2023-2024学年北师大版必修第二册 　三角形中的几何计算 课件（73张）

三、用余弦定理、正弦定理解三角形第1课时三角形中的几何计算必备知识·自主学习1.内角和定理:在△ABC中,A+B+C=180°.2.面积公式:S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.导思1.余弦定理、正弦定理的内容及变形是什么?2.余弦定理、正弦定理可分别解决哪类三角形问题?3.余弦定理的形式:形式一:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.形式二:cosA=___________,cosB=___________,cosC=___________.4.正弦定理的形式:形式一:=2R(R为外接圆半径).形式二:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.形式三:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.形式四:【思考】在解三角形时,边角至少需要知道几个才能求出其他边角?提示:由余弦定理、正弦定理的内容可以看出,至少需要知道三个(不能全为角)才能求出其他边角.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. (

)(2)在△ABC中,等式bsinA=asinB总能成立. (

)(3)在△ABC中,满足sinB=<1的三角形个数有且仅有一个.(

)提示:(1)√.由a2>b2+c2,可得b2+c2-a2<0,故cosA=<0,从而角A为钝角,该三角形为钝角三角形.(2)√.根据正弦定理可得bsinA=asinB总成立.(3)×.例如已知A=30°,a=1,b=,则sinB=故B=60°或120°,此时满足条件的三角形有两个.2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于 (

)A.12B.C.28D.6【解析】选D.由余弦定理可得cosA=,所以A=60°,所以sinA=,故S△ABC=bcsinA=6.3.(教材二次开发:例题改编)已知O是△ABC内部一点,=0,=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为 (

)【解析】选A.由=0可知点O是△ABC的重心,S△OBC=S△ABC,=||·||cos60°=2,所以||·||=4,S△OBC=S△ABC=关键能力·合作学习类型一三角形中的面积计算(逻辑推理)【题组训练】1.已知△ABC的面积为且b=2,c=,则 (

)

A.A=30° B.A=60°C.A=30°或150° D.A=60°或120°2.在△ABC中,AC=1,B=30°,AB=,则△ABC的面积为________.

3.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABC的面积.【解析】1.选D.由S△ABC=bcsinA,得=×2×sinA,解得sinA=,又因为0°<A<180°,所以A=60°或120°.2.由正弦定理所以sinC=,则C=60°或120°,从而A=90°或30°,所以S△ABC=AB·AC·sinA=sinA,所以S△ABC=或.答案:

或3.因为b2-bc-2c2=0,所以b=2c或b=-c(舍去).由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得,6=(2c)2+c2-2×(2c)×c×,解得c=2,b=4.由cosA=得sinA=所以S△ABC=bcsinA=.【解题策略】三角形面积的计算对于此类问题,一般用公式S=absinC=bcsinA=acsinB求解,可分为以下两种情况:(1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积;(2)若所给条件为边角关系,则需要运用余弦定理、正弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形的面积公式进行求解.【补偿训练】在△ABC中A=60°,b=1,其面积为,则等于(

)

【解析】选B.因为S△ABC=bcsinA,故=×1×c×sin60°,解得c=4,又由余弦定理得a=类型二三角形中的长度计算(数学运算、逻辑推理)【典例】在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线①AD长为,求边长a.四步内容理解题意①中线,即连接顶点与对边中点的线段.思路探求由题目可获取以下主要信息:①c=4,b=7;②AD为BC边上的中线且AD=.解答本题可先令CD=DB=x,在△ACD和△ACB中,∠ACB是公共角,两次使用余弦定理,便可求出x.书写表达如图所示,因为AD是BC边上的中线,所以可设CD=DB=x,则CB=a=2x.因为c=4,b=7,AD=,在△ACD中,有cosC=在△ABC中,有cosC=所以解得x=,所以a=2x=9.题后反思本题求解的关键是利用AD是BC边上的中线可得CD=BD,从而可以在△ACD和△ABC中同时利用余弦定理求cosC,从而建立方程求解.【解题策略】三角形中长度的计算三角形中的长度计算往往利用余弦定理或正弦定理求解,这就需要寻求包含所求线段的三角形,并探求其他边角,但有时需要放在两个三角形中(比如例题,也可利用cos∠ADC=-cos∠ADB)求解.【跟踪训练】如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长.【解析】在△ACD中,由余弦定理得cosC=因为C为三角形内角,所以C∈(0,π),所以sinC=在△ABC中,由正弦定理得所以AB=类型三三角形中的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=,②csinA=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=sinB,C=,________?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】方案一:选条件①.由C=和余弦定理得由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是由此可得b=c.由①ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=和余弦定理得由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是

由此可得b=c,B=C=,A=.由②csinA=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件③.由C=和余弦定理得由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是

由此可得b=c.由③c=b与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.【变式探究】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,若且a+b=9,则c=________.

