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PAGE全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)责编:杜少波【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”,判定方法4——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.3.掌握角平分线的画法,掌握角平分线性质定理并能熟练运用它解决问题.【要点梳理】【高清课堂:379110全等三角形判定二,知识点讲解】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).要点诠释:如图,如果∠A=∠,AB=,∠B=∠,则△ABC≌△.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.要点四、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释:
用符号语言表示角的平分线的性质定理:
若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.
2.角平分线的尺规作图
(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E.
(2)分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”【高清课堂:379110全等三角形判定二,例5】 1、已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.【答案与解析】证明:∵AD∥CB∴∠A=∠C在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE(ASA)∴AF=CE,AF+EF=CE+EF故得:AE=CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.举一反三:【变式】(2014•青山区模拟)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,AD∥BC,求证:△ADF≌△CBE.【答案】证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE;∵AD∥BC,∴∠A=∠C;在△ADF与△CBE中,,∴△ADF≌△CBE(ASA).类型二、全等三角形的判定4——“角角边”【高清课堂:379110全等三角形的判定二,例6】 2、已知:如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.求证:AD=AC.【思路点拨】要证AC=AD,就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明:∵AB⊥AE,AD⊥AC,∴∠CAD=∠BAE=90°∴∠CAD+∠DAB=∠BAE+∠DAB,即∠BAC=∠EAD在△BAC和△EAD中∴△BAC≌△EAD(AAS)∴AC=AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.举一反三:【变式】如图,AD是△ABC的中线,过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证:BE=CF.【答案】证明:∵AD为△ABC的中线∴BD=CD
∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°,在△BED和△CFD中∴△BED≌△CFD(AAS)∴BE=CF3、已知:如图,AC与BD交于O点,AB∥DC,AB=DC.(1)求证:AC与BD互相平分;(2)若过O点作直线l,分别交AB、DC于E、F两点,求证:OE=OF.【思路点拨】(1)证△ABO≌△CDO,得AO=OC,BO=DO(2)证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明:∵AB∥DC∴∠A=∠C在△ABO与△CDO中∴△ABO≌△CDO(AAS)∴AO=CO,BO=DO在△AEO和△CFO中∴△AEO≌△CFO(ASA)∴OE=OF.【总结升华】证明线段相等,就是证明它们所在的两个三角形全等.利用平行线找角等是本题的关键.类型三、全等三角形判定的实际应用4、(2016秋•高邮市月考)如图,要测量河两岸相对两点A,B间的距离,先在过B点的AB的垂线l上取两点C、D,使CD=BC,再在过D点的垂线上取点E,使A、C、E在一条直线上,这时,△ACB≌△ECD,ED=AB,测ED的长就得AB的长,判定△ACB≌△ECD的理由是()A.SASB.ASAC.SSSD.AAS【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等,根据全等三角形对应边相等可得ED=AB,从而得解.【答案与解析】解:∵AB⊥l,CD⊥l,∴∠ABC=∠EDC=90°,在△ABC和△EDC中,,∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=DE,即ED的长就是AB的长,故选B.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,解答本题的关键是借助两个三角形全等,寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.举一反三:【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一块带去玻璃店,就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带()A.第4块B.第3块C.第2块D.第1块【答案】C;类型四、角平分线的性质定理应用5.如图,∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F.求证:AE=CF【答案与解析】证明:∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BF
∴DE=DC(角的平分线上的点到角两边的距离相等)
在△ADE和△FDC中
∴△ADE≌△FDC(ASA)
∴
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