半连续函数的性质与应用

摘要函数的种类极为复杂.在函数论中,持续函数的性质和应用占有相称重要的地位.有一类函数即使不持续,但却含有某些与持续函数相近的性质,即持续函数的一种推广——半持续函数.从而得到了比持续函数更广泛的一类函数的性质.通过对半持续函数的研究,对半持续函数在数学分析中的应用奠定了理论基础.首先简述持续函数的性质与应用,之后重点讨论半持续函数的性质,具体介绍运算性,保号性,以及拓扑空间上半持续函数性质定理.推广到紧致空间中半持续函数的应用.最后辨析持续函数与半持续函数性质、应用,最后应用持续函数性质解决半持续函数的问题.事实上半持续函数理论在古典分析和当代分析中都有着较为广泛的应用.例如在最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题都有着举足轻重的作用.核心词：半持续；持续；函数AbstractCategoryoffunctionisverycomplicated.Characterizationandapplicationofcontinuousfunctionsareveryimportantinthefunctiontheory.Althoughakindoffunctionisalsocontinuous,itscharacterizationissimilarwiththecontinuousfunctions,whichiscalledextensionofthecontinuousfunctionssemi-continuousfunctions,thusakindoffunctionwithmorewindercharacterizationisobtained.Throughthestudy,halfofthecontinuousfunctioninthemathematicalanalysiscontinuousfunctionwhichlayatheoreticalfoundationfortheapplication.First,thispaperexpoundsthenatureofthecontinuousfunctionandapplication,andthendiscussesthenatureofthesemi-continuousfunctions,detailedmathematicalandapplication,introducedthenumberoftopologicalspace,andthefirsthalfofthecontinuousfunctiontheoremofgeneralizedtonature.Tightspaceintheapplicationofsemi-continuousfunctions.Finallydifferentiatecontinuousfunctionandsemi-continuousfunctionsproperties,application,andfinallyapplicationcontinuousfunctionsemi-continuousfunctionsnaturesolutionoftheproblem.Halfacontinuousfunctionintheclassicaltheoryanalysisandmodernanalysishasawiderangeofapplications.Forexample,inthemostproblems,variationalinequalities,phaseproblemsandcountermeasuresforthetheoryofandsoonallhasapivotalrole.Keywords:semi－continuous;continuous;functions;目录摘要 IAbstract I绪论 -1-第1章持续函数 -2-1.1 持续函数的性质 -3-1.1.1 持续函数的局部性质及应用 -3-1.1.2闭区间上持续函数的基本性质 -5-1.1.3一致持续性及其应用 -6-第2章半持续函数 -10-2.1 上下半持续函数的性质 -11-2.1.1 运算性质及应用 -11-2.1.2 保号性及应用 -13-2.1.3无介值性 -13-2.1.4函数的界 -13-2.1.5内闭区间上有界 -15-2.1.6保半持续性 -16-2.2拓扑空间上半持续函数的性质 -20-2.2.1运算性质及其应用 -21-2.2.2确界性质及其应用 -24-2.2.3紧致空间上的半持续函数 -25-2.2.4长度的半持续性 -26-第3章 半持续函数的异同 -27-3.1半持续函数与持续函数的比较 -27-3.2半持续函数与持续函数区别 -29-第4章运用持续函数解决半持续函数问题 -32-结论 -33-参考文献 -34-致谢 -36-绪论函数的种类极为繁多.在函数论中,持续函数和它的的性质占有相称重要的地位.有一类函数即使不持续,但却含有某些与持续函数类似的性质.这就是所谓半持续函数.半持续函数理论在古典分析和当代分析中都有着较为广泛的应用.上(下)半持续概念自提出以来已得到广泛应用,例如最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题等等.并且通过对半持续函数性质的研究,能够证得闭区间上半持续界的存在性.半持续函数存在广泛的应用价值,可将自变量的取值空间从一维延拓到普通的拓扑空间.并对性质进行进一步的研讨.诸多学者都在研究这类课题.在国内,张风、魏建刚于1999年6月《下半持续函数的逼近性质》中讨论了下半持续的广义实值函数,通过Lipschitz函数逼近的基本性质,并由此导出了实值函数的广义持续性定理.刘丽波,许洁,崔晓梅,蒋慧杰在2月发表的《下半持续函数的充要条件》中重要针对下半持续函数在闭区间上充要性进行论证,并且构造出半持续的阶梯函数.在国外,MagassyOUSMANE,WUCong-xin于2月在《含糊实函数》中讨论了含糊半持续函数、半持续函数的逼近性.函数的半持续性在广义函数论、积分论以及凸分析等诸多学科中都有广泛应用.有关半持续函数的定义,在不同的集合上有不同的表述:如文献[1]在距离空间中定义了半持续函数,文献[2]在Banach空间中定义了半持续函数,文献[3]给出了拓扑空间中半持续的定义,其它方式的定义可参见文献[4-14],但其本质都是相似的.本文的第一部分简朴叙述持续函数的性质,第二部分再具体讲述半持续函数定义的基础上,证明闭区间上的上半持续函数是有上界、下半持续函数是有下界的.给出鉴定函数在闭区间上是上半持续的充要条件,至于下半持续函数的情形也同样可仿照进行.在拓扑空间上半持续函数的性质中介绍运算性质及确界性质.给出这两种性质的应用.并且对紧致空间中对应的理论进行介绍.之后的第三章重要辨析持续函数与半持续函数性质、应用上的异同.运用对比分析的办法来解决半持续问题中的难点.最后把理论与实际相结合,把半持续函数理论问题结合到人类日常生活实践中去,更加好的运用课本上的知识解决了日常中实际问题.第1章持续函数函数的种类繁多,而持续函数是高等数学中重点讨论的一类函数.在人类生活的自然界中存在许多现象,它们和持续函数有很大的关联.例如温度的变化,农作物的生长等都是持续地变化的,这类现象在函数关系上的反映,就是函数的持续性．定义1.1[15](函数的持续性)1．(定义),,使得,当时,恒有则称函数在点处持续．2．若,则称在点持续．例1.1易知函数在点处是持续的,由于持续函数的性质持续函数的局部性质及应用如果函数在点持续,那么在点处有极限,并且其极限值与函数值相等,根据函数极限的性质能推断出函数在的性态．定理1.1(局部有界性)如果函数在点处持续,那么函数在某内有界．证设=,取,则,使得对一切有这就证明了函数在内有界．定理1.2(局部保号性)函数在持续,且有(或),则对任何正数(或),存在某,使得对一切有(或)在具体应用局部保号性的时候,可取,则当时,在某,有成立．定理1.3(四则运算性)若函数和在点持续,则,,(这里)也都在点持续．以上两个性质的证明,都能够由函数极限有关定理推得.定理1.4(复合函数的持续性)持续函数的复合函数是持续的.即函数在点处持续,在点处持续,则复合函数在点处是持续的.