中考数学复习：第28节　图形的旋转与中心对称

第28节图形的旋转与中心对称1．(2021·邵阳)下列四个图形中，是中心对称图形的是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))2．(2021·烟台)下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)3．(2021·永州)如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是(C)4．(2021·贺州)在平面直角坐标系中，点A(3，2)关于原点对称的点的坐标是(D)A．(－3，2)B．(3，－2)C．(－2，－3)D．(－3，－2)5．(2021·邵阳)如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝eq\f(3,2).将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′.则线段AA′的长为(B)A．1B．eq\r(2)C．eq\f(3,2)D．eq\f(3,2)eq\r(2)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))6．(2021·广安)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为(C)A．65°B．70°C．75°D．80°7．(2020·南宁)以原点为中心，把点M(3，4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为(－4，3)．8．(2021·达州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，4)，B(0，2)，C(3，2).(1)将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为(2，2)，求△A1C解：(1)如图，△A1B1C1(2)如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝4×8－eq\f(1,2)×3×2－eq\f(1,2)×2×8－eq\f(1,2)×4×5＝119．(2021·黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－4，3)，O(0，0).(1)画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长(结果保留π).解：(1)如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标为(－1，－3)(2)如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标为(3，1)(3)点A旋转到点A2所经过的路径长＝eq\f(90π·\r(10),180)＝eq\f(\r(10),2)π10．(2021·广州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为(C)A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(2\r(5),5)【点拨】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC′＝6，BC＝B′C′＝8，∠C＝∠AC′B′＝90°，在Rt△BB′C′中，由勾股定理可求BB′的长，即可求解．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))11．(2021·安徽)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为(A)A．3＋eq\r(3)B．2＋2eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D．1＋2eq\r(3)【点拨】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EH即可．12．(2021·枣庄)如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为(1，－1)．【点拨】连接AA′，CC′，线段AA′，CC′的垂直平分线的交点就是点P.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))13．(2021·桂林)如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是eq\r(6)＋eq\r(2).【点拨】连接OB，过点O作OE⊥C′B于点E，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算OB，OE，EC′和BE的长，根据线段的和可得结论．14．(2021·湘西州)如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°.(1)求证：AB＝ED；(2)求∠AFE的度数．解：(1)∵∠ECA＝∠DCB，∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，即∠ECD＝∠BCA，由旋转可得CA＝CE，在△BCA和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CD，,∠BCA＝∠DCE，,AC＝EC，))∴△BCA≌△DCE(SAS).∴AB＝ED(2)由(1)中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，又CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝70°，∴∠EDA＝180°－∠BDE＝180°－70°×2＝40°，∴∠AFE＝∠EDA＋∠A＝40°＋10°＝50°15．(2021·贵港)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF.(1)如图①，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是AE＝CF；(2)如图②，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图③，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF，故答案为：AE＝CF(2)结论成立．理由：∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF(3)由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(OE,OF)，