人教版九年级数学上册 （二次函数y=ax2的图象与性质）二次函数课件教学

二次函数y=ax²的图像和性质第二十二章二次函数

学习目标第二十二章二次函数3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.回顾旧知第二十二章二次函数反比例函数的图象一次函数的图象二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线新知导入第二十二章二次函数（1）你们喜欢打篮球吗？（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？知识探究第二十二章二次函数二次函数y=ax2的图象的画法x…-3-2-10123…y=x2…

…

画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：知识点1问题1知识探究第二十二章二次函数24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．知识探究第二十二章二次函数-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.知识探究第二十二章二次函数画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

知识探究第二十二章二次函数

根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x21.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．y二次函数y=ax2的图象性质知识点2问题2知识探究第二十二章二次函数说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.oxyy=-x21.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．知识探究第二十二章二次函数1.顶点都在原点（0,0）;3.当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下．2.图像关于y轴对称;二次函数y=ax2的图象性质知识探究第二十二章二次函数

观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？

二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2知识探究第二十二章二次函数二次函数y=ax2的性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)知识点3问题3知识探究第二十二章二次函数对于抛物线

y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.二次函数y=ax2的性质知识探究第二十二章二次函数(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.观察图形，y随x的变化如何变化？知识探究第二十二章二次函数对于抛物线

y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.二次函数y=ax2的性质知识探究第二十二章二次函数解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5在同一直角坐标系中，画出函数的图象．问题4知识探究第二十二章二次函数xyO-222464-48【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.知识探究第二十二章二次函数【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5知识探究第二十二章二次函数xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．知识探究第二十二章二次函数y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减归纳yOxyOx知识探究第二十二章二次函数（3）函数y=

x2的图象的开口

,对称轴是

,

顶点是

;顶点是抛物线的最

点（2）函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

顶点是抛物线的最

点.（1）函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)（4）函数y=－0.2x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

.向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低填一填知识探究第二十二章二次函数二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）

质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）知识点4知识探究第二十二章二次函数例1已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1因此m=1此时,二次函数为:y=2x2.利用函数y=ax2的定义确定字母的值素养考点1巩固练习第二十二章二次函数已知

是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=

.分析

是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，，解得k=2.2变式题1巩固练习第二十二章二次函数对应训练

《超越训练》

P33：例1+达标训练知识探究第二十二章二次函数例2已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；

即：S=（c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.注意自变量的范围素养考点2函数y=ax2的实际应用知识探究第二十二章二次函数解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=；（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8.，或c≤-8(舍去）.因此C

≥8cm.巩固练习第二十二章二次函数(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<变式题2已知二次函数y＝2x2.

巩固练习第二十二章二次函数(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，

∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，

∴OA＝OB，

∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.知识探究第二十二章二次函数方法点拨

二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．巩固练习第二十二章二次函数（2017•江苏连云港）已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（

）．A.y1＞0＞y2

B.y2＞0＞y1

C.y1＞y2＞0

D.y2＞y1＞0C连接中考解析

∵抛物线y=ax2(a＞0)，∴A（-2，y1）关于y轴的对称点的坐标为（2，y1），又∵a＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜2，

∴0＜y2＜y1.巩固练习第二十二章二次函数对应训练

《超越训练》

P34：例2+达标训练课堂检测第二十二章二次函数

1.函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,

y随x的增大而

.

2.函数y=-3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO基础巩固题课堂检测第二十二章二次函数

3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.xyk>14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O课堂检测第二十二章二次函数已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，a=1＞0

因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，

∴m≤0．能力提升题课堂检测第二十二章二次函数1、已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得

解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.拓广探索题课堂检测第二十二章二次函数拓广探索题课堂小结第二十二章二次函数二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性必做:完成《超越训练》分层作业的基础巩固

选做:完成《超越训练》能力提升和思维拓展课后作业作业1作业2课后作业第二十二章二次函数学习靠积累、记忆靠理解经验靠反思、熟练靠练习二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.

（难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.

（重点）

3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.

学习目标新课导入知识回顾一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?方程的解是函数在x轴上的截距新课导入课时导入

以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．1

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：新课讲解知识点1二次函数与一元二次方程的关系例新课讲解知识点(1)球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.解：解方程15=20t-5t2，

t2-4t+3=0，

t1=1，t2=3.为什么在两个时间球的高度为15m？新课讲解(2)球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht202解方程：20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.为什么只在一个时间球的高度为20m？新课讲解(3)球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht20.5解方程：20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5m.为什么球不能达到20.5m的高度?新课讲解(4)球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.解：新课讲解从上面发现，一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.所以二次函数与一元二次方程关系密切．

例如，已知二次函数y=-x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．

反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．新课讲解

新课讲解练一练已知二次函数y=-x2+2x+m

的部分图象如图所示，则关于x

的一元二次方程-x2+2x=-m的解为

.x1=-1，x2=3分析：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3，所以另一个交点的横坐标为2×1-3=-1，所以关于x的一元二次方程-x2+2x=-m，即-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3．新课讲解知识点2公共点的问题2下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1)y=x2-x+1；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2+x-2.例新课讲解1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无实数根3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1新课讲解知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有公共点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系新课讲解知识点利用二次函数的图象解一元二次方程基本步骤：1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；2.观察图形，确定抛物线与x

轴的公共点的坐标；3.公共点的横坐标就是对应一元二次方程的解.新课讲解练一练利用函数图象求方程

x2－2x－2＝0的实数根(结果保留小数点后一位)．画出函数

y＝x2－2x－2的图象(如图)，它与

x轴的交点的横坐标大约是－0.7，2.7.所以方程

x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.解：新课讲解知识点3图象法解一元二次方程

－222464－48－2－4Ox我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．3解：画出函数

y=x