证由于在持续知,,,当时有(1-1)又由于,以及在点持续,因此对,,使得当,有,由(1-1)得:,,当时有因而,得出在点持续．例1.2求．解能够看作是函数与的复合．得1.1.2闭区间上持续函数的基本性质定理1.5(函数在闭区间上最大、最小值)如果函数在闭区间上持续,那么存在在上有最大值与最小值．证由于函数在上有界,由确界原理能够得到,的值域有上确界,记作．下证使,倘若对于一切有成立,令,.又懂得函数在上持续,因而在上有上界.假设:是的一种上界,则存在,推出,,这与为的上确界(最小上界)相矛盾,因此使得.即在上有最大值．同理能够得到在上有最小值．推论1.2(有界性定理)若函数在闭区间上持续,则有在上有最大值与最小值．定理1.6(介值性定理)如果函数在闭区间上持续.并且尚有,假设为介于与之间的任何实数(或)，那么最少存在点使得.例题1.3证明:如果有,为正整数,那么存在唯一正数,使得(称为的次正根)即算数根,记作．证存在性,当时有,因而存在正数使得,由于在上持续,并且有,故由介值性定理最少存在一点,使得.唯一性设正数,使有因，故，即.1.1.3一致持续性及其应用定义1.4若函数定义在区间上,对,,使得,,只要,有则称函数在区间上一致持续．定理1.7(一致持续性定理)如果函数在闭区间上持续,那么有函数在上一致持续．例1.4假设区间的右端点为,,区间的左端点也为,(可分别为有限或无限区间)按一致持续性的定义.证明:如果函数分别在和上一致持续,那么函数在上也一致持续．证,由于函数在和上的一致持续性,,使得,,只要,就有,,只要,就有点作的右端点,函数在点为左持续,作的左端点,函数在点为右持续,因此函数在点持续,因而对,当时有令,,,,对1．,同时属于或同时属于,则成立2．,分别属于与,设,则因而由得,同理得到从而成立,得出函数在上一致持续.例题1.5证明:在区间上有穷个一致持续函数的和与它们的乘积在此区间内仍是一致持续的．证由有穷个函数相加成或相乘可逐次分解成两个函数相加或相乘,因而,假设与都在区间上一致持续,,由在上一致持续,使中与,当时,有又由于在上一致持续,,使得中,与当时,有令当（与为中任何两点)时,有因而得到在上是一致持续的．性质1.5如果函数在有限区间上是一致持续的,那么函数在上必有界．证,,使得中,,当时,有当,时,有；当,时,有,因此,根据柯西收敛准则,得知与存在．例题1.6在闭区间上定义函数:因而在闭区间上持续,从而有界,因此在区间上有界．性质1.6如果函数与在区间上一致持续，那么在上也是一致持续的.证,,使得,,根据与在区间上的一致持续性,取,对区间中的与,当时,有,得因而得到在区间上是一致持续的．第2章半持续函数半持续函数是持续函数的拓展,它弱于持续函数,实际应用较为广泛,本章研究半持续函数的概念与性质.在此基础上,对持续函数的性质与半持续函数的性质进行比较分析.首先用“”语言来叙述半持续函数的定义．定义2.1,,当时,有,则称函数在点处上半持续．,,当时,有,则称函数在点处下半持续．由定义懂得,函数在点处持续的充要条件,是函数在点处同时上、下半持续．例2.1假设函数是从到的,,而对于,对于全部的偶整数,在点是下半持续的,对于全部的奇整数,在点既不是下半持续的也不是上半持续的．上下半持续函数的性质运算性质及应用性质2.1如果在闭区间上,函数,上（下)半持续,那么它们的和也在闭区间上上（下)半持续．性质2.2如果在闭区间上,函数和上半持续(或和,且下半持续),它们的积在闭区间上为上半持续的,如果上（下）半持续,为下（上半持续）,那么下（上)半持续．性质2.3如果在闭区间上,函数上（下）半持续,那么在闭区间上下（上)半持续．性质2.4如果函数在处上半持续,并且有,,使得时有．如果函数在点处下半持续,并且尚有,那么,使得时,．性质2.5如果函数在闭区间上,上(下)半持续,那么有1．函数在闭区间上有上(下)界,即使得时,有．2．函数在闭区间上能达成其上(下)确界．即,使得证1．应用用半持续的定义证明性质2.1,由于函数,都是上半持续的,,,当,时有,因此,因而得出在闭区间上上半持续．2．