第5章-图形变换与观察

计算机图形学第5章图形变换与观察ComputerGraphics第5章

图形变换与观察二维几何变换三维几何变换投影变换三维观察流程裁剪OpenGL中的图形变换第五章图形变换与观察只改变组成形体的几何元素的几何信息（大小、形状及相对位置），而不改变图形拓扑信息的变换称为几何变换。

图形变换是计算机图形学的基础内容之一。通过图形变换，可以改变形体或图形的形状和大小，或由简单图形生成复杂图形，可以实现三维形体的二维图形表示，显示对三维图形的不同方位观察结果，还可对静态图形经过快速变换获得动态的显示效果。

第五章图形变换与观察主要教学内容：5.1二维几何变换

5.2三维几何变换5.3投影变换5.4三维观察流程5.5裁剪5.6OpenGL中的图形变换简介5.1二维几何变换本节主要教学内容：5.1.1基本几何变换5.1.2齐次坐标5.1.3复合变换5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，有相对坐标原点的平移、旋转、比例变换和相对坐标轴的对称和错切变换。其变换矩阵T可表示为：

则：

即：

5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

1.比例变换比例变换使图形放大或缩小。

比例变换矩阵

其中a，d分别为x，y方向上的比例因子。5.1二维几何变换XOYABCB’A’C’(a)a=d>1XOYA’B’C’BAC(b)a=d<1XOYA’B’C’BAC(c)a<1,d=1二维图形的比例变换5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

2.旋转变换旋转的基本变换是指图形沿坐标原点旋转θ角。其变换矩阵

5.1二维几何变换逆时针旋转时θ角为正，顺时针旋转时θ角为负二维图形的旋转变换OYXθ5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

3.平移变换平移变换式中Tx、Ty分别为图形在x、y方向上的位移量。平移变换无法用矩阵

表示。

5.1二维几何变换二维图形的平移变换OYXTxTy5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

4.对称变换

XOYABCB’A’C’x轴对称5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换XOYB’A’C’原点对称ABC

4.对称变换

5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

4.对称变换

y=x对称XOYB’A’C’ABC5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

5.错切变换当变换矩阵为

时，变换结果使图形产生错切变形。5.1二维几何变换当b=0时，此时图形的y坐标不变，如c>0，图形沿+x方向作错切位移；如c<0，图形沿-x方向作错切位移。当c=0时，此时图形的x坐标不变，如b>0，图形沿+y方向作错切位移；如b<0，图形沿-y方向作错切位移。二维图形的错切变换OY(a)x方向X(b)y方向XYO5.1二维几何变换5.1.1基本几何变换

6.平移变换平移变换式中Tx、Ty分别为图形在x、y方向上的位移量。平移变换无法用矩阵

表示。

5.1二维几何变换5.1.2齐次坐标注意到前面的平移变换无法用矩阵

表示。这对于复杂变换的数学表示和相应变换算法的计算机实现都是不利的，为了解决这个问题，引入齐次坐标表示法。

5.1二维几何变换5.1.2齐次坐标齐次坐标技术是从几何学中发展起来的，齐次坐标的表示在投影几何中常作为一种证明定理的工具。有时在n维空间中较难解决的问题，变换到n+1维空间中就比较容易得到问题的解答。所谓齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示一个n维向量。

5.1二维几何变换5.1.2齐次坐标齐次坐标的特点:1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”。3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。

5.1二维几何变换5.1.2齐次坐标齐次坐标的作用:1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。2.便于表示无穷远点。3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系保持不变）4.变换具有统一表示形式，便于变换合成，便于硬件实现。5.1二维几何变换5.1.2齐次坐标利用齐次坐标表示法，二维图形的变换矩阵形式为通过齐次坐标变换矩阵，可以将二维图形的基本几何变换重新表示为统一的形式。5.1二维几何变换5.1.2齐次坐标通过齐次坐标变换矩阵，平移变换可表示为旋转变换可表示为5.1二维几何变换5.1.3复合变换实际上对物体的变换可能需要多种变换的组合，这称为复合变换。复合变换的齐次坐标矩阵表示的结果为每次变换矩阵相乘。1.复合平移5.1二维几何变换5.1.3复合变换2.复合旋转5.1二维几何变换5.1.3复合变换3.相对任意参考点的几何变换5.1二维几何变换5.1.3复合变换4.相对任意直线

的对称变换变换可分为下五步来进行：（1）沿x轴平移使直线过原点；（2）绕原点顺时针旋转α角，使直线与x轴重合；（3）关于x轴作对称变换；（4）绕原点逆时针旋转α角；（5）沿x轴平移使直线回到原位置。上述变换步骤并不是唯一的，还有其它不同的变换方法。5.1二维几何变换5.1.3复合变换4.相对任意直线

