八年级数学上册知识讲解及巩固练习：《三角形的初步知识》全章复习与巩固（基础）知识讲解

PAGE《三角形的初步知识》全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1.理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2.理解并会应用三角形三边关系定理解答问题.3.了解三角形中三条重要的线段及其性质，并能正确的用尺规作出三角形三条重要线段.4.理解命题与定理的意义，并能判断命题的真假；掌握几何证明的正确表述格式.5.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.6.掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类1.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、命题、定理与证明1.命题：判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；2.定理：如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.3.证明从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．要点五、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.“全等三角形判定2——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定3——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定4——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点六、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.

【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.

【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理，

得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.

【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______

【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，∴它的第三边长不可能为：17cm．故选：D．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．举一反三【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6,则周长L的取值范围是()

A．6＜L＜15B．6＜L＜16C．11＜L＜13D．12＜L＜16

【答案】D.

【变式2】（2015•韶关模拟）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边不可能为（）cm．A．5 B．8 C．10 D．17【答案】D．解析：设第三边的长为x，则10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16，故第三边不可能为17．故选D．类型三、三角形的重要线段3.（2014秋•潘集区校级月考）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B=20°，∠C=70°，则∠DAE=；（2）若已知∠B=25°，∠C=85°，则∠DAE=；（3）若已知∠B=α，∠C=β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．【思路点拨】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=45°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°﹣∠C=20°，然后利用∠DAE=∠CAD﹣∠CAE计算即可．（2）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°﹣∠C=5°，然后利用∠DAE=∠CAD﹣∠CAE计算即可．（3）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°﹣α﹣β，再根据角平分线与高线的定义得到∠DAC=90°﹣﹣，∠AEC=90°，则∠CAE=90°﹣∠C=90°﹣β，然后利用∠DAE=∠CAD﹣∠CAE计算即可．【答案与解析】解：（1）∵∠B=20°，∠C=70°，∴∠BAC=90°，∴∠DAC=45°，∵AE是△ABC的高．∴∠EAC=20°，∴∠DAE=45°﹣20°=25°；（2）∵∠B=25°，∠C=85°∴∠BAC=70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC=35°，∵AE是△ABC的高．∴∠EAC=5°，∴∠DAE=35°﹣5°=30°；（3）在△ABC中，∠BAC=180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC=90°﹣﹣，∵AE是△ABC的高．∴∠EAC=90°﹣β，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣﹣﹣90°+β=（α﹣β），故答案为25°，30°．【总结升华】本题考查了三角形中的重要线段——高线和角平分线以及三角形内角和定理.举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线,则∠DAE的度数为_________.

【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定 4.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE.【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD证明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE即∠BAE＝∠CAD又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90°则有∠DCE＝180°－90°＝90°，所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，∴△DAB≌△EAC（ASA）∴BD＝CE.5.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜【答案与解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，∵AD为中线，∴BD＝CD在△ADC与△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长的取值范围是()A.1＜＜6B.5＜＜7C.2＜＜12D.无法确定【答案】A；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以选A选项.类型五、用尺规作三角形6.作图：请你作出一个以线段a为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：【思路点拨】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作