双曲线的定义及标准方程(精)

双曲线的定义及标准方程榆树市弓棚高级中学彭普威一、教学内容分析节教材选自人教A版数学选修1-1第二章第二节课，本节内容在整个圆锥曲线教学中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位，在高考中也是历年热点问题。本节课是在前面已学过椭圆的基本定义做为学习的出发点，结合有关的实物模型，多媒体演示，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出双曲线的定义，并结合定义用类比方法推导出双曲线标准方程。本节课的学习对培养学生动手实践能力与逻辑推理能力起到重要作用，特别是学生对数学在生活中美的体现有重要认识。二、学生学习情况分析任教的学生在年段属中下程度，学生学习兴趣较高，但学习圆锥曲线所具备的想象能力、计算能力相对不足，学习方面有一定困难。三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出双曲线的定义及推导出标准方程，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示椭圆的定义与双曲线定义的区别与联系，领会数学的对比思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间想象力及对数学美感的感知，提高学生的数学逻辑思维能力，及培养学习数学的兴趣。通过直观感知--观察--操作确认的认识方法理解并掌握双曲线的定义，掌握双曲线的形状特点的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述双曲线，并通过类比方法推导出双曲线的标准方程。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。五、教学重点与难点重点是双曲线的引入与理解，难点是双曲线标准方程的推导与逻辑思维能力的培养。六、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1椭圆的定义及其标准方程？（多媒体幻灯片演示）p」M/MF|+|MF|=2a}提问2:若把椭圆定义中和变为差时，曲线将如何变化？谈谈你的看法？［设计意图:通过提问，学生复习椭圆定义，并由此引出疑问，深入思考引入本节课题，并为探寻椭圆和双曲线的联系与区别作好准备。］（二）双曲线定义的探求过程1、直观感知提问:根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出双曲线的具体事例吗？师1:出示火电站的烟囱图形。师2:广东亚运会开幕式会场一侧的广州电视塔“小蛮腰”，然后教师用多媒体动画演示。［学情预设:此处的预设与生成应当是很自然的，这样能

使学生更加直观的感知双曲线的形状，并能体会到数学在生活中的应用，且能感受数学的美。］2、动手实践教师取出预先准备好的双曲线演示板：演示双曲线的形成过程。并要求同学们分组把课前要求准备好的拉锁按要求做演示。老师在讲台前演示并用多媒体做动画演示。［设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更加清楚地看到双曲线是怎样形成的，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟双曲线形状特性，并探究其内涵。］3、探究思考上述演示的双曲线形成过程关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知双曲线的形成的核心，关键是二个要素：①差的绝对值②常数小于\FF|4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）双曲线定义：平面内与两个定点F、F的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1FJ）的点和轨迹叫做双曲线。集合表示形式：p={M/\MF\-\mf2\|=2R温馨提示：两个定点叫做双曲线的焦点。两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距。常数记为2a，FF|=2c常数记为2a，FF|=2c。（三）定义运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）1、想一想：当双曲线条件相应变化时，曲线将如何变化：（1）、,-|PF|=2a双曲线的一支（2）pF-\PF\=-2a双曲线的一支（3）fF=2a2表示以FF为端点的两条射线（4）FF、/12［学情预设：设计这组问题的目的是强调定理中两个条件的重要性，相应条件变化时能够使同学们通过演示、思考得出结果，如能按老师的要求生成正确的结果，则就由个别学生进行演示。］2、作一作：PF<2a动点的轨迹不存在。已知F(-5,0)F(5,0)动点P满足\PF\—\PF\=2a,当a为3和5时，P点的轨迹为双曲线的一支和一条射线。先由学生讨论交流，教师提冋，然后教帅总结，并用准备好的教具进行演示。［设计意图：这是一道简单应用问题，是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定义的认识，更重要的是培养学生想象能力与思维的严谨性。］(四)双曲线的标准方程(1)推导：回顾椭圆标准方程的推导过程，类比为双曲线(建系—设点—列式—化简)F2，y已知双曲线的焦点在x轴上，F(-c,0)、F(c,0)F2，y建立直角坐标系xoy,使x轴经过两个焦点F、轴为线段f©的垂直平分线1设点M(X,y)p={M/|MFJ—||MF]|=J(x+c)2+y2|MF2|MF]|=J(x+c)2+y2|MF2\/(x+c)2+y2化简得：-.J(x-c)2+y2=±a2—a2)x2—a2y2=a2(c2—a2两边同除以a2(c2—a2)得x2y2—=1a2c2—a2令c2—a2=b2(b>0)代入上式得：匸—21=1(a>0,b>0)a2b2类比上述方法，可引导学生自主推导焦点在y轴上的双曲线方程。［设计意图：设计此推导过程，目的是通过问题探究、讨论、思辨、类比，体会公式是怎样来的？提高学生的推导

能力、计算能力与逻辑推理能力。］（2）标准方程1＞焦点在x轴上x21＞焦点在x轴上x2y2=1（a〉0,b〉0）a2b22＞焦点在y轴上y2x2=1（a〉0,b〉0）a2b2注：1＞a,b,c关系c2=a2+b22＞焦点跟着正项走［知识链接：要注意a,b,c的关系双曲线与椭圆的区别，并进一步讨论焦点的判断的方法。注重方法的总结，培养逻辑思维能力］练一练：例：已知双曲线两个焦点F（-5,0）F（5,0）,双曲线上一点P到F，距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。12变式1:已知双曲线的中心在原点，c=6，经过点（5，2），焦点在x轴上，求双曲线的标准方程。变式2:已知双曲线中心在原点，经过点A（7,_6巨），BI訂,3），求双曲线的标准方程。股计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化双曲线标准方程的运用，特别是通过变式2的训练，让学生思考简便方法，让学生能在不同的条件下，去寻找解决问题的途径与方法，以达到逐步培养学生分析问题能力与逻辑思维能力。］（四）总结先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：1、双曲线的定义：平面内与两个定点F、F的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1FJ）的点和轨迹叫做双曲线。2、双曲线标准方程：121＞焦点在x1＞焦点在x轴上x2y2=1（a〉0,b〉0）a2b22＞焦点在y轴上Z2-匸=1（a〉0,b〉0）a2b2（五）布置作业：教科书习题2、2A组1,2七、教学反思一、成功之处：1、教学方法上：“突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。”结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法及多媒体进行教学方法，体现了认知心理学的基本理论。2、学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。3、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。4、教学实效上：让学生在基础上巩固、深化、应用双曲线的定义并掌握待定系数法求标准方程，又可加强对代数运算能力的培养，在此体验方程、化归、数形结合、分类整合等数学思想，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即“由数到形”作了坚实铺垫和准备。二、不足之处：1、从课