概率论第九章1单因素方差分析

二、回归分析一、方差分析第九章方差分析及回归分析二、统计分析一、总平方和的分解第一节单因素试验的方差分析例1假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差。现用三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？材料批号寿命测定值(单位:小时）123160016101650168017001700180015801640164017001750146015501600162016401660174018201.引例三个水平因素试验指标例2设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？品种产量（斤/小区）32.334.034.335.036.533.333.036.336.834.530.834.335.332.335.8

29.326.029.828.029.8水平因素试验指标设在试验中，因素A有m个不同水平在水平下的试验结果其中和是未知参数。在水平下作次独立实验，其结果如表1所示。123子样均值容量样本水平2.数学模型表1是来自总体的容量为的一个样本，其观察值为(1)由于相互独立，且若记则且相互独立要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设(2)其中与均为未知参数。式（2）称为单因素方差分析的数学模型。(3)再令(5)则μ是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值；代表了第i水平下的总体均值与平均值的差异，这个差异称为的效应，(4)由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的等价数学模型它满足式(5)表明：样本由总平均值因素的水平效应

随机误差三部分叠加而成。因而式(5)也称为线性可加模型。(5)由于当为真时，=>各水平的效应=>统计假设模型(1)等价于(6)基本任务：根据样本提供的信息，对假设(6)进行检验，并估计未知参数检验此假设的方法就是方差分析3.总离差平方和的分解:样本总平均通过分解，构造统计量组内平均(7)(8)两者间的关系称为总离差平方和。引入记号(10)总离差平方和分解－－全部数据与总平均之间的差异，又叫总变差其中为各水平下的样本与该水平下样本均值的离差平方和，反映了各水平下样本值的随机波动情况，称为组内平方和。它是由试验的随机误差引起的，故又称误差平方和。为各水平下的样本均值与样本总均值的（加权）离差平方和，反映了各水平间的样本值的差异，称为组间平方和。形成它的主要原因是因素A的各水平下的不同效应，故又称为效应平方和。常见统计量1、样本均值2、样本方差设是来自总体X的一个样本，常用来估计EX.复习结论：设为来自总体的一个样本，4.SE，SA的统计特性故(12)(13)记(14)(15)的均方的均方4.SE，SA的统计特性(14)(15)(14)及(15)两式表明：是的无偏估计，仅当成立时才是的无偏估计，否则它的期望值要大于在成立时应接近于1，而当H1成立时总有偏大的倾向。如果比值比1大得多，就应拒绝假设为此，我们采用(16)作为检验统计量。当成立时，与相互独立，且分别服从自由度(n-m)，(m-1)的分布，故复习：F分布的分位点

对于给定的正数称满足条件的点为分位点分布的上对给定的显著性水平，由得检验问题(1.1)或(1.6)的拒绝域为(17)上述分析的结果可排列成表2的形式称为方差分析表方差来源误差E因素A总和均方自由度平方和显著性F比在实际计算时，通常使用下列公式其中例1设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？(α=0.01)品种产量（斤/小区）32.334.034.335.036.533.333.036.336.834.530.834.335.332.335.8

29.326.029.828.029.8解分别以表示不同品种玉米平均产量总体的均值，按题意需检验假设品种地块产量132.333.330.829.3

172.1173.9168.5141.9656.4536.534.535.828.8435.036.832.328.0334.336.335.329.8234.033.034.326.0

5923.6826048.2425678.454027.12221677.5029618.4130241.2128392.2520135.61

5933.036060.075696.154035.9721725.22注意到可得方差分析表方差分析表方差来源误差E因素A总和均方自由度平方和显著性F比当时，由F分布表可查得由于故拒绝即认为这四个品种对玉米平均产量的影响高度显著。31916若检验结果为原假设H0不成立，有时需要对则的置信度为1－α的置信区间为由上面讨论，可得未知参数的估计是的无偏估计。5.未知参数的估计如果检验结果为拒绝，即不全相等。有时需要对第i个水平及第k个水平均值差作出区间估计。为此，我们可以取作为的点估计，注意到又是的无偏估计，而可以证明与相互独立。的置信度为的置信区间为

求例2中未知参数的点估计及均值差的置信度为0.95的区间估计。解

的点估计为

及的无偏估计分别为例2当时，的置信度为0.95的置信区间分别为因素A分3个水平，对每个水平进行4次试验，结果如下表：1382021

试验号2362422

3352631