人教版八年级数学上册 （三角形的内角）三角形教育课件

第十一章三角形三角形的内角人教版八年级上册

教学目标1、会阐述三角形内角和定理。2、会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)。3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。4、了解直角三角形两个锐角的关系。5、掌握直角三角形的判定。6、会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算。新知导入在小学的时候，我们就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。在Rt△ABC中，老大∠A=90°，则∠B+∠C=90°因此老二∠B或∠C＜90°。新知讲解一、三角形的内角和任意一个三角形的内角和一定等于

。180°验证三角形内角和的三种方法：测量法折叠法剪切法新知讲解测量法锐角三角形48072060060°＋48°＋72°＝180°新知讲解折叠法ABC演示123CAABBCABCABBCC剪切法新知讲解新知讲解那么，我们如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？已知：△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°方法一、证明：过点A作直线l，使l∥AB∵l∥AB∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）同理∠3=∠5∵∠1、∠4、∠5组成平角∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°新知讲解方法二、证明：延长BC到D，过点C作CE∥BACBAED12∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代换）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）新知讲解方法三、证明：过点D作DE∥AC，DF∥ABCBAEDF∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等）∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠EDF∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°∴∠A+∠B+∠C=180°新知讲解例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°∴∠ABD的度数为85°。新知讲解例2

如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°∴∠ABE=180°-∠ABD=180°-80°=100°

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。新知讲解二、直角三角形的性质和判定如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B+90°=180°∴∠A+∠B=90直角三角形的两个锐角互余。新知讲解直角三角形可以用符号“Rt△”表示。因此直角三角形ABC可写成

。Rt△ABC“直角三角形的两个锐角互余”其几何语言可表示为：在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？新知讲解已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。求证：该三角形为直角三角形证明：∵∠A与∠B互余∴∠A+∠B=90°由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°∴90°+∠C=180°∴∠C=90°∴△ABC为直角三角形有两个角互余的三角形为直角三角形。新知讲解例3、如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：∠CAE=∠DBE在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED∵∠AEC=∠BED∴∠CAE=∠DBE课堂练习1、（2022·河南周口·八年级期末）若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解析】∵三角形三个内角度数的比为1：3：4，∴三个内角分别是∴该三角形是直角三角形故选答案选BB课堂练习2、（2022·湖南邵阳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（

）A．48° B．58° C．62° D．68°【解析】∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°∵∠A=42°∴∠B=48°故答案选AA课堂练习3、（2022·广西钦州·八年级期末）如图，把一副三角板叠放在一起。则∠1的大小为（

）A．105° B．115° C．120° D．125°

∴【解析】如图∵图中是一副直角三角板，∴∠A＝45°，∠E＝30°∵∴∴∵故答案选AA课堂练习4、（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（

）A．5° B．4° C．8° D．6°【解析】△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°∵AD是BC边上的高∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-∠C=20°∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=50°∴∠EAC=∠BAC=25°∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°A课堂练习5、（2022·湖南长沙·八年级期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________。【解析】∵∠A=108°，∠B=2∠C∴108°十2∠C+∠C=180°∴∠C=24°∴∠B=2∠C=2×24°=48°48°课堂练习6、（2022·山东临沂·八年级期末）在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________。【解析】①当∠ADC=90°时，如图所示：∠BCD=90°-∠B

=90°-20°=70°②当∠ACD=90°时，如图所示：∵∠ACB=180°-∠A-∠B

=120°∴∠BCD=∠ACB-∠ACD

=120°-90°=30°70°或30°课堂练习7、如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度数。解：∵AB∥CD，∠C=40°∴∠B=∠C=40°∵∠A+∠B+∠AOB=180°∴∠A=180°-∠AOB-∠B=180°-80°-40°=60°∴∠A的度数为60°课堂练习8、（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数。解：∵∠B＝40°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°又∵AD为∠BAC的平分线∴∠DAC＝35°∵AE⊥BC∴∠EAC＝90°－∠C＝20°∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC

＝35°－20°

＝15°∴∠DAE的度数为15°课堂总结三角形的内角三角形的内角和三角形内角和的应用直角三角形的性质和判定直角三角形的两个锐角互余两个角互余的三角形为直角三角形直角三角形性质和判定的应用在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°在△ABC中，∵∠A+∠B=90°∴△ABC为直角三角形作业布置1、如图，在△ABC中，∠C=56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F，若∠FDB=20°，则∠CAB的度数为（）A．76° B．65° C．56° D．54°【解析】∵DF⊥BC∴∠DFB=90°在△BDE中，∠FDB=20°∴∠B=180°-90°-20°=70°在△ABC中，∠C=56°∴∠CAB=180°-70°-56°=54°故答案选DD作业布置2、（2021·河南商丘·八年级期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，则m的值是（

