基于GeoGebra的安徽中考最值问题的探究 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选基于GeoGebra的安徽中考最值问题的探究摘要：最值问题是一类常见的综合性问题，不仅考查学生的实验操作能力，还考模块。教师若结合GeoGebra软件辅助最值问题的教学，将动点背后的“隐形轨迹”可视化，可帮助学生建立“轨迹意识”，逐步形成理性精神。关键词：中考数学，最值问题，GeoGebra软件一、最值问题最值问题系安徽省中考的热点问题之一，这类问题通常与复杂的图形变换息息相关，需要用一种动态的视角观察和剖析运动中的图形。通过这类问题的教学，可以培养学生的空间观念和创新意识，让学生在实践、体验、验证等学习过程中感悟基本思想，获得基本活动经验。此类问题常可归于两类基本情况：一是几何，多为动点在不确定位置的情况下求线段长度、图形面积等量的最值，常用的知识点有：“两点之间线段最等，解题时要运用动点思维进行空间想象，将动点问题进行转化；二是函数，多为利用函数思想求解函数的最值，常常需要根据已知条件将问题转化成两个变量之间的关系，确定函数解析式，利用函数的增减性求某范围内函数的最值。两类情况中的条件具有隐蔽性，动点的变化具有灵活性，信息化辅助教学的缺乏会导致学生体验浅薄，无法理解和想象动点的轨迹，难以培养学生的理性精神。二、GeoGebra软件的特点声音、动画等进行综合处理，丰富教学场景，激发学生学习数学的兴趣和探究新知的欲望，利用数学专用软件等教学工具开展教学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构。”一套能够整合代数、几何、数据和统计的GeoGebra软件是典型的专用软件代表之一，功能十分强大，它能在“抽象的数”与“可见的形”之间建立联系的通道，帮助学生穿透表层，直击知识的内在逻辑和本质，体现“数学是清晰的、能够自然生长的”。GeoGebra12022年安徽省中小学教育教学论文评选表格区等操作区域，简单易用。利用软件自身的优势，突破学生认知水平的局限性，使学生能够全身心投入到探究活动之中作图，代数区也会同步生成点的坐标与图像所对应的方程。软件带有动态演示功能，足会，无法言传”的障碍，实现以思维的渗透带动具体知识和技能的探索，真正做到“教会、教活、教深”。本文从安徽中考求最值的问题出发，利用GeoGebra软件让隐形的动点轨迹可视化，体会运动前后的变与不变，帮助学生建立几何直观，提升抽象能力。三、GeoGebra环境下的问题教学策略1．问题1（2022•安徽第10题已知点O是边长为6的等C的中心点PC外△C，的面积分别记为S0，，S2，S3+S2+S3＝2S0OP长的最小值是（ ）A．332

B．532

C．33 D．732（1）浅析根据题目条件可知，△ABC是确定的，中心O也是确定的。点P在△ABC外，故不确定。但P点所在区域大致可以分为两类，先往两个方向分别延长△ABC的各边，可以把△ABC外的平面分为①②③④⑤⑥共6个区域（如图1），对其进行分类讨论，其中①③⑤情况相同，②④⑥情况相同。要求线段OP长的最小值，需要确定动点P的运动轨迹。图1（2）软件辅助情况PSVPACS3+22022年安徽省中小学教育教学论文评选1S2+S3＝2S0S3+S0=2S0S3=2

S0S0＝3´62＝93，∴S

93，因AC=6，∴AC边上的高PD＝33。P点的运动轨迹是怎4 3=2 2GeoGebra可让学生感受点D在移动过程中对点PPP点到ACD作AC的垂线，截取DP=33，右击P点，选择“跟踪”，这样可以发现P点的运动轨迹是平2行于ACGeoGebra“测量线段”的功能测量OP的长度，让学生初步感受到线段OP的长度会发生变化。当点D从点A向C出发，OP的长度是由长变短，的长度达到最小值。此时问OP垂直于点POP也垂直于＝53。2图2情况P在②区域时，类似于情况1，先用GeoGebra中的“跟踪”功能，确定点P的运动轨迹是平行于AB的线段（如图3），再根据“垂线段最短”得OP的最小值为73P的最小值为53P在②④⑥区域时，2 232022年安徽省中小学教育教学论文评选最小值为73，∵53＜73，答案为B。2 2 2图32．问题2（2017•安徽第10题）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足1

