基于模型“将军饮马”求线段最值 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选基于模型“将军饮马”求线段最值摘要：线段的最值问题是初中数学教学的一大难点，本文通过引入“将军饮马”模型，通过作轴对称把复杂问题转化为点与点之间的距离，点与线之间的距离，从而运用“两点之间线段最短”简。关键词：线段最值，模型思想，将军饮马引言：最值问题是初中数学教学的一大难点，也是中考命题中各知识点和能力考察的区分点，达到解一题知一类通一片？数学教育家波利亚指出：“一个有责任心的老师穷于应付繁琐的数学内线段最值问题，达到事半功倍的效果。一、引入模型什么是将军饮马？诗,早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。1.模型描述如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？2.模型抽象如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？BAP这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，需转化问题，将折线段变为直线段．12022年安徽省中小学教育教学论文评选3.模型解析作点A关于直线的对称点PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PBBAPA'当三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）BA折折P折折A'直线之间垂线段最短，解决此类最值问题。二、展示应用模型1.模型一：两定一动之点点（两定点一动点，转化成点与点距离最值问题）当三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）BA折折P折折A'例1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，求△AMC周长的最小值22022年安徽省中小学教育教学论文评选DE是ABDE军饮马”中的那条河，A、C是定点，点M是动点，进而得到当B，M，C在同一直线的最小值为BC周长的最小值．【解答】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，例2.．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，求PA+PD的最小值．【分析在这里点AD是定点点P是动点“将军饮马中的那条河图中没给有题意可知点P的运动轨迹是一条平行于AD的直线过P作直线l∥AD作点A关于l的对称点A'连接AA'交l于E交BC于F连接A'P依据轴对称的性质可得A'P＝AP，AE＝A'E当A'PD在同一直线上时AP+PD的最小值等于A'D的长依据勾股定理求得A'D的长，即可得到PA+PD的最小值．【解答】解：如图所示，过P作直线l∥AD，作点A关于l的对称点A'，连接AA'，交l于E，交BC于F，连接A'P，则A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，∴AP+PD＝A'P+PD，当A'，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于A'D的长，32022年安徽省中小学教育教学论文评选∵AB＝6，∠ABC＝60°，∴BF＝AB•cos60°＝3，AF＝3 ，又∵S△PBC＝S△PAD，∴AE＝AF＝2 ，∴AA'＝2AE＝4 ，∵BC＝8，∴AD＝8，Rt△AA'D中，A'D＝ ＝ ＝4 ，∴PA+PD的最小值为4 。2.模型二:一定两动之点点（一定点两动点，转化成点与点距离最值问题）在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．A AM MP PO N B

O N B此处P关于OA（折点MN对称点，化折线段PM+MN+NP为周长最小．例AOBC是 D，E分别是OA，OB上的动点，求△CDE周长的最小值。【分析】如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值＝线段TP的长．解直角三角形求出PT的长，即可解决问题．42022年安徽省中小学教育教学论文评选C关于的对称点交AO于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值＝线段TP的长．过点O作OH⊥PT于点H．∵OC＝OA＝OP＝OT＝3，∠AOC＝∠AOT，∠BOC＝∠BOP，∴∠POT＝2∠AOB＝120°，∵OH⊥PT，OP＝OT，∴TH＝PH，∠TOH＝∠POH＝60°，∴TH＝PH＝OT•sin60°＝ ，∴PT＝2TH＝3 ，∴△CDE的周长的最小值为3 ．3.模型三:一定两动之点线（一定点两动点，转化成点与直线距离最值问题）在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。A AMP M PO N B O N B此处M点为折点，作点P关于OA对称的点PM+MN转化为P’M+MN，即过点OB垂线分别交OA、OB于点PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）例4.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_3．52022年安徽省中小学教育教学论文评选解析:本题中有两个动点定点是C,求折线CE+EF三点在一条线上时值最小，而点F是线段AB上的点，所以当CF垂直于AB时取最小值，最小值也AD的值而AD=6sin60=3 CE+EF的最小值=3例ABCDP是线段ACQ是线段CD上的动点，求AQ+QP的最小值是。解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP＝AF+EF＝AE最短（直线外一点到这条直∵矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，∴∠A′CD＝∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠A′CA＝60°，又∵AC＝A′C，∴△A′CA为等边三角形，且A′A＝2AD＝8，AE＝A′A•sin∠A′CA＝8× ＝4 ．4.模型四:两定两动之点点（两定点两动点，转化成点与点距离最值问题）在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。62022年安徽省中小学教育教学论文评选A AM P M PQO N B

QO N BQ'考虑PQPM+MN+NQ关于对称，化折线段PM+MN+NQ为PMNQ的周长最小。例分别在边分别在边OB，OA上运动，连接MP，PQ，QN，求MP+PQ+QN的最小值为.【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．′＝OM＝5，ON′＝ON＝12，∴△ONN′为等边三角形，△O