命题与充要条件

§1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件考点一．四种命题及真假判断1.命题“负数的平方是正数”的逆命题是________.练习：判断以上四个命题的真假性？假真评注(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提；(2)判断一个命题为真，给出证明；判断为假，举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.“若p则q”:“若一个数是负数，则它的平方是正数”“若一个数的平方是正数，则它是负数”逆命题:否命题:“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”逆否命题:“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”假真（2）命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(

)A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数C跟踪训练原命题:“若x是偶数且y是偶数，则x＋y也是偶数”逆否命题:“若x＋y不是偶数，则x不是偶数或y不是偶数”1.直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件考点二．充要条件的判断A2.如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的(

)A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件C充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)包含法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.练习：(1)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件A（2）“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的

条件.即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件充分而不必要A考点三．根据充要条件求解参数的取值范围

1A.a<0

B.0<a<2

C.12<a<1

D.a≤0或a>1

A解题时需注意：(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系，然后列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.充要条件是D2.设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0,若

﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

p：3a<m<4a，a>0跟踪训练3

(1)条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是(

)A.(4，＋∞) B.(－∞，－4)C.(－∞，－4] D.[4，＋∞)B(3)f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是(

)

A.t≤－1B.t>－1C.t≥3D.t>3DP＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}.因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t<2}＝{x|x<2－t}，Q＝{x|x<－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，需有2－t<－1，解得t>3.方法与技巧1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.方法与技巧2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与非B⇒非A；B⇒A与非A⇒非B；A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A

B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.(3)(2014·湖北)设U为全集，A，B