【解析】因为所以abcosC=,所以ab=20.又因为a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-2abcosC=36,解得c=6.答案:6【解题策略】1.利用余弦定理、正弦定理可以实现三角形中的边、角关系的转化;2.熟记三角形的面积公式:S=absinC=bcsinA=acsinB;3.熟练掌握三角函数及向量的相关知识.【题组训练】1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,且周长为30,则S△ABC=(

)

【解析】选D.由正弦定理知,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k,则b=5k,c=7k(k>0),又a+b+c=30,所以k=2,即三边长为a=6,b=10,c=14,所以cosA=sinA=所以S△ABC=bcsinA=×10×14×=15.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则3a+c的最小值为 (

)A.6B.4+2C.9D.6+4

【解析】选B.由题意可知S△ABC=S△ABD+S△CBD,由角平分线性质和三角形面积公式得acsin120°=csin60°+asin60°,化简得ac=c+a,即所以3a+c=(3a+c)()=4+≥4+2,当且仅当即c=a=+1时取等号.1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆直径为 (

)【解析】选C.因为S△ABC=acsinB=c·sin45°=c=2,所以c=4,所以b2=a2+c2-2accos45°=25,所以b=5,所以△ABC的外接圆直径为

=5.课堂检测·素养达标2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,cosC=-,sinA=2sinB,则b=________.

【解析】因为sinA=2sinB,所以a=2b,又因为c=,cosC=-,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得6=a2+b2-2ab·(-)=4b2+b2+×2b2,解得b=-1(舍去)或b=1.答案:13.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于________.

【解析】连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的面积和,由余弦定理得BD=2,S△BCD=BC·CDsin120°=,∠ABD=120°-30°=90°,所以S△ABD=AB·BD=4,所以S四边形ABCD=+4=5.答案:54.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.【解析】如图,连接BD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsinA+BC·CDsinC.因为A+C=180°,所以sinA=sinC,所以S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC.所以20-16cosA=52-48cosC.因为cosC=-cosA,所以64cosA=-32,所以cosA=-,又0°<A<180°,所以A=120°,所以S=16sin120°=8.二十四三角形中的几何计算【基础通关—水平一】

(15分钟30分)1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆半径为3,a=3,则角A等于 (

)

A.30° B.60°C.60°或120° D.30°或150°课时素养评价【解析】选D.根据正弦定理=2R,所以sinA=因为0°<A<180°,所以A=30°或150°.2.在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5,则c等于 (

)A.4 B.16 C.21 D.【解析】选A.因为b=5,A=60°,S△ABC=5,所以S△ABC=bcsinA,所以×5×csin60°=5,解得c=4.3.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,=1,则||= (

)【解析】选B.由=||·||cosA=1,得cosA=,所以A=60°,故B=120°.由余弦定理知AC2=12+22-4cos120°=7,故||=.4.已知△ABC是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若BC=AD=2,则CD= (

)【解析】选D.由图可得∠ACD=135°,AC=2,所以cos135°=CD2+2CD-4=0,解得CD=-或CD=--(舍去).5.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边长之比为3∶2,则这个三角形的面积是

.

【解析】设另两边长分别为3x,2x,则cos60°=解得x=,故两边长分别为3和2,所以S=×3×2×sin60°=.答案:

6.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°.(1)求BD的长;(2)求BC的长.【解析】(1)设BD=x,在△ABD中,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,整理得x2-10x-96=0,因为x>0,解得x=16,即BD=16.(2)因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°,故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°,在△BCD中,由正弦定理得BC=【能力进阶—水平二】(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设△ABC的三条边分别为a,b,c,三角形面积为S=,则C为(

)

【解析】选C.根据面积公式得S=absinC,故

absinC=,解得tanC=1,由于0<C<π,所以C=.2.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=,则的值等于(

)【解析】选A.由题意,在△ABC中,利用三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=×1×c×sin60°=,解得c=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×1×4×=13,解得a=,由正弦定理得3.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC= (

)【解析】选B.设BC=a,则BM=CM=.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72=+42-2××4·cos∠AMB.①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,即62=42++2×4×·cos∠AMB.②①+②得72+62=42+42+,所以a=.4.在△ABC中,内角B=60°,边长a=8,b=7,则此三角形的面积为 (

)【解析】选C.由正弦定理得:所以sinA=.由于B=60°,边长a=8,b=7,则a>b,即A为钝角或锐角,所以cosA=当A为锐角时,sinC=sin(A+B)=所以S△ABC=当A为钝角时,sinC=sin(A+B)=所以S△ABC=则此三角形的面积为6或10.【误区警示】本题在求解过程中,由sinA=确定角A大小时,易漏掉A为钝角的情况.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.三角形有一个角是60°,相邻两边长分别为8和5,则下列结论正确的是(

)A.三角形另一边长为7B.三角形周长为20C.三角形内切圆周长为3πD.三角形外接圆面积为【解析】选ABD.根据余弦定理可得82+52-2×8×5×cos60°=49,即另一边长为7,故该三角形周长为20,故A,B正确;设内切圆半径为r,则(8+7+5)r=×8×5×sin60°,解得r=,故内切圆周长为2πr=2π,C不正确;设外接圆半径为R,则2R=,解得R=,其面积为πR2=.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a∶b∶c=4∶5∶6,则下列结论正确的是 (

)A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC为直角三角形D.若c=6,则△ABC外接圆半径为【解析】选AD.由a∶b∶c=4∶5∶6,可设a=4m,b=5m,c=6m(m>0),根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,故A正确;因为cosC=故最大角C为锐角,故BC错误;若c=6,可得2R=所以△ABC外接圆半径为,故D正确.【光速解题】本题可直接令边长分别为4,5,6.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为

.

【解题指南】利用等面积转化,即S=(a+b+c)·r=b