基于高斯罚函数的电力系统调度方法

基于高斯罚函数的电力系统调度方法

0连续化离散变量的算法在能源系统的能耗优化中，不仅要处理局势机、电机的功率输出、固定svc值等连续控制变量，还要处理局势机、电动汽车的端部、电阻器和其他无用配置设备的传输等离散控制变量。因此,电力系统无功优化可以完整地描述为一个包含离散控制变量的最优潮流(optimalpowerflows,OPF)问题,这个问题在数学上是一类非线性混合整数规划问题。针对非线性混合整数规划问题,目前仍然缺乏一种理论上严格有效的求解方法。目前已有的方法按照离散变量的处理方式进行划分,有组合优化算法、现代优化算法和连续化算法等3类算法。其中连续化方法是最具有在线应用潜力的算法。该类方法将离散控制变量作为连续变量处理,并通过启发式规则或者罚函数的作用使得该变量的取值为离散值。处理连续化离散变量的一种朴素方法是圆整法,即先将离散变量当作连续变量处理进行求解,然后按照连续最优解将离散变量作四舍五入取整,最后将离散变量固定在整数值上。圆整法易于实现,但是对离散变量的直接圆整可能会破坏原问题的不等式约束,也难以保证解的最优性。采用启发式规则可以弥补盲目归整的缺陷。文献提出了两种离散变量取整的启发式规则。第一种是概率调整法,即在每次迭代中,由随机数决定离散变量是否作归整处理;另一种是阈值调整法,即在每次迭代中,将那些与离散值距离小于阈值的离散变量作归整处理,其中阈值随着迭代进行而不断地放宽。文献提出了3种在迭代过程中处理离散变量的启发式规则,其中两种基于灵敏度分析,第3种利用了Lagrange乘子的信息,算例表明,基于灵敏度分析的启发式规则可应用于实际系统。离散变量归整的另一种思路是在目标函数中引入罚函数,通过罚函数的作用使得离散变量的最优解尽可能地逼近离散值。文献介绍了一种结合牛顿法最优潮流的二次罚函数法,但在迭代过程中需要人为调试参数,并且根据某些规则对二次罚函数作线性化处理,实用性不够强。文献在牛顿最优潮流中引入正曲率的二次罚函数,并讨论了罚函数的引入时机,给出惩罚参数的动态修正策略。文献提出将二次罚函数内嵌到原始–对偶内点法中,通过大规模实际系统的测试表明算法效果较优。但是,非连续的二次罚函数割裂了解空间,容易陷入局部最优解。本文提出一种基于高斯罚函数的离散变量连续化处理方法,用于求解含离散变量的无功优化问题。首先,分析高斯罚函数的原理以及罚函数中各个参数的影响。然后,设计出结合高斯罚函数和原始–对偶内点法的无功优化实用算法,并在IEEE标准测试系统和实际系统上进行测试,以验证算法的鲁棒性和优化能力。1模型的等式简化取发电机无功出力、电容电抗器档位和可调变压器档位为控制变量,以系统网损最小为优化目标,建立如下含离散控制变量的无功优化模型。在模型中,节点负荷作为给定的边界注入条件,不参与优化,所以,最小化系统网损的目标等价于最小化发电机有功出力之和。约束条件中,第1个大括号内为潮流方程约束,第2个大括号内为离散控制变量对节点导纳阵的修正,第3个大括号内为状态变量和控制变量上下限约束。式中:PminGislack、PmaxGislack为平衡机有功出力的下限和上限;QGimin、QGimax为发电机无功出力的下限和上限;Ui和θi为节点电压幅值和相角;Uimin、Uimax表示节点电压幅值的下限和上限;kt为可调变压器档位;Kt为可调变压器的最高档位;cs为可投切电容电抗器档位;Cs为可投切电容电抗器的最高档位;b0ij为除可投切电容电抗器外的支路电纳;Δbs为可投切电容电抗器单位档位的电纳;tB为可调变压器的串联等效电纳;N为所有节点编号集合;NG为接入发电机的节点编号集合;Ni为与节点i关联的节点编号集合;T为变压器编号集合;iThead为首端节点编号为i的变压器编号集合;iTtail为末端节点编号为i的变压器编号集合;S为可投切电容电抗器编号集合;Si为挂接在节点i处的可投切电容电抗器编号集合。上述模型以发电机无功出力为连续控制变量、电容电抗器档位和可调变压器档位为离散变量,是一个大规模的非线性整数混合整数规划问题。