应用上半持续的等价描述性质2.1,由于函数,在闭区间上上半持续,故时,又由于因此得出函数在闭区间上上半持续．保号性及应用定理2.2(上半持续函数的局部保负性)即是如果函数在点处上半持续,,那么,使得时有.同理可得下半持续含有局部保正性．2.1.3无介值性半持续函数,介值性定理不成立．例2.2设在闭区间上,函数是上半持续的,但是没有使得．2.1.4函数的界定理2.3有界闭区间上的上半持续函数必有上界,并且能达成上确界.也就是说:如果函数在闭区间上上半持续,那么1．函数在闭区间有上界,即,对存在,．2.函数能够在闭区间上达成上确界,即,使得存在．证1.应用反证法,假设函数在闭区间上无界,,使由致密性原理,在中存在收敛的子序列,使得(当)．又由于为闭区间,因而有,但是,当时,,因此得到．但是函数在闭区间上上半持续,有,推得与题意互相矛盾．由于函数有上界,,如果函数在闭区间上达不到上确界,那么,,,因此得到在闭区间上上半持续,从而有上界,,使得有因而得出,这与互相矛盾．2．假设．由得到,,使得为函数在点处的子极限,由于函数上半持续,得．推出．运用有限覆盖定理能够证明结论．,,使得()．从闭区间的开覆盖中能够造出有限个子覆盖于是得到为函数在闭区间上的界．2.1.5内闭区间上有界性质2.3如果函数在区间内上(或下)半持续,那么必然存在内闭区间．使得函数在区间上保持有界．证设函数在区间内下半持续,设函数在闭区间上无界,得到1．有,由于函数下半持续,使得并且有．2．由于函数在任何闭区间上无上界,因此对,使得,又由于函数的下半持续性,,使得时,有．3．以这类推得到区间长度为(当时)并且在每个区间上,恒有．4．根据区间套定理得知,,因而,因此与题意互相矛盾.推理可知,持续函数单调序列的极限不一定是持续的．例2.4在区间上持续,当增加时单调递减有极限但函数在区间上不持续．2.1.6保半持续性性质2.4假设函数在上是有定义的,并且是上半持续函数,那么就有,,有,则在上上半持续．(表达从下方趋近,表达从上方趋近).证1．,应为有,因此,,当时,有2．设是固定的,由于函数在上上半持续,,当时有时有3．,,因而有得出函数在上上半持续．注记2.5如果函数序列在区间上有定义,那么每个都持续,则在闭区间上有1．当时,函数上半持续；2．当时,函数下半持续．定理2.6如果函数在闭区间上有定义,那么上半持续,则存在一种递减的持续函数序列得．注记2.6上半持续函数,总能够用持续函数从上方逼近．证(构造函数)对于固定的点与,函数是的持续函数,因此上半持续,已知函数是上半持续的,是的上半持续函数,从而得到在闭区间上有上界,并且达成上确界．即使得令．（证明函数持续)由上式得到,得到得到.此时对于,都成立,与交换也同时成立,因而得出表明函数在闭区间上持续．如果要证得函数,假设则有因而得到．序列有下界的证明,固定的在=中令,得到,故而,有下界．因而得到存在,并且有．如果要证得,由于函数上半持续,,,当,时有又由于函数上半持续,因而在闭区间上上有界,因此对于固定的,当时,有由于如果有,则的邻域使得在此邻域之外,但是函数在闭区间上有上界,即得,使得,因此有与,(时)互相矛盾．得到,当时,有,于是由得到,但是有,令取极限,得,由,懂得,得出．2.2拓扑空间上半持续函数的性质有关半持续函数的定义,在不同的集合上有不同的表述,但是其中的本质是相似的,我们用表达拓扑空间,表达实直线,表达自然数集,表达点的开邻域,表达的开邻域,或表达中的序列,表达空集,表达集合的内部．定义2.7设是一种拓扑空间,函数,．1．如果函数在点处是上半持续的,那么,使得,恒有；2．如果函数在点处是下半持续的,那么,使得,恒有；3．如果函数在点处是持续的,那么,使得,恒有；4．如果函数是上（下）半持续的,那么在上每一点是上（下）半持续．从而函数在点处持续,当且仅当函数在点处既是上半持续的又是下半持续的．性质2.7拓扑空间中的一种集合成为集,则它是这个空间中的可数个开集的交．推论2.7假设是一种拓扑空间,函数,则有①函数是上半持续的；②,开于（开于）；③,闭于(闭于)．2.2.1运算性质及其应用运算性质的基本性质是,实直线上半持续函数的形式在图谱空间中的推广．定理2.8设为拓扑空间,,1．