河南省南阳市六校2021-2022学年高二下学期期末考试理科数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省南阳市六校2021-2022学年高二下学期期末考试理科数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知，则的共轭复数（

）A． B． C． D．2．下面几种推理是合情推理的是（

）①地球和火星在很多方面都相似，而地球上有生命，进而认为火星上也可能有生命存在；②因为金、银、铜、铁等金属能导电，所以一切金属都导电；③某次考试高二一班的全体同学都合格了，张军是高二一班的，所以张军也合格了；④由“若三角形的周长为l，面积为S，则其内切圆的半径”类比推出“若三棱锥的表面积为S，体积为V，则其内切球的半径”．A．①② B．①③④ C．②④ D．①②④3．下列求导正确的为（

）A． B．C． D．4．已知的展开式中的系数为60，则正整数n＝（

）A．4 B．5 C．6 D．75．甲、乙、丙、丁、戊5名舞蹈演员站成一排跳舞，若甲站在正中间，丁不站在最右边，则不同的排列方式共有（

）A．12种 B．18种 C．20种 D．24种6．从国内随机抽取一部分成年人，统计地域和体重的相关数据，抽到南方人共190人，其中体重超重的有90人，抽到北方人共人，其中体重超重的有a人，从样本中随机抽取1人，设事件A＝“此人是南方人”，事件B＝“此人体重超重”，若A与B相互独立，则a＝（

）A．360 B．200 C．180 D．1007．王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论：甲：该双曲线的实轴长是；乙：该双曲线的虚轴长是2；丙：该双曲线的焦距为8；丁：该双曲线的离心率为．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．8 D．129．已知随机变量X服从正态分布，若，则（