为方便讨论,将上述模型简化为以下形式:式中:x=(θ,U)T为状态矢量;uc=(PGislack,QG)T为连续控制矢量;du=(K,C)T为离散控制矢量;f(x,uc,ud)为网络损耗;g(x,uc,ud)=0为模型等式约束;而状态矢量的上下限,为连续控制矢量的上下限;Y为离散控制变量的取值空间。2基于高斯奖惩函数的解算方法2.1基于约束的权能松弛问题的离散变量处理式(2)表示的函数是一个典型的高斯函数(GaussianFunction)。图1所示的是含两个变量的高斯函数分布图,从中可以反映函数的一个特点,即函数值随着矢量x=(x1,x2,…,xn)T离中心b=(b1,b2,…,bn)T的距离增加迅速下降为零。可见,如果令那么,在x=b的一个邻域内,由于叠加了高斯函数G(x)的作用,F(x)的函数性质与f(x)相差较大,F(x)的函数值明显高于f(x);而在离x=b较远的区域,G(x)迅速下降为零,对F(x)的函数性质几乎不起作用,F(x)与f(x)基本重合。模型式(4)的松弛问题可以描述为将松弛问题式(4)的最优解记为(x*,uc*,ud*)T,一般地,du*的分量不全为整数。如前所述,将du*作简单规整处理得到的解一般不满足原问题的可行性和最优性。本文提出的离散变量处理方法是,把如下高斯罚函数引入到松弛问题式(4)的目标函数中去。式中表示向下取整。即vd=(vd1,vd2,...,vdnd)T表示du*附近所有整数点的中心。得到带关于离散变量的惩罚项的松弛问题如下:通过在目标函数增加惩罚项,把原来的非线性混合整数规划问题式(1)松弛为非线性连续规划问题。近年来发展起来的原始–对偶内点算法具有收敛性好、鲁棒性强和对问题规模不敏感等特点,能够有效求解该问题。将该松弛问题的最优解记为。根据最优化理论,式(4)和(6)的最优解之间存在以下关系:式(5)所表示的罚函数描述的是离散变量ud与vd之间的距离,因此式(8)说明了比d*u更加远离中心vd,即比d*u更加靠近整数点。式(7)表明,松弛最优解向整数点的靠近是以目标函数值的上升为代价的。实际上,非整数的松弛解都是原始问题式(1)的不可行解,从这个角度来看,罚函数的引入加强了松弛解的可行性,同时保持最优性的折中。与非连续的二次罚函数相比,高斯罚函数具有连续可微的优良性质。另外,高斯函数具有快速下降为零的特点,对中心vd附近整数点处的函数值和函数性质基本没有影响,有利于寻优。2.2局部极小值点产生原因及改进算法下面分别讨论惩罚系数ν、邻域中心vd和邻域大小因子σ对罚函数性能的影响(结合小规模电力系统的定性分析参见附录A)。1)惩罚系数ν。随着ν的增大,惩罚项Φ(x)的作用越大,pl′oss的函数性质与ploss差别越明显,并且pl′oss(x)的极小值点也更加逼近边界上的整数值,所以,ν的增大有利于把目标函数的极小值点惩罚至边界的整数解附近。另一方面,ν取值过大会导致目标函数产生新的局部极小值点,导致求解算法容易陷入局部极小值点。局部极小值点产生的原因是,当惩罚系数很大时,罚函数Φ(x)对目标函数pl′oss的性质起主导作用,原目标函数ploss的影响几乎可以忽略。所以,ν的取值不宜太大。2)邻域大小因子σ。参数σ表征了惩罚区域的大小。若σ取值太小,惩罚函数随着离中心距离的增加而迅速下降为零,导致惩罚区域很小,对目标函数的极小值点起不到惩罚的作用。若σ从小数值开始增大,那么极小值点将越来越靠近整数边界;而当σ增大到一定程度后,极小值点开始远离整数边界。导致后者的原因是,当σ较大时,惩罚函数Φ(x)的斜率很小,随着离中心距离增加惩罚函数值几乎没有下降,此时的罚函数实际上起不到惩罚的作用。可见,邻域大小因子σ的取值应当适中。3)邻域中心vd。惩罚函数Φ(x)的作用是惩罚取值为非整数的松弛最优解,使算法能够寻找另一个更加接近整数点的松弛次优解,而邻域中心vd决定了惩罚区域的位置。一种方案是取松弛最优解为惩罚中心,即令vd=x*。这种方案存在2个问题。首先,目标函数在引入惩罚函数后会产生新的局部极小点。另外,引入惩罚函数可能会导致整数最优解发生改变,因为这种情况下的邻域中心并不是附近整数点的中心,而惩罚函数对每个整数点的影响因距离而异,这就有可能改变原始整数最优解的最优性。为了使得惩罚函数对所有整数点产生相同的作用,本文认为合适的做法是取惩罚中心vd为附近整数点的中心。