如果函数,均是上、下半持续的,那么它们的和上(下)半持续；2．如果函数上(下)半持续,那么有函数,则为下(上)半持续；3．如果函数上(下)半持续,那么函数为下(上)半持续．证明：对2上半持续进行证明,下半持续的状况同理能够证明．1与2应用实直线上半持续函数的证明能够得到,这里就不予以证明．证,,又由于函数在点处是上半持续的,则使得,恒有,(其中)由于有,,有由于,得到在上是下半持续的．例2.8[16]设为拓扑空间,,1．如果函数,,均是上(下)半持续,并且有(),则存在在上是上半持续的；2．如果函数上半持续,有,但是是下半持续,有,那么存在在上是下半持续的；3．如果函数是下半持续的,,是上半持续的,,使得在上为上半持续．证1．由于函数,假设函数,并且有函数；,由于函数,在上均是上半持续的,,使得有,其中因而得到在上均是上半持续．2．,,,有,则有从而得到在上是下半持续的．3．,由于有,,则存在,()由于函数的下半持续性与函数的上半持续性,使得有,2.2.2确界性质及其应用定理2.9[17]设是一族从到的实值函数1．如果每一种在上是上半持续的,那么在上是上半持续的；2．如果每一种在上是下半持续的,那么函数在上是下半持续的．证1．由于；则有又由于,恒有,则有因此得到．,有,则有因此有,即是,从而得出因此证得函数是上半持续的．由于都是上半持续的,,有闭于,故而得到闭于,进而得到函数是上半持续的．2.2.3紧致空间上的半持续函数定理2.10对于全部从一种紧致空间到内的下半持续的映射,最少存在的一种点,使得.事实上,令．对于全部的,使得的的集合是闭集,并且是非空的．另外,的族对于包含关系是全序的,这是由于是的递增函数,由于的交集不是空集．在这个交集任意取一种点,对于全部的,有,因而．另外,由于的定义,有,故．推论2.10总有从一种紧致空间到内的下半持续的映射在上是有下界的．事实上,我们有．对于上半持续的函数有类似的结论．如果我们应用这些成果到持续函数,就重新得到原先的断言：紧致空间上的持续函数取到下确界和上确界的结论．下一节就研究这些结论对于变分法的一种重要应用．2.2.4长度的半持续性一条曲线的长度是这条曲线的函数；当曲线在我们就要明确的意义下持续变动时,人们可能期待它的长度也持续地变化.其实根本不是这样.像下面的初等例子所表明的那样：设是方程为的平面曲线.立刻得到全部这些曲线有同样的长度,这是一种数.而当时,这些曲线一致收敛到线段.因而这个一致收敛不蕴含长度的收敛．能够修改这个例子,而用任何不不大于等于的数替代.但是值得注意的是不能用一种不大于的数替代.换句话说,收敛到线段的曲线长度的下极限等于.这正是下半持续性,我们精确的表述这个事实．参数化曲线空间:设是的一种紧致区间,是一种距离空间.根据前面的定义,全部从到内的持续映射定义一条参数化曲线,于是能够考虑从到内的持续映射的集合作为上的的参数化曲线的集合.取与由定义的一致收敛的与这个距离关联的拓扑作为上的拓扑．对于,用表达由定义的曲线的长度.我们有了一种定义在拓扑空间上的数值函数．定理2.11长度是的的下半持续函数．证对于的全部有限子集,其中,对于全部．令对于全部,从到内的映射是持续的,于是对于全部,映射是持续的．推论2.11从到内的映射(的全变差)是下半持续的．对于变分法的应用：单变量变分法的问题直译是在给定的曲线集合里求一条曲线,其长度是最小的．半持续函数的异同3.1半持续函数与持续函数的比较半持续函数与持续函数联系非常的紧密.正如上面所提到的,事实上半持续函数就是持续函数的拓展所形成的,它们具体有多少联系我们举例来阐明．例3.1如果函数在闭区间上(下)半持续,那么函数在上有上(下)界．证假设函数在闭区间上半持续但没有上界,由假设得到,存在一数列得,由于为有界数列,必有收敛的子数列．设由于有,从而函数在点上半持续．由定义,,,当()有又由于对于,时有,从而当时有()即(),它与题意矛盾,因而上半持续函数在闭区间上有上界．同理证得函数在闭区间上(下)半持续有下界.进而得出上(下)半持续函数不仅有界,并且还能达成上(下)确界．例3.2如果函数在闭区间上上半持续,那么在使得．