）A．3 B．4 C．1或3 D．2或4【解析】设∠A=x°，则∠C=3x°①当∠C=90°时，3x°=90°解得x=30∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°∴∠A:∠B=30°:60°=1:2∴m=2②当∠B=90°时，∠A+∠C=90°即x°+3x°=90°解得x=22.5∴∠A=22.5°，∠C=67.5°∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4∴m=4综上，m的值为2或4D作业布置3、（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是______。【解析】根据方向角的定义可得，∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°∵∠BAE=45°，∠EAC=15°∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°∵AE、DB是正南正北方向∴BD∥AE∵∠DBE=∠BAE=45°又∵∠DBC=80°∴∠ABC=80°-45°=35°∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°85°作业布置4、（2022·重庆巴南·八年级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE。已知∠C=90°，∠B=60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE=m°，则m=_________。【解析】①如图，当A′D∥BC时∵A′D∥BC∴∠A′DA=∠C=90°∴由翻折可知∠A′DE=∠ADE=45°∴m=45②如图，当A′E∥BC时∵A′E∥BC∴∠A′EF=∠B=60°∵∠A=90°-∠B=30°∴由折叠可知∠A=30°∴∠A′FE=∠DFE=90°∴∠A′DA=90°-∠A=60°∴∠A′DE=∠A′DA=30°∴m=30③当DE∥BC时，点A′与点C在直线AB的同侧，不符合题意综上可知m的值为45或3045或30作业布置5、（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为_____________。【解析】①如图：由翻折的性质可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°．∵∠AFE＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°②如图：由翻折的性质可知：EF⊥AB∴∠D+∠DAE＝90°∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°∴∠EDA＝50°∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°∴∠BAC＝140°综上，∠A的度数为40°或140°40°或140°作业布置6、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，求∠B的度数。解：∵AE平分∠BAC∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°在Rt△ABD中∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°∴∠B的度数为30°作业布置7、（2022·河南商丘·八年级期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°。(1)求∠EAC的度数；(2)若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．解：(1)∵∠EAD＝∠EDA∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD∴∠EAC＝∠B∵∠B＝54°∴∠EAC＝54°∴∠EAC的度数为54°(2)设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x∵∠B＝54°∴∠EDA＝∠EAD＝2x＋54°∵∠EDA＋∠EAD＋∠E＝180°∴2x＋54°＋2x＋54°＋5x＝180°解得x＝8°∴∠E＝5x＝40°∴∠E的度数为40°作业布置8、（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，△ABC中，AF、BE是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数。解：∵AD是高，∠C=50°∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-50°=40°∵∠C=50°∴∠CAB+∠ABC=130°∵AF、BE是角平分线∴∠BAO+∠ABO=

(∠CAB+∠ABC)=×(180°-50°)=×130°=65°∴∠BOA=180°-65°=115°∴∠DAC的度数为40°，∠BOA的度数为65°作业布置9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C∴∠B＝80°∴∠BAC＝60°∵AE平分∠BAC∴∠EAC＝30°∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∴∠DAC＝50°∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°∴∠DAE的度数为20°作业布置9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC。（2）证明：∵EF⊥AE∴∠AEF＝90°∴∠AED+∠FEC＝90°∵∠DAE+∠AED＝90°∴∠DAE＝∠FEC∵AE平分∠BAC∴∠EAC＝∠BAC

＝(180°﹣∠B﹣∠C)

＝(180°﹣3∠C)

＝90°﹣∠C∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）

＝90°﹣∠C﹣90°+∠C

＝∠C∴∠FEC＝∠C∴∠C＝2∠FEC作业布置10、（2022·安徽合肥·八年级期末）(1)如图1，在△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数。(1)解：由题意得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠BAC=40°∵AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=55°∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°∴∠DAE的度数为15°作业布置10、（2022·安徽合肥·八年级期末）(2)如图2，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD上任意一点（不与A、D重合），FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数。(2)解：过点A作AH⊥BC于H，如图由（1）可得∠DAH=15°∵FE⊥BC∴AH∥EF∴∠DFE=∠DAH=15°∴∠DFE的度数为15°谢谢三角形的外角

学习目标1.理解并掌握三角形的外角的概念．2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）3.掌握三角形的外角的性质．（重点）4.会利用三角形的外角性质解决问题（难点）.回顾旧知1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=

.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48°三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180°.2.如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

则∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°合作探究---三角形的外角的概念定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD思考2、如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？思考1、如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.合作探究---三角形的外角的概念合作探究---三角形的外角的概念ABC思考3、画出△ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角．

每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.小试牛刀1．如图，下列各角是△ABC的外角的是()A．∠4B．∠3C．∠2D．∠12．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能BB小试牛刀FABCDE3、如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.合作探究---三角形的外角的性质

在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是

△ABC的一个外角，你能求出∠ACD的度数吗？70°60°50°130°∠ACD与∠A，∠B的大小有什么关系？∠ACD=∠A+∠B那么对于任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都具有这种关系呢？合作探究---三角形的外角的性质

如图，任意一个△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？合作探究---三角形的外角的性质D证明：过C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A，（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.合作探究---三角形的外角的性质三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠B.小试牛刀2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝50°，则∠3的度数为_______．30°

1.如图，△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为()A．110°B．80°C．70°D．60°D

小试牛刀3、如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB小试牛刀

4.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解:∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.总结：三角形的外角和等于360°你还有其他解法吗？小试牛刀解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213小试牛刀解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，DEF课堂总结今天我们收获了哪些知识？1.三角形的外角与不相邻的两个内角有什么关系？2.这个推论是如何证明的？3、三角形的外角和是多少？综合演练1.