2.3邻域大小因子t引入罚函数后虽然可以使问题的最优解接近整数点,但是某个分量离整数点较远的情况仍然会出现。为此,本文采用出逐步归整和参数试探相结合的策略,设计出实用的基于高斯罚函数的考虑离散变量的无功优化求解算法,算法流程图见图2,其中相关参数的选择如下。初始惩罚系数ν0=10-5f*ν0=10-5f*,其中f*为松弛问题(4)的最优值;邻域中心ud=(0.5,0.5,…,0.5)T;邻域大小因子σ=0.25m,其中m为离散变量的个数。在求解过程中,将离散控制变量ud划为松弛部分和固定部分两类,其中松弛部分是指在被连续化的离散变量,用Islack表示其下标集;固定部分是指已经被归整的离散变量,用Ifix表示其下标集,则有算法的具体步骤如下:1)初始化。求解松弛问题式(4)得到松弛最优值f*以及最优解(x*,uc*,ud*)T。记du*所在的整数区间为,并将du的上下界分别设为。设定参数ν0,vd,σ、惩罚系数增长因子β、迭代误差ε、归整阈值δ以及迭代初值d(u0),迭代初值(x(0),uc(0),ud(0))T,令k=1,ν(k)=ν0。4)如果Ifix中没有新加入的下标,那么令ν(k)=βν(k-1)(β>1);否则令ν(k)=ν0;。5)如果‖Ifix‖=m,那么跳转到第6)步;否则,令k=k+1,跳转到第2)步。6)令ν=0,求解松弛问题式(6)得到(x%,u%c,u%d)T作为原始问题式(1)的次优解。7)输出结果,结束。3计算与分析3.1测试结果为了验证算法性能,开发了基于本文算法的C++程序,并分别针对IEEE测试系统和实际电网进行了测试。程序中调用基于原始–对偶内点法的开源优化程序包IPOPT来求解松弛问题。算法测试硬件环境为英特尔双核CPU2.53GHz、3GB内存,操作系统为Win732bit,编译开发环境为VC++9.0。首先本文针对IEEE测试系统进行分析,算例中同时考虑了变压器变比的调整和电容电抗器的投切,并认为电容电抗器只有投运和退运两种状态。其中,各系统的变压器和电容电抗器的分布与标准数据一致。在IEEE30和IEEE118bus系统中,电容器的最大无功出力为0.45pu;在IEEE43bus系统中,电容器的最大无功出力为0.60pu。各系统的变压器变比范围为0.90~1.10,共分为8档,分级步长为0.025。所有节点的电压范围为0.95~1.05pu。针对标准节点系统的测试结果如表1所示。其中,松弛最优值指把离散变量连续化后得到的松弛问题的最优值;全局最优值指用分支定界法求得的原始问题的全局最优值;直接归整值指的是把原问题的松弛最优解直接归整,然后再求一次最优潮流得到的最优值。从表1的结果来看,全局最优值均大于松弛最优值,这是因为控制变量的离散化是以目标函数值的上升为代价的。在对IEEE-43bus系统的测试中,直接归整法不可行,而本文方法得到了一个近似最优解。在本算例中,电容器的无功补偿容量较大,意味着离散变量归整步长也比较大,离散变量的直接归整导致了连续变量的可行域为空,即再也无法通过调整发电机的无功出力使得系统满足电压约束。本文方法采取了逐步归整和连续寻优的策略,在逐步归整的同时对导致不可行的离散变量做出调整,并最终收敛到可行解。可见,本文方法能够鲁棒地获得可行的优化解。另外,与直接归整相比,用本文方法得到的网损更小,也更接近于全局最优值,可见本文的算法具有良好的寻优能力,能够改善盲目归整的缺陷。3.2归整变量总归优性计算为了验证算法的实用性,对不同规模的实际电网进行了测试。其中,系统1为华东某地区电网,系统2和3分别为华北地区的两个省级电网,3个电网的物理节点数分别为7261、10216和10010。在本算例中,仅考虑并联电容器的投切,电压约束为0.85~1.05pu。图3为在实际系统2算例的迭代过程中,归整变量个数和网损关于迭代次数的变化曲线,其中横坐标所表示迭代次数是指图2所示算法的循环次数。从该曲线可以看出,随着迭代的进行,松弛问题的最优网损随着归整变量个数的增加而呈总体增大的趋势。这说明变量的离散化是以目标函数的上升为代价的。表2为β=1.5时的计算结果,其中全局最优解是用结合内点法的分支定界法程序连续运行72h得到的结果。通过比较可以看出,对于实际规模的电网,用本文方法求得的网损明显小于通过直接归整得到的结果,也更加接近全局最优解。