02，相位裕度γ≥60°，上升时间tr=0.1s。解：根据稳态误差可知：K=50由原系统的幅频特性可知：系统以-40dB/dec穿越0分贝线，系统可能不稳定。以Ⅰ型设计：延长-20dB/dec线，使其穿越0dB线，直到100为止。由图可知校正后系统的相位裕度和上升时间为系统的校正环节为满足要求例：单位反馈系统传递函数如图，要求：系统静态速度误差系数Kv=1000,最大超调量Mp<28%，上升时间ts≤0.2s。解：原系统K=Kv=1000,满足要求。按典型Ⅱ型系统进行校正，满足最大超调量Mp<28%，对应的h=8。ts≤0.2s按ts=0.1725s设计。由表可知：ts/T2=12.25，T2=1/71，ω2=71。过ωc=40点在ω1=8.9和ω2=71之间画一斜率为-20dB/dec的线。以ω1=8.9为起点，画一斜率为-40dB/dec的线，交原低频线于ω0=0.035

；以ω2=71为起点，画一斜率为-40dB/dec的线至ω3=333，ω>ω3的高频段保持原斜率不变。曲线2减曲线1得到校正环节曲线3，由此得到其传递函数为按希望特性设计控制器的直接法例：单位反馈系统传递函数如图，要求：单位斜波信号稳态误差ess≤0.02，相位裕度γ≥60°，上升时间tr=0.1s。解：根据稳态误差可知：