二面角的求法 论文

PAGEPAGE1二面角的求法摘质来求解.本文依据这两种解题思路根据不同的解题类型总结出了求解二面角的13种方法.关键词：二面角；平面角；棱；定位；方法1.引言二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一，在历年高考中几乎都要涉及.尤其是在数学新课改的大环境下，要求对二面角求法的掌握变得更加灵活.二面角的概念发它也是空间中线线、线面、面面位置关系的一个汇集点.研究二面角的求法，可以进一步培的契机.到最为陌生和棘手的问题.特别是若二面角的楞隐而不露其解题的难度又会增大.本文从二角求解方法加以总结归类.1.1二面角的相关概念lOBlOB图1从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点AOl,BOlAOB为二面角l的平面角.2.二面角的求解方法维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：角的平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.棱”再进一步定位二面角的平面角.2.1.1直接法对于图形中已有二面角的平面角，只要加以证明认定，然后可直接计算求解. P例1[2]如图2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分线DE交AC于D，交PC于 EE.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.解：由PE=EC,PB=BC知PCBE,且PCDE,可知PC面BDE.因BD⊆面BDE可得BDPC.由PA面ABC,BD面ABC知BDPC知BD面PAC.又因DE,DC⊆面PAC,故知BDDE,BDDC.于是可知∠CDE是二面角E-BD-C的平面角.

D CA图2 B2由PA=AB=1得PB=BC= .因PA面ABC,BCAB,有BCPB,可得PC=2.在RT∆PAC中，2∠ACP=30,可得在RT∆CDE中，∠CDE=60.所以二面角E-BD-C的大小为602.1.2定义法连线得到二面角的平面角等。例2在如图3所示的三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=2角P-BC-A的大小.

2,PA=

P CD2. CD解：作BC中点D，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22AD=PD= ,在RT∆PAD中，2

2,易知 AB图32 2 2cosPDAPDADPA12PD2所以二面角P-BC-A的大小为60.PAPAlO根据三垂线定理及其逆定理，如图4所示在半平面内找一点PO面于O,并从垂足O作棱l的垂线OA交棱于A就是二面角l的平面角.例3在正方体ABCD中，图4为面中心，求二面角AC1的大小.解：在正方体ABCD中,且,面,故

AC1，1又,AC1面AC1,可知

AC1M过作M

AC1于M，连接M则由D三垂线（逆）定理可知为二面角 CAC1的平面角.不妨令2， A B图5于是，有2可得2

2M3

6,

,M

6，3cosDMO

M11 11 1所以二面角AC1的大小为603.1.4垂面法如果空间中有与二面角的棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.上述结论可进一步引申：推论1：空间中存在分别与二面角的两个半平面垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.2例4如图6，二面角l内一点P到两个半平面、的距离分别为1、 .2到棱l的距离为

10,求二面角l的大小.解：作PA于A,PB于B,由PA、PB确定的平面交l于C点,记lC.由PA,PB而

l，易知BPClAPAlPBl且PAPB可得lBPClA10ACB是二面角l的平面角.10又PAPB

2,PC

利用和角的余弦公式可求得cosACBcos(ACPPCB)22从而，知二面角l的大小为45.评注：以上四种方法是求解二面角的常用方法，也是在解决有棱二面角的通用方法.对于方法4，下再给出解决无棱二面角的一个例子.例5如图7,在正三棱柱ABC中,截面EC侧面AC1,若,求平面EC与平面所成二面角（锐角）的大小.GBE解:设AC1G.因为面GBEAC1重合,由题意面面EC为面 AEC与面相交于棱上一点且为所求二面角的一垂面，为所求二面角的平面角.1在正三棱柱ABC中,,可知1GAC

45 11 图7故所求二面角的大小为45.2.2.1法向量法 若二面角l两个半平面,的法向量分别为,n2且知道二面角l为 1n2 1n2cos

(cos

),其中为二面角l的平面角. 例6如图15,在矩形ABCD外存在一点PA面B-PC-D的大小.解:由题意建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,0)P(0,0,1)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)，设面PAC的法向量为(x1,y1,z1),zPzPDyAB x C面PCD的法向量n2(x2,y2,z2)则有由1PB01PC0及n2PD0n2PC0

n2得 图15cos

1 1n2 1n2510注意到B-PC-D为钝角，故B-PC-D的大小为arccos .1053.2.1向量法在中结论1可以进一步引用向量的方法解决定理1设二面角l为，A,Al,B,Bl;AEl于E，BFl于F，则，有 zBLAyxMcoszBLAyxM EAAAlE B图18

图19PAGEPAGE6文[5]给出另一结论：定理2如图19，空间任一条直线L,A,B是直线L上的两个点，M是空间任一点,MNL于N,则 NMAMAM 2AB利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，避免产生二面角的平面角与其法向量夹角的误判，同时又避免了对垂足M,N坐标的判断.例6[5]如图20,已知正方形ABCD和矩形 zACEF坐在平面相垂直，AB

2,AFE N是线段EF中点，求二面角A-DF-B的大小.解:如图建立空间直角坐标系 M FCxyz，则2,

2,0),B(0,

2,0),

B yD CyD(2,0,0),F(2,.

x A图20作AMDF于M,BNDF的延长线于 MA与NB所成的角的大小与二面角A-DF-B的大小相等. MA

DADM

DA DF

(0,2,2) 2 3 3DF NB

MADBDN

DB DF

(

2,2,2) 2 3 3DF cosMANB1 2MANB故二面角A-DF-B的大小为60.小结面角的平面角和无需定位二面角的平面角两种思路来分别加以介绍.本文试图按照这两种思路分二面角的两种题型加以说明概括.这13种方法动用了数学上的集中解题思想：转化思想、类比思想、建构图像思想、将维思想等，下对以上这些方法和思想进一步加以归类，以便于后来者研究和总结.参考文献:[1]刘绍学等.普通高中课程标准试验教科书数学2[M].北京：人民教育出版社20052：75-79.[2][3][4]幕泽刚.做平面角的二面角的常见技巧[J].高中数理化，2004，04（1）：012-013.[5]黄耿跃.利用向量求二面角大小的又一方法[J].030.[6] 袁拥军.[7] 李慧君等.立体几何[M].北京：人民教育出版社，19903：47-49.[8]王红芳，龙妹香等.无棱二面角求解初探[J].铜仁学院报，2008，02（2）：124-128.[9]A.V.SerovandB.M.Bolotovskii.ApplicationoftheMethodofImagesintheProblemsofTransitionRadiationinaDihedralAngle[J].JOURNALOFEXPERIMENTALANDTHEORETICALPHYSICS，2007，104（6）：867-871.[10]L.FELBERBAUM,A.ROSSOLL,A.MORTENSEN.Astereoscopicmethodfordihedralanglemeasurement[J].JOURNALOFMATERIALS3127.Abstract:Therearetwotypesofsolvingdihedralanglefromthemathematicalproblemintheperiodofhighschool,onehasanedgeandanotherhasno.Generallyspeaking,theproblemcanbesolvedfollowingtwothreads.Ontheonehand,itcanbedeterminedbylocatingthedihedral’splaneangle.Ontheotherhand,itrequiresavailingofangle’sequi