分支定界法从理论上来说具备获得混合整数规划全局最优解的能力,但作为一种具有指数时间复杂度的组合优化算法,难以在可接受的时间内完成实际系统无功优化问题的求解。而本文方法的计算时间对于实际应用而言是合理的,相比于传统的组合算法和现代优化算法,本文在计算速度方面具有优势,适用于制定日前无功计划以及其他在线的无功优化应用。表3为在不同的β取值下的计算结果和计算时间。通过对比可知,增大β的取值能够减少算法的计算时间,但不一定会降低解的最优性。从表3的结果来看,当β=1.5时的优化结果是最好的,计算时间也适中。在每轮的归整迭代中,参数β为惩罚系数ν的增长因子,β越大,意味着ν增加的步长也越大,从而加强了罚函数对离散变量的惩罚作用,使得离散变量更快地靠近整数点。另一方面,ν的增长步长过大,会导致松弛解难以靠近最优解,影响算法的寻优。所以,在应用本文算法求解现实问题时,可以根据实际需求选择合适的β取值,从而达到计算速度和计算精度的折中。4网损函数及邻域大小因子1)本文提出了一种基于高斯罚函数的离散变量连续化处理方法,用于求解电力系统中含离散变量的无功优化问题。高斯函数具有连续可微、下降速度快的特点,作为罚函数引入目标函数后能使松弛解接近整数点,改善松弛最优解的可行性和最优性。通过数值分析得出,参数选取对高斯罚函数的性能有重要影响。根据高斯罚函数的特点,设计出一种结合逐步归整和试探参数的实用化算法,并且对不同规模的标准测试系统和实际电网进行了测试。测试结果表明,本文算法不仅能够鲁棒地获得可行解,并且优化效果优于直接归整,同时能够在合理的时间内求解出接近全局最优的次优解,可应用于工程实际。2)通过本文分析可知,罚函数参数的选择对本文算法的性能有一定影响。大量的算例测试表明,本文采用的参数选择方法能使算法在一般情况下有较好的性能,所以基于人工经验的参数选择法能够满足工程实际的要求。通过深入分析参数的影响,设计出自适应性更好、性能更佳的参数选择方法,是本文在下一步研究工作中的重点。本附录结合一个小系统算例,考察参数对高斯罚函数的影响。考虑IEEE-5节点系统,系统结构如图A1所示。假设并联电容器CP1和CP2只有投运和退运两种状态,那么其状态可以用0-1变量x1,x2分别表示。设定节点1、2、3为PQ节点,节点4为PV节点,节点5为松弛节点,那么网损ploss由x1,x2唯一确定。不考虑电压约束和发电机出力约束,通过数值计算得出ploss关于x1,x2的函数分布如附图A2所示。由函数分布看出,ploss有松弛极小点,为x*=(0.74,0.38)T,整数极小值点为x%=(1,0)T。如前述,高斯罚函数的形式为为简单起见,假设∑=σI,则有:。下面对惩罚系数ν、邻域中心vd和邻域大小因子σ对罚函数性能的影响作定性的分析。1)惩罚系数ν。考虑叠加罚函数的网损:固定vd1=vd2=0.5,σ=0.25并改变ν的取值。如图A3所示,随着ν的增大,惩罚项Φ(x)的作用越大,pl′oss的图像与ploss差别越明显,并且pl′oss(x)的极小值点(图中标注点)也越接近边界的整数值。当ν=10.0时,极小值点在(1,0)T处恰好取到整数解。所以,ν的增大有利于把目标函数的极小值点惩罚至边界的整数解附近。另一方面,ν取值过大会导致目标函数产生新的局部极小值点,导致求解算法容易陷入局部极小值点。如图A4所示的ν=10.0的情形,除了全局极小值点(1,0)T外,还存在另外一个局部极小值点(1,1)T。局部极小值点产生的原因是,当惩罚系数很大时,罚函数Φ(x)对目标函数pl′oss的性质起主导作用,原目标函数ploas的影响几乎可以忽略。由此可见,ν的取值不应该太大。2)邻域大小因子σ。参数σ表征了惩罚区域的大小。固定ν=3.0,vd1=vd2=0.5并改变σ的取值,得到的网损函数pl′oss如图A5所示。若σ取值太小(如σ=0.01的情形),惩罚函数随着离中心距离的增加而迅速下降为零,导致惩罚区域很小,对目标函数的极小值点起不到惩罚的作用。如果σ从小数值开始增大,那么极小值点将越来越靠近整数边界;而当σ增大到一定程度后,极小值点开始远离整数边界。