第三章 误差的合成与分解

第3章

误差的合成与分配教学目标

本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。教学重点和难点函数系统误差函数随机误差函数误差分布的模拟计算随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定第一节函数误差间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y的全微分，其表达式为：和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第一节函数误差【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差h=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差车间工人测量弓高h、弦长l的系统误差

直径的系统误差:故修正后的测量结果:

计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式得到即：可得：函数标准差计算

或第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数第i个测量值和第j个测量值之间的协方差第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差或相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项令第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差三角形式的函数随机误差公式1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差2）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：三角函数标准差计算

3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差h=-1mm。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：，有修正后的测量结果

第一节函数误差相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时2、相关系数估计第一节函数误差相关系数的确定可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判断法第一节函数误差可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法（1）观察法第一节函数误差（2）简单计算法其中，n2n3n4n10

（3）直接计算法根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数、分别为、的算术平均值（4）理论计算法第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括：一、标准差合成合成标准差表达式:

q个单项随机误差，标准差

误差传播系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第二节随机误差的合成当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量二、极限误差合成

单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成

ij

为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：

合成方法：按照代数和法进行合成

i为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除二、未定系统误差的合成

第三节系统误差合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围

e的系统误差特征：1）

在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：

极限误差：e

标准差：u1、标准差合成第三节系统误差合成（一）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as

，则合成后未定系统误差的总标准差u为:则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，

ij为第i个和第j个误差项的相关系数第三节系统误差合成当

ij=0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成

误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。测量过程中，假定有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：第四节系统误差与随机误差的合成二、按标准差合成

测量过程中，假定有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，它们的标准差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：2、n次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。第四节系统误差与随机误差的合成总极限误差变为：【例】在万能工具显微镜上