证假设函数在闭区间上取不到上确界,即对,,令,.由于函数在闭区间上上半持续,,,使得当时,有()，即,得到为下半持续函数,因而函数上半持续,因此函数在闭区间上有界,设为函数的一种上界,有,得到()与互相矛盾,因而结论成立.同理得到：下半持续函数在闭区间上必能取到下确界．3.2半持续函数与持续函数区别两个持续函数的和仍然是持续函数,但是两个半持续函数的和不一定是半持续函数．反例3.3假设,得到函数到处上半持续,而到处下半持续,但是在点处是不持续的．反例3.4假设,()、、都是到处半持续的,但是是无处半持续的．设为闭区间上对来说的单调不增的上半持续函数列且有下界,则存在且函数在闭区间上上半持续．证由于是对来说的单调不增且有下界的函数列,从而存在．证明函数在闭区间上持续.证假设函数不是上半持续的,则及收敛于点的数列使得当充足大时有又由于得到这与上半持续互相矛盾.因而函数在闭区间上上半持续．同理得到,如果函数是闭区间上对来说的单调非减的下半持续函数列并且有上界,那么存在,并且函数在闭区间上下半持续．半持续的这一种性质是持续函数所没有的,就是说单调有界持续的函数列的极限函数未必是持续的．假设,由于函数在区间上持续,单调有界,的极限函数为因此函数在区间上不是持续函数．假设函数在全部有理点为上半持续,在全部的无理点为下半持续,但是函数到处不持续(只要把2与-2改写成一相似数值,函数变为在有理数与无理数上到处持续)．第4章运用持续函数解决半持续函数问题在我们所学习的教材中持续函数章节提到过黎曼函数,那是我们初学函数时,证明过程比较简朴.现在我就用持续函数的性质进行拓展,进而去解决半持续函数上黎曼函数的证明．Riemann函数在无理点处,既是上半持续又是下半持续,在有理点时上半持续,但不下半持续(函数在某点处持续的充足必要条件是函数在点处同时上、下半持续)．假设为无理数,,满足的正整数,显然只有有限个(但最少有一种,例),从而使的有理数只有有限个(最少有一种,例),设为取则对,当为有理数时,有；当为无理数时．于是有证明了在无理点处持续,即在此点处既是上半持续又是下半持续．同理设为内任意有理数,取,,在内,,使得因此在有理点处上半持续,而非下半持续的．我们能够自己构造下半持续函数．半持续函数最少像持续函数同样靠近于我们的感觉经验．下面例举一种实例,已便于我们理解．当我们注视不透明的物体时,在全部从我们的眼睛出发的任意半直线上,仅能看到此物体的单独一种点,这个点到我们眼睛的距离是这条半直线的方向函数.这个函数不是持续的,而是下半持续的,只要我们认为所观察的物体是一种闭集．事实上,给定一种拓扑空间,设是乘积空间的一种闭子集.对于全部,设是横坐标为的的点的纵坐标的下确界,这个例子能够试用到上全部下半持续的函数的证明.结论半持续函数是持续函数的拓展,它弱于持续函数.对半持续函数的问题的解决,通过研究持续函数的性质与应用的办法，去剖析半持续函数的性质及其应用问题.本文是从上持续函数的定义着手,进而讨论在不同空间中的半持续函数,文献[4-14]对拓扑空间上半持续函数运算性、确界性的性质定理进行叙述.文章首先是简朴介绍持续函数理论,在实数集中是分层叙述半持续函数的运算性、保号性、无介值性、界的存在性理论问题，但是本文在研究实数集理论,又通过对文献[4-14]的研究在拓扑空间上半持续函数,运算性、确界性的应用得以证明,而对紧致空间上半持续函数介绍,将其应用到长度的半持续性,达成本文的升华.在第三章中就是对持续函数与半持续函数的总结,运用举例证明,进行对比分析,明晰持续函数与半持续函数的差别,解决问题.最后运用我们熟知黎曼函数在无理点时既是上半持续又是下半持续,但是在有理点处运用持续性质理论,以及半持续性质定理,得出了黎曼函数在有理点处上半持续,而非下半持续的结论.半持续函数性质定理是固定的.但是半持续函数在我们生活与实践中的应用却是随处可见.就如文中所提的实例中的状况而言,对于半持续问题是我们知识积累过少,在实际的生活上应用不能得心应手.因此在后来进一步的研究中,应当熟知理论与实际的结合,最大程度的发挥理论与实践集合理论,把数学知识运用到生活中去.对于半持续函数在生活中的理论研究会进一步在社会时间中得到