导致后者的原因是,当σ较大时,惩罚函数Φ(x)的斜率很小,随着离中心距离增加惩罚函数值几乎没有下降,此时的罚函数实际上起不到惩罚的作用。可见,邻域大小因子σ的取值应当适中。3)邻域中心vd。惩罚函数Φ(x)的作用是惩罚非整数的松弛最优解,使算法能够寻找另一个更加接近整数点的松弛次优解,而邻域中心vd决定了惩罚区域的位置。一种方案是取松弛最优解为惩罚中心,即令vd=x*。这种方案存在两个问题。首先,目标函数在引入惩罚函数后会产生新的局部极小点。如图A3上图所示,虽然新的全局极小点(0.8,0.8)T比x*更接近整数点,但同时产生了一个局部极小点(0.68,0.68)T,该点位置背离了整数最优解(1,0)T。另外,引入惩罚函数可能会导致整数最优解发生改变,在图A3下图中,新目标函数pl′oss的整数最优解为(1,1)T而非(1,0)T。此时的邻域中心并不是附近整数点的中心,惩罚函数对每个整数点的影响因距离而异,这就有可能改变原始整数最优解的最优性。为了使得惩罚函数对所有整数点产生相同的作用,本文认为合适的做法是取惩罚中心vd为附近整数点的中心,即vd=(0.5,0.5)T。2)令,并以此作为迭代初值,用内点法求解引入惩罚项的松弛问题式(6),得到最优解。通过直接4.3.4.3.4.3.4.3.4和3.4.3.4.3.4.3.4和3.4.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.4与本身sox-3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.Reactivepoweroptimizationwithdiscretecontrolvariables(suchaspositionsoftransformertapchangersandstatesofswitchablereactivepowercompensator)canbeformulatedasamixed-integernonlinearprogrammingproblem,whichisatypicalNP-hardprobleminmathematics.Sofar,variousmethodsforoptimalreactivepowerflows(ORPF)havebeendeveloped,suchascombinatorialoptimizationtechniques,modernoptimizationmethodsandcontinuousalgorithmswithrelaxation,amongwhichcontinuousmethodsarethemostpromisingoptionforonlineapplication.Inthispaper,apenaltyfunctionbasedapproachcombiningGaussianfunctionisdevelopedtohandlediscretecontrolvariables.Therelaxationmodelofreactivepoweroptimizationcanbedescribedasfollows:wherediscretecontrolvariablesarerelaxedtocontinuousvariables.Inaddition,aGaussianfunctionisaddedtotheobjectivefunctionasapenaltyterminordertodrivetherelaxeddiscretecontrolvariablestodiscretevalues,whichyieldsoutanextendedrelaxationproblemasfollows:Inoptimizationtheory,theintroductionofthecontinuouslydifferentiablepenaltyfunctionleadstoasolutionfurtherawayfromthepenaltycenter,thatis,asolutionclosertointegers.BasedontherelaxationproblemwiththeG