第04章 多个样本均数比较的方差分析1

第四章多个样本均数比较的方差分析AnalysisofVariance,ANOVA

t分布——t值与t分布的引入－1.961.960.0250.025X

0N(,2)N(0,1)样本均数正态分布观察值正态分布t分布标准正态分布S代替

例如，有4个样本均数，两两组合数为，若用t检验做6次比较，且每次比较的检验水准定为α=0.05，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ类错误的概率为，这时，总的检验水准变为，远比0.05大。因此，样本均数间的多重比较不能用两样本均数比较的t检验。

ANOVA由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数有无差异

Content1.方差分析的基本思想及应用条件2.完全随机设计资料的方差分析3.随机区组设计资料的方差分析4.拉丁方设计资料的方差分析5.两阶段交叉设计资料的方差分析6.多个样本均数间的多重比较7.多样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验

Content1.Basicidealandapplicationconditions2.ANOVAofcompletelyrandomdesigneddata

3.ANOVAofrandomizedblockdesigneddata4.ANOVAoflatinsquaredesigneddata

5.ANOVAofcross-overdesigneddata

6.Multiplecomparisonofsamplemeans7.BartletttestandLevenetest第一节方差分析的基本思想及其应用条件目的：推断多个总体均数是否有差别。

也可用于两个

方法：方差分析，即多个样本均数比较的F检验。基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。通过比较可能由某因素所至的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。应用条件：总体——正态且方差相等

样本——独立、随机设计类型：完全随机设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析拉丁方设计资料的方差分析两阶段交叉设计资料的方差分析完全随机设计资料的方差分析的基本思想

合计

NS:第i个处理组第j个观察结果记总均数为，各处理组均数为，总例数为N＝nl+n2+…+ng，g为处理组数。

例6.1拟探讨枸杞多糖（LBP）对酒精性脂肪肝大鼠GSH（mg/gprot）的影响，将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组）12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？

§1.One-wayanalysisofvariance（completelyrandomdesignANOVA）单因素方差分析（完全随机设计方差分析）总变异组内变异组间变异三种“变异”之间的关系离均差平方和分解：1.总变异:全部测量值大小不同，这种变异称为总变异。总变异的大小可以用离均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示，即各测量值Xij与总均数差值的平方和，记为SS总。总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异程度。计算公式为其中：2．组间变异：各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数

(i＝1，2，…，g)也大小不等，这种变异称为组间变异。其大小可用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间。计算公式为3．组内变异：在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异（误差）。组内变异可用组内各测量值Xij与其所在组的均数的差值的平方和表示，记为SS组内,表示随机误差的影响。

三种变异的关系：

均方差，均方(meansquare，MS)。检验统计量：如果，则都为随机误差的估计，F值应接近于1。如果不全相等，F值将明显大于1。用F界值（单侧界值）确定P值。第二节完全随机设计资料的方差分析

(completelyrandomdesign)是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。一、完全随机设计

例4-1

某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组进行双盲试验。问如何进行分组？（1）完全随机分组方法：

1.编号：120名高血脂患者从1开始到120，见表4-2第1行（P72）；2.取随机数字：从附表15中的任一行任一列开始，如第5行第7列开始，依次读取三位数作为一个随机数录于编号下，见表4-2第2行；3.编序号：将全部随机数字从小到大(数据相同则按先后顺序）编序号，见表4-2第3行。4.事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。（2）统计分析方法选择：1.对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-wayANOVA)或成组资料的t检验（g=2）；2.对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon秩和检验。二、变异分解

例4-2

某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组（具体分组方法见例4-1），进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?表4-34个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)三、分析步骤

H0：即4个试验组总体均数相等H1：4个试验组总体均数不全相等

2.

计算检验统计量

:1.建立检验假设，确定检验水准:表4-5完全随机设计方差分析表列方差分析表3.确定P值，作出推断结论：

按水准，拒绝H0，接受H1，认为4个试验组ldl-c总体均数不相等，即不同剂量药物对血脂中ldl-c降低影响有差别。F分布曲线=FDIST(3.74,2,14)=FINV(0.05,1,10)附表4F分布曲线下面积与概率⒈

提出检验假设，确定检验水准。

H0:三个组GSH值的总体均数相同；

H1:三个组GSH值的总体均数不全相同；⒉根据公式计算SS、MS及F值三组大鼠的GSH测得值见后表，问其测得值是否相同？

得F=23.85>F0.05(2,32)=3.30。P<0.05，差别有统计学意义，按照0.05的显著性水准，拒绝H0，可认为三种处理方式大鼠的GSH值不全相同。Excel计算方法Excel计算结果SPSS计算方法SPSS结果注意：

方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见本章第六节）。当g=2时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的t

检验等价，有。第三节随机区组设计资料的方差分析一、随机区组设计——配伍组设计

(randomizedblockdesign)

随机区组设计(randomizedblockdesign)又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。

（1）随机分组方法：（2）随机区组设计的特点

随机分配的次数要重复多次，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行，且各个处理组受试对象数量相同。区组内均衡。在进行统计分析时，将区组变异离均差平方和从完全随机设计的组内离均差平和中分离出来，从而得到更接近真实的组内离均差平方和（误差平方和），提高了统计检验效率。

