山东省聊城市东昌府区文苑中学2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试卷

2024-2025学年山东省聊城市东昌府区文苑中学九年级（上）第一次调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，不是相似图形的一组是(

)A. B.

C. D.2.已知为锐角，且，则等于(

)A. B. C. D.3.如图，在中，D、E分别是AB、AC上的点，，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是(

)A.

B.

C.

D.4.在中，，已知a和，则下列关系式中正确的是(

)A. B. C. D.5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定∽的是A.

B.

C.

D.6.如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到以下说法中错误的是(

)A.∽

B.点A、O、三点在同一直线上

C.

D.BO：：27.如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为(

)A.

B.

C.或

D.或8.如图，在中，，，延长CB到D，使，连接AD，则(

)A. B. C. D.9.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：：2，连接AE交BD于点F，则与的面积之比为(

)

A.4：40 B.9：40 C.4：25 D.9：2510.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.则的值是(

)A.

B.

C.

D.11.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若，，则的值为(

)

A. B. C. D.12.如图，，点在射线OA上，且，过点作交射线OB于，在射线OA上截取，使；过点作交射线OB于，在射线OA上截取，使按照此规律，线段的长为(

)A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13.在中，，，，则______.14.中，若，则______度．15.如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高______.16.如图，在中，，，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过______秒钟与相似？

17.如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②；③AF：：3；④：：其中结论正确的结论有______填写所有正确结论的序号三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题8分

计算：

；

19.本小题9分

如图，在中，，，，求AB和BC的长结果保留根号20.本小题9分

如图，的顶点坐标分别为，，

作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；

在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为2：1，并写出、、的坐标.21.本小题9分

已知：如图在中，，高，它的内接矩形点E在边AB上，点H、G在边BC上，点F在边AC上，FG与EF边之比为1：2，求EF的长.22.本小题10分

如图，，，E是BC上一点，使得

求证：∽；

若，，求CD的长.23.本小题12分

学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上点F、B、D也在一条直线上已知小明的身高米，“标杆”米，且米，米．

求大楼的高度CD为多少米垂直地面？

小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

24.本小题12分

某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在中，点O在线段BC上，，，，BO：：3，求AB的长．

经过社团成员讨论发现，过点B作，交AO的延长线于点D，通过构造就可以解决问题如图

请回答：______，______.

请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，BO：：3，求DC的长．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；

B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；

C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；

D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；

故选：

根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．

本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．2.【答案】A

【解析】解：，

，

故选：

根据特殊角的三角函数值可得，进而可得的值．

此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握、、角的各种三角函数值．3.【答案】B

【解析】解：，

∽，

，故A不正确，B正确，

，

∽，

，故C、D不正确，

故选：

根据，得∽，∽，再利用相似三角形对应边成比例即可．

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：在中，，

，，，

，，，

故选：

利用直角三角形的边角关系进行计算，逐一判断即可解答．

本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：，

，

A、添加，可用两角法判定∽，故本选项不符合题意；

B、添加，可用两角法判定∽，故本选项不符合题意；

C、添加，可用两边及其夹角法判定∽，故本选项不符合题意；

D、添加，不能判定∽，故本选项符合题意；

故选：

先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．

本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6.【答案】D

【解析】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，

∽，点A、O、三点在同一直线上，，，

选项A、B、C说法正确，不符合题意；

，

∽，

，

：：3，故选项D说法错误，符合题意；

故选：

根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．

本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．7.【答案】C

【解析】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，，

的坐标为或，

即的坐标为或，

故选：

根据位似变换的性质解答即可．

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或8.【答案】A

【解析】解：，，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

设，则，

，

故选：

设，则，根据计算即可．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．9.【答案】B

【解析】解：在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：：2，

，

：：5，

∽，

：：5，

：：25，

：：：：：15，

：：40，

故选：

可证明∽，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得出：：25，又根据：：3即可得出答案．

本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答本题的关键要明确：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10.【答案】A

【解析】解：延长AC至格点D，连接BD，如图，

由题意得：

，，，

，

，

故选：

延长AC至格点D，连接BD，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．

本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长AC至格点D，连接BD，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了锐角三角函数的定义，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正切的定义即可求解．

【解答】

解：四边形ABCD为矩形，

，，

矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

，，

在中，，

，

设，则，

在中，

，

，

解得，

，

，

故选：12.【答案】B

【解析】解：，且，，

，

，

同理：，

，

，

同理：，

；

……，

线段的长为：，

故选：

根据直角三角形的性质，先求出前几个水平线段的长，找出规律再求解．

本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．13.【答案】

【解析】解：如图所示：，，，

，

故答案为：

根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．

此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．14.【答案】105

【解析】解：由题意知，，

，，

，

根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值．

本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理．

初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式算术平方根当它们相加和为0时，必须满足其中的每个部分都等于15.【答案】

【解析】解：根据题意得，即，

所以

故答案为

利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到，然后利用比例性质求出AB即可．

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．16.【答案】或2

【解析】解：设经过t秒两三角形相似，

则，，

①AP与AB是对应边时，与相似，

，

即，

解得，

②AP与AC是对应边时，与相似，

，

即，

解得，

综上所述，经过或2秒钟，与相似．

故答案为：或

设经过t秒两三角形相似，分别表示出AP、AQ，然后分①AP与AB是对应边，②AP与AC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

本题考查了相似三角形的对应边成比例的性质，注意要分对应边的不同进行分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．17.【答案】①②

【解析】解：CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，

，，，，

，

∽，

，

，，

，，

四边形ACBE是平行四边形，

，

四边形ACBE是菱形，

故①选项正确，符合题意；

，，

，

，

故②选项正确，符合题意；

，

∽，

，

，

故③选项错误，不符合题意；

设的面积为a，则的面积为2a，的面积为4a，的面积的面积，

的面积为6a，

：：2，

故④选项错误，不符合题意，

故答案为：①②．

根据菱形的判定方法、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．

本题考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．18.【答案】解：原式

；

原式

【解析】将特殊角的三角函数值代入进行计算即可；

根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可．

本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，0指数幂，熟知以上知识是解题的关键．19.【答案】解：如图，作边AB上的高

在中，

，，，

在中，

，，

，

，

【解析】如图，作边AB上的高，，分别使用勾股定理，计算即可．

本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键．20.【答案】解：如图所示，为所求图形；

；

如图所示，为所求图形，

，，

【解析】根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可；

根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可．

本题主要考查作图-平移变换，作图-位似变换，熟练掌握位似图形是解题的关键．21.【答案】解：设矩形EFGH的长，则宽，

四边形EFGH是矩形，

，，

∽，

是的高，

，

四边形EHDK是矩形，

，

∽，

相似三角形对应边上的高的比等于相似比，

，，

，

，

解得：，

【解析】设矩形EFGH的长，则宽，易证四边形EHDK是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．22.【答案】解：证明：如图，

，

，

，

，，

，

，

∽；

在中，由勾股定理得，

，

由得∽，

，即，

解得

【解析】先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似；

先根据勾股定理得：，根据∽，列比例式可得结论．

本题考查学生对相似三角形的判定与性质的理解和掌握，熟练记忆相关知识是解题关键．23.【答案】解：如图1所示，过点