）A． B． C． D．10．已知函数=在处有极小值，则实数的值为（

）A． B． C． D．11．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（

）A． B． C． D．12．已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．写出一个同时满足下列条件的复数z＝______．①；②复数z在复平面内对应的点在第二象限．14．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕，其中滑雪是冬奥会中的一个比赛大项，设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式．当该运动员的滑雪路程为46m时，滑雪的瞬时速度为______m/s．15．将包含甲、乙在内的5名志愿者分配到3个社区参与疫情防控工作，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，设事件“甲、乙去不同的社区”，则______．16．如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切1刀、2刀、3刀、4刀最多可以把饼分成2，4，7，11块，根据其中的规律，则切刀最多可以把饼分成______块．评卷人得分三、解答题17．已知复数（a，）是纯虚数，且．(1)求a，b的值；(2)若a，，，求复数的模．18．受今年国际政治局势以及疫情影响，全球油价持续上涨，某地近个月的汽油均价（单位：千元/吨）与月份的相关数据如下表所示：(1)由表格数据可看出，与具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；(2)建立关于的线性回归方程，并预测该地今年月份的汽油均价．参考数据：，，，．参考公式：相关系数；线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．19．观察下列不等式：，，，，……．(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．20．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），C与直线l：交于A，B两点．(1)求C的普通方程；(2)若P（1，0），证明：．21．在极坐标系中，已知曲线：和：．(1)以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求和的公共弦所在直线的直角坐标方程；(2)若斜率为的直线l与相切于点T，与交于M，N两点，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数；【详解】解：因为，所以，所以；故选：C2．D【解析】【分析】根据合情推理和演绎推理的概念判断；【详解】根据合情推理和演绎推理的概念判断：①④是类比推理，所以是合情推理；②是归纳推理，所以是合情推理；③是由一般到特殊的推理，是演绎推理；故选：D3．D【解析】【分析】根据导数的运算法则和导数基本公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：D.4．C【解析】【分析】求出展开式的通项，令的指数等于2，再结合已知即可得出答案.【详解】解：的展开式的通项为，令，则的系数为，即，解得（舍去）.故选：C.5．B【解析】【分析】先考虑丁，然后剩下的3个人进行全排列，由分步乘法原理即可得出答案.【详解】丁不站在最右边，则丁从除中间和最右边的三个位置中选一个，则有种排法，剩下的3个人进行全排列有种排法，所以共有种排法.故选：B.6．A【解析】【分析】由得，解方程得解.【详解】解：因为A与B相互独立，所以,所以，所以.故选：A7．B【解析】【分析】根据四位同学的结论进行分析，从而确定结论错误的同学.【详解】甲：；乙：；丙：；丁：；所以甲、丙、丁三者同时满足，此时，所以乙同学结论错误.故选：B8．B【解析】【分析】变形后求出其通项公式，令，则，再求出中的的系数即可求得结果【详解】的通项公式，令，则，所以的系数为，故选：B9．A【解析】【分析】利用对称性结合求得，再由可得答案..【详解】由对称性可知，，又，所以，故.故选：A.10．A【解析】【分析】求导后，导函数是二次函数，根据二次函数的符号验证极值点即可.【详解】由，可得，令，得，．由题知，解得．当时，，，当时，，当时，，所以在处有极小值，满足题意，所以；故选：A.11．B【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可【详解】由题意可得，故，故，即，解得，所以.故若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为故选：B12．C【解析】【分析】设，转化为对任意时，求出可得答案.【详解】设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，不等式对任意恒成立可转化为对任意时，所以，解得.故选：C.13．（答案不唯一）【解析】【分析】根据复数的模和对应点所在象限确定正确答案.【详解】设，依题意：，则，且，故可取，所以.故答案为：（答案不唯一）14．##【解析】【分析】先由，求出，再将其代入中可求得答案【详解】当时，，，解得或（舍去），由，得，所以，所以该运动员的滑雪路程为46m时，滑雪的瞬时速度为m/s．故答案为：15．1925##0.76【解析】【分析】部分均匀分组问题，5个人去三个地方，可能有的形式，据此先算出基本事件总数，在根据限制条件算出满足条件的事件数，利用古典概型公式求解.【详解】5个人去三个地方，可能有的形式，分组的情况总数为，在把这些分组分配到三个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；甲、乙去不同的社区，又有如下情况，的分组时，甲乙不在一起的可能有，的分组时，若其中人的是甲或者乙，有种分组，若其中人的是不是甲，乙，有种分组，于是甲、乙去不同的社区共有种分组，分组后分配到三个社区，又有种情况，于是.故答案为：.16．【解析】【分析】根据特例法，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】设，显然有，所以当时，当时，也适合，即，故答案为：17．(1)，或(2)【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及复数的模的计算公式列出方程，解之即可得出答案；（2）由（1）求得，再根据复数的除法运算求出复数再根据复数的模的计算公式即可得出答案.(1)解：，因为z是纯虚数，且，所以，且，所以，或；(2)解：由（1）及a，知，所以，所以．18．(1)答案见解析(2)，该地今年月份的汽油均价为千元/吨【解析】【分析】（1）计算出的值，结合参考数据和相关系数公式可求得，进而判断与之间线性相关关系的强弱；（2）求出的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的线性回归方程，再将代入线性回归方程，可求得该地今年月份的汽油均价.(1)解：由表中数据可知，所以，所以．因为，所以与具有较强的线性相关性．(2)解：由已知得，，，所以关于的线性回归方程为．令，得，故预测该地今年月份的汽油均价为千元/吨．19．(1)（n为正整数）；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）不完全归纳得解；（2）利用数学归纳法证明即可.(1)解：不等式可写为：，，，，所以归纳得到命题：（n为正整数）．(2)证明：①当n＝1时，易知命题成立；②假设当时，命题成立，即．则当时，，即时，命题也成立．由①②可知，．20．(1)C的普通方程为：(2)证明见解析.【解析】(1)由知，，由（t为参数），得，所以，代入得到，化简得C的普通方程为：(2)P（1，0）在曲线C上，直线l：的斜率为1且过P（1，0），所以直线l的参数方程为：（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得，设A，B两点对应的参数分别为，则，即.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）运用极坐标与平面直角坐标转化的公式可得曲线和曲线的平面直角坐标方程，再将两方程作差可得和的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）设斜率为的直线l的方程为，由直线l与相切，求得m的值，再设直线l的参数方程，代入曲线的平面直角坐标方程中，由直线参数的几何意义可求得答案.(1)解：由得，所以曲线的平面直角坐标方程为：，由得，所以曲线的平面直角坐标方程为：，将两式作差得，所以和的公共弦所在直线的直角坐标方程为；(2)解：设斜率为的直线l的方程为，