的对称变换其中第五章图形变换与观察主要教学内容：5.1二维几何变换

5.2三维几何变换5.3投影变换5.4三维观察流程5.5裁剪5.6OpenGL中的图形变换简介5.2三维几何变换本节主要教学内容：5.2.1基本几何变换5.2.2复合变换5.2三维几何变换5.2.1基本几何变换三维齐次坐标变换矩阵，其形式为：5.2三维几何变换5.2.1基本几何变换同二维变换相似，三维基本几何变换也有平移、旋转、对称、比例等变换。平移变换5.2三维几何变换5.2.1基本几何变换全比例变换5.2三维几何变换5.2.1基本几何变换绕坐标轴的旋转变换绕x轴旋转绕y轴旋转绕z轴旋转5.2三维几何变换5.2.1基本几何变换错切变换5.2三维几何变换5.2.1基本几何变换XYZ沿x关于y的错切变换O5.2三维几何变换5.2.2复合变换例：绕过坐标系原点的直线旋转θ角XYZ绕过原点的直线的旋转变换OKNαβ5.2三维几何变换1)绕z轴旋转-β角2)绕y轴旋转-α角3)绕z轴旋转θ角5.2三维几何变换4)绕y轴旋转角5)绕z轴旋转角第五章图形变换与观察主要教学内容：5.1二维几何变换5.2三维几何变换

5.3投影变换5.4三维观察流程5.5裁剪5.6OpenGL中的图形变换简介5.3投影变换5.3.1基本概念三维形体要表示在平面（屏幕或图纸）上，必须要经过投影变换。

首先在三维空间中选择一个点为投影中心(或称投影参考点)，再定义一个不经过投影中心的投影面，连接投影中心与三维物体的线，称为投影线，投影线或其延长线将与投影面相交，在投影面上形成物体的像，这个像称为三维物体在二维投影面上的投影。

投影中心相当于人的视点，投影线则相当于视线。5.3投影变换ABA’B’投影线是平行的投影中心在无穷远处投影平面平行投影ABA’B’投影中心投影平面透视投影线段AB的平面几何投影5.3投影变换投影透视投影平行投影斜平行投影正平行投影一点透视二点透视三点透视正投影(三视图)正轴测投影斜等测斜二测正等测正二测正三测

投影的分类5.3投影变换5.3.2平行投影投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，工程制图中通常所说的三视图都属于正平行投影。形体三视图的投影面示意YOZXW面V面H面俯视图主视图侧视图YYZXO5.3投影变换投影在o’x’y’平面上的三视图YYZXOO’Y’X’(a,b)tztytxtxtzty在V、W、H面得到三视图为正投影，但为了将三个视图在同一平面（o’x’y’）上画出（通常认为平面（o’x’y’）与xoz平面共面），主视图（V面）还需作适当平移；而侧视图（W面）则还要先绕Z轴逆时针旋转90度角，再进行平移；俯视图（H面）则先绕X轴顺时针旋转90度角，然后进行平移。5.3投影变换主视图变换矩阵为：俯视图变换矩阵为：侧视图变换矩阵为：5.3投影变换5.3.3透视投影透视投影采用中心投影法，它与人观察景物的情况十分相似，能给人以较好的立体感和深度感。透视投影按照主灭点的个数分为一点透视、二点透视和三点透视。灭点灭点灭点灭点灭点灭点立方体的一点、二点、三点透视5.3投影变换5.3.3透视投影不同坐标系下的一点透视(b)观察坐标系YXZ视点P’P投影平面O(E)YXZ投影中心P’P投影平面(a)世界坐标系OE5.3投影变换在观察坐标系下的一点透视，可以分为下面几步来完成：将视点移到处，然后将z轴反向，再作视点在z轴上的一点透视变换，然将z轴方向变回去，将视点还原至原点。变换矩阵为：第五章图形变换与观察主要教学内容：5.1二维几何变换5.2三维几何变换5.3投影变换

5.4三维观察流程5.5裁剪5.6OpenGL中的图形变换简介5.4三维观察流程本节主要教学内容：5.4.1坐标系统5.4.2建模变换5.4.3观察变换5.4.4投影变换5.4.5窗口--视区变换5.4三维观察流程建模变换观察变换投影变换规格化变换工作站变换形体屏幕NPCPCVCDCWCMC三维观察流程5.4三维观察流程5.4.1坐标系统1.建模坐标系（ModelingCoordinateSystem）2.世界坐标系（WorldCoordinateSystem）3.观察坐标系（ViewingCoordinateSystem）4.投影坐标系（ProjectionCoordinateSystem）5.设备坐标系（DeviceCoordinateSystem）5.4三维观察流程5.4.2建模变换指将在建模坐标系中（局部坐标系）建模的物体放到统一的世界坐标系（全局坐标系）的过程中，需要根据场景的需要所进行的组合变换。通常可通过平移、旋转、伸缩等简单变换的组合来实现，如图所示。建模空间建模变换示意建模变换XZYO世界空间5.4三维观察流程5.4.3