例4-3

如何按随机区组设计，分配5个区组的15只小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？

分组方法：先将小白鼠按体重编号，体重相近的3只小白鼠配成一个区组，见表4-6。在随机数字表中任选一行一列开始的2位数作为1个随机数，如从第8行第3列开始纪录，见表4-6；在每个区组内将随机数按大小排序；各区组中序号为1的接受甲药、序号为2的接受乙药、序号为3的接受丙药，分配结果见表4-6。（3）统计方法选择：1.正态分布且方差齐同的资料，应采用两因素（处理、配伍）方差分析(two-wayANOVA)或配对t检验（g=2）；2.当不满足方差分析和t检验条件时，可对数据进行变换或采用随机区组设计资料的FriedmanM检验。

表4-7随机区组设计的试验结果

二、变异分解(1)

总变异：反映所有观察值之间的变异,记为SS总。(2)处理间变异：由处理因素的不同水平作用和随机误差产生的变异，记为SS处理。(3)区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异，记为SS区组。(4)误差变异：完全由随机误差产生的变异，记为SS误差。对总离均差平方和及其自由度的分解，有:

表4-8

随机区组设计资料的方差分析表

三、分析步骤

例4-4

某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？

表4-9

不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（g）

H0：，即三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数相等

H1：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等

据

1=2、

2=8查附表3的F界值表，得在α=0.05的水准上，拒绝H0，接受H1，认为三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等，即不同药物的抑瘤效果有差别。同理可对区组间的差别进行检验。注意：

方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见本章第六节）。当g=2时，随机区组设计方差分析与配对设计资料的t

检验等价，有。

随机区组设计确定区组因素应是对试验结果有影响的非处理因素。区组内各试验对象应均衡，区组之间试验对象具有较大的差异为好，这样利用区组控制非处理因素的影响，并在方差分析时将区组间的变异从组内变异中分解出来。因此，当区组间差别有统计学意义时，这种设计的误差比完全随机设计小，试验效率得以提高。第四节拉丁方设计资料的方差分析

在试验涉及一个处理因素和两个控制因素，每个因素的类别数或水平数相等时，可将两个控制因素安排在拉丁方的行和列上，采用拉丁方设计。拉丁方设计必须在从专业上判断各个因素间的相互作用可以忽略的情况下采用。第五节两阶段交叉设计资料的方差分析

研究中需要对比两种不同处理效果的时候，随机将研究对象分组，按不同的先后顺序接受两种处理，这种设计称为两阶段交叉设计。两阶段交叉设计必须保证一个阶段的处理效应不能持续到下一个阶段，有必要在两个阶段之间设置一个洗脱期，以消除残留效应的影响。补充2×2析因设计的方差分析

析因设计(factorialdesign)是将多个因素的各个水平进行排列组合，在每一种可能的水平组合下进行试验，以探讨各因素的效应以及各因素之间的交互效应，而且通过比较各种组合效应，找出最佳组合。2×2析因设计的数据结构2×2析因设计方差分析的目的考察A、B两因素的“主效应”考察A、B两因素间的“交互效应”表6-11小鼠BALF中IL-4值（pg/ml)

40只小鼠随机分配到4组

A1B1、A1B2、A2B1、A2B2单独效应主效应单独效应主效应一阶交互效应：AB=[(a2b2-a1b2)-(a2b1-a1b1)]/2=2例6.4

计算得到方差分析表随机区组设计的方差分析和析因设计的方差分析之间有什么区别？正交设计当试验因素多达三个以上时，采用析因设计的试验次数剧增，正交设计是多个因素各水平的部分组合，是非全面试验，或称析因设计的部分实施。当实验因素较多时，采用正交设计可以成倍地减少试验次数，但是是以牺牲分析各因素的部分或大部分交互作用为代价的。正交设计通常作为试验条件的探索，在确定研究因素的作用时，需要进一步的试验。嵌套设计裂区设计方差分析的使用条件各处理组样本来自随机、独立的正态总体-------(W法、D法、卡方检验推断)W法：Shapiro-Wilk检验D法：Kolmogorov-Smirnov检验各处理组样本的总体方差相等

------Bartlett检验法、Levene检验法

第六节

多个样本均数间的多重比较

（multiplecomparison）多重比较不能用两样本均数比较的t检验！

若用两样本均数比较的t检验进行多重比较，将会加大犯Ⅰ类错误（把本无差别的两个总体均数判为有差别）的概率。

例如，有4个样本均数，两两组合数为，若用t检验做6次比较，且每次比较的检验水准定为α=0.05，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ类错误的概率为，这时，总的检验水准变为，远比0.05大。因此，样本均数间的多重比较不能用两样本均数比较的t检验。适用条件：

当方差分析的结果为拒绝H0，接受H1时，只说明g个总体均数不全相等。若想进一步了解哪些两个总体均数不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较。一、LSD-t检验

（leastsignificantdifference）适用范围：一对或几对在专业上有特殊意义的样本