自动控制原理第三课湘潭大学期末复习

第二章控制系统的数学模型

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。▼数学模型是对实际系统的一种数学抽象。从狭义上说，是一种描述系统各变量之间关系的数学表达式。而从广义而言，凡揭示系统各变量内在联系及关系的解析及图示等方法都称之为数学模型。因而微分方程、传递函数、信号流图、结构图、零极点分布图、根轨迹图及频率特性等都被称为数学模型。1、建模方法：解析法从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。实验法对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，用求取系统或元件的输出响应的方法建立数学模型。2、建模优点：不同的系统，相同的数学模型2-1控制系统微分方程式的建立

1、对于单输入-单输出线性定常系统或元件的微分方程的标准形式：

——输入量，——输出量，（），（）均为实数，由系统结构参数决定的系数。

2、利用解析法列写微分方程的一般步骤：1）找出输入量和输出量2）根据规律，围绕输入量和输出量及有关量,列写原始方程式3）消去中间变量，整理出只有输入量和输出量及其导数的方程4）

标准化

介绍了微分方程的建立步骤，下面我们分别以电气系统和机械系统为例，说明如何列写系统或元件的微分方程式。

一、

电气系统1、电气系统一般是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成。2、有源器件与无源器件；有源网络与无源网络。3、基本定律、基本关系基尔霍夫电流定律：

（2.1-1）（任一节点）

基尔霍夫电压定律：（2.1-2）（任一回路）对电阻：（2.1-3）对电感：（2.1-4）对电容：（2.1-5）RL图2.1-1LRC电路例2.1-1（2.1-7）

解：根据基尔霍夫电压定律：（2.1-6）

其中，则有：

（2.1-8）取则有：

（2.1-9）

●

2.1-9是一个典型的二阶线性常系数微分方程，它对应的系统为二阶线性定常系统。C图2.1-2电容负反馈电路iRiC

例2.1-2

解：因为，根据基尔霍夫电流定律：有

（2.1-10）整理得：（2.1-11）

（2.1-12）

●

2.1-12为一阶微分方程，对应一个一阶系统。

一、

机械系统

机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动和转动。

必须掌握的定律：1、

牛顿第二定律：（2.1-13）2、

牛顿转动定律：（2.1-14）

运动的物体，摩擦力的表示：（2.1-15）

转动的物体，摩擦力矩的表示：（2.1-16）例2.1-3机械平移系统

图2.1-3机械平移系统解：根据牛顿第二定律有：

（2.1-17）其中：

整理得：

（2.1-22）上式是一个二阶微分方程，对应着二阶线性定常系统。

例2.1-4单轴转动系统图2.1-4机械转动系统解：根据牛顿转动定律其中：

整理得1）：

●

2.1-25是一个一阶微分方程，对应着一阶线性定常系统。2.1-26是一个二阶微分方程，对应着二阶线性定常系统。

例2.1-5多轴传动系统

图2.1-5齿轮传动系统已知：

解：分别对三轴求解，根据牛顿转动定律：对轴1有：

对轴2有：

对轴3有：

忽略齿轮啮合中的功率损耗可得：

整理得：

2-2传递函数

一、

传递函数的引出

前面我们讲了控制系统微分方程式的建立，控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型。在时间域里由已知的输入量求输出量。但由于微分方程的求解比较困难，所以微分方程所表示的变量间的关系总是显得很复杂，而且，如果系统中某个参数变化或结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程，因此不便于对系统进行分析和设计。

运用拉普拉斯变换求解线性常微分方程所得出的传递函数，则把控制系统的输出和输入的关系表示得简单明了，它是系统在复数域的数学模型，它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响，在后面我们将要讲到的古典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是在传递函数基础上建立起来的。因此，传递函数是在古典控制理论中最基本也是最重要的概念。二、传递函数的定义

若一般的线性定常系统的输入量和输出量分别为、，则系统的动态方程可引用下列线性常系数微分方程：令和的初始值为零，即：

（2.2-1）

对式（2.2-1）进行拉普拉斯变换得:=（2.2-2）

拉普拉斯变换能得到（2.2-2）式的形式的前提是和的初始值为零,否则,不能得到（2.2-2）式的形式,因为对式（2.2-2）提出输出量和输入量有:是一个只取决于系统结构的函数,这个函数把输出量和输入量联系起来了,因此我们引入下述定义:

在初始条件为零时,线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换式

与输入信号的拉氏变换式

之比,称为该系统或元件的传递函数,通常记为

,因此有:

由和可以求出值。

●

由上可见，求的一个方法，就是利用系统的微分方程求取拉氏变换。例2.2-1求图2.1-1LRC电路的传递函数

RL图2.1-1LRC电路解：微分方程为：

在初始条件为零时，取拉氏变换得：

则：

例2.2-2求图2.1-2电容负反馈电路的传递函数。

C图2.1-2电容负反馈电路解：系统的微分方程为：

在零初始条件下取拉氏变换得：

则

例2.2-3求图2.1-3机械平移系统的传递函数。

解：已知系统的微分方程为：

在零初始条件下取拉氏变换：

则可得：

●

传递函数是在初始条件为零时定义的，控制系统的零初始条件有两方面的含义：1）输入作用在以后才作用于系统；2）输入作用加于系统之前，系统是相对静止的。传递函数的几点说明

:一、

1、范围：线性定常系统。传递函数与线性常系数微分方程一一对应。的结构和各项系数取决于系统本身结构。系统的动态数学模型与输入信号的具体形式和大小无关。对象：研究单输入-单输出情况，若有多个输入，须指定一个，其余为零。2、不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。

3、对于实际的元件和系统，是复变量的有理分式，和均为有理多项式，各项系数为实数（它们都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数）。另有两种表达形式：及

（a）

（b）

(a)

式的特点；的系数都是1，为

的零点，，,┅为

的极点。由于N（s）和D（s）的各项系数都是实数，所以零点和极点是实数或共轭复数。(b)

式的特点：各因式中常数项为1，τ1，τ2┅τm；T1，T2┅Tn为系统各环节的时间常数，k为放大倍数。4、m〈n反映的基本事实：一个物理系统的输出不能立即完全复现输入信号，只有经过一定时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。（系统必然具有惯性且能源有限）

5、中自变量为复变量s，是系统的复域描述；微分方程

的自变量为t，是系统在时域的描述。四、典型环节及其传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1比例环节2惯性环节式中K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。式中T-时间常数

特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。3微分环节理想微分一阶微分二阶微分4积分环节式中ξ－阻尼比

-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5振荡环节6