=S矩形ABCD3

，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）A．29 B．34 C．52 D．41（1）浅析此题学生不难看出矩形ABCD是确定的，A、B两点为定点，P为动点，也容易想到将点A或者点BPA或PB很多学生感到疑惑。解决问题的核心就在于找到点PP的运动轨迹是平行于AB的直线，这道题就无从下手。（2）优化策略对于此题目的教学，我们可以做以下分析：第一步——感性认知（如图4）初步认识图形的几何结构，发现其中的基本图形，在点P的运动过程中，图中哪些42022年安徽省中小学教育教学论文评选部分是变化的，哪些部分是不变的，发现PA与PB的长度都在发生变化。第二步——观察数据（如图5）利用GeoGebra“测量”线段长度的功能，让学生有一个初步认知，控制滑动条，PA+PB长度自P点从左到右的运动过程中，先由长变短，再由短变长，可以发现，在移动到某个特殊位置时，PA+PB可以取到最小值。图4 图5第三步——发现轨迹（如图6）要找到使得PA+PB最小的位置，必须先知道点P的运动轨迹，利用“跟踪”功能对点P的运动轨迹进行跟踪，发现点P的运动轨迹是平行于AB的一条直线，且与AB的距离为2。因此，问题转化为通过轴对称求线段和最小的问题。图6第四步——问题转化（如图7）确定点PPA+PB的最小值？由点PPA与PB在运动轨迹的同侧，无法利用“两点之间，线段最短”来确定最小值，故利用GeoGebraA点关于运动轨迹的对称点LK与点P，此时PA'+PB最小，即PA+PB最小，也就是A'B的长度，利用勾股定理求出即可。52022年安徽省中小学教育教学论文评选图73.问题3（2021•安徽第14题）设抛物线y=x2，其中a为实数。（1）若抛物线经过点(-m)，则m= ；（2）将抛物线y=x2向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 。浅析在题（1）中，将点(-m)代入抛物线解析式，可得出结论；题（2）根据“上加下减”y=x2向上平移2个单位可得y=x2，根据顶点坐标公式可得顶点坐标为(-a1,-1(a-)22)令n-1(a-)22因-1＜0所以n的最2 4 4 4大值为2，此题得解。讲解完后，我们对此题可以深度研究，发现随着a值的变化，顶点位置也发生改变。追问1：顶点的运动轨迹是怎样的呢？由刚刚这道题的讲解，学生容易猜想出抛物线。猜想是否正确？首先在GeoGebraæa) a-2 ö

,- A的准确位置，ç 2 4 ÷è ø接着右键点击点A并选择“跟踪”键，然后拖动滑动条a，可以观察发现运动轨迹是抛物线。（如图8）62022年安徽省中小学教育教学论文评选图8追问2：对于一般的抛物线y=ax2(a¹0,当a、c确定为常数，b变化时)，它的顶点纵坐标与横坐标之间具有怎样的函数关系？试求出函数关系式。GeoGebra软件验证，改变参数b的值得到轨迹如图9，再利用消元思想可以求出函数关系式为yax2。图9四、几点体会1.借助GeoGebra软件增加学生获取知识的途径传统数学教学中，学生的学习很大程度上常常因条件的限制被定格在“空想”上，缺少直观演示与互动探究。在课堂上，借助GeoGebra软件演示动点的运动轨迹可以让学生的大脑和五官同时“动起来”，实实在在地经历观察、猜测、推理、验证等活动，获得方式的“缺口”，拓宽了学生获取知识的途径。72022年安徽省中小学教育教学论文评选2.借助GeoGebra软件强化学生对数学本质的感悟“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，然而在一些动点最值问题中，问题情GeoGebra软件做到了图形与代数方程的同步变化，实现了真正的动态演示，遵循着“实践认识，再实践再认识……的认知规律”，让学生经历反复的猜想、验证等过程逐步触及到数学本质，提升对“数量关系和空间形式”的感悟能力。3.借助GeoGebra软件提升解题的一般化思维数学离不开解题，但数学的题目是源源不断的，所以解题的一般化思维显得尤为重要。借助GeoGebra软件在数学化操作中进行归纳、假设，撇开限制条件将例题的要求处理好特殊与一般的关系，感悟数学思想，在“大胆猜想，精心验证，逐步推广”的过程中培育“数学抽象”的核心素养。总之，如史宁中教授所言：“信息技术正在通过与学科的融合来改造我们的教学，形成一种全新的教学模式。”将GeoGebra软件合理、恰当地与数学相融合，让学生在更