相似三角形的判定

相似三角形的判定ABCC’B’A’回忆：目前我们知道有哪些判定相似三角形的方法?AC/B/A/

CB（１）．定义法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（３）．“三边”定理：三边成比例的两个三角形相似.（４）．“两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的两三角形相似.复习引入

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？边边边SSS√边角边SAS√斜

边直角边HL角角边AAS角边角ASA复习引入ASA、AAS只有一组边，能成比例吗？猜想:ABCA/

C/

B/

已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求证:ΔABC∽△A/B/C/

论证猜想证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。ABCA/

C/

B/

DE∵AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ΔADE≌ΔA/B/C/（SAS）∴∠1=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠1=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA/B/C/∽ΔABC已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求证:ΔABC∽△A/B/C/

论证猜想1CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：定理归纳“两角”定理：两个角分别对应相等的两个三角形相似

如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。探究思考已知：ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.角角AA探究新知√

“直角边、斜边”定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。HLABC∴△ABC∽△A1B1C1.√A1B1C1在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中定理归纳用数学符号表示：例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEFAFECBD证明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A－∠B=1800－400

－800

＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。400

800

800

600

600

例题讲解例2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠1＝∠B,∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）123∵EF∥AB（已知）∴∠B

＝∠3

,∴∠1

＝∠3

,∵∠1

＝∠3,∠2＝∠CABCDE例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,

∠AED=60°,求证：AD·AB=AE·AC已知：如图25-4-5，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC,DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF.1.下面每组的两个三角形是否相似？为什么？①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o课堂练习2、判断题：(1)所有的直角三角形都相似.()(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.()(3)所有的等边三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.()(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.()×√√√√×课堂练习ABDC图33、填一填（1）如图3，点D在AB上，当∠

＝∠

时，△ACD∽△ABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件

，就可以使△ADE与原△ABC相似。●ABCE图4ACD

B

(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D课堂练习4、如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，

求证：PA·PB=PC·PD证明：连接AC、BD。∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠

A=∠D。同理∠C=∠B（或∠APC＝∠DPB）。∴△PAC∽△PDB。∴ABCDPO·即PA·PB=PC·PDCADB5.找出图中所有的相似三角形△ACD∽△CBD∽△ABC你能写出对应边的比例式吗?常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACD试证明：6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC。求证：BD2＝AD·BCBDAC课堂练习相似三角形的判定方法有那些？课堂小结（１）．定义法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（３）“三边”定理：三边成比例的两个三角形相似.（４）“两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的两三角形相似.（5）“两角”定理：两个角分别对应相等的两个三角形相似（6）“直角边、斜边”定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。DBCA184√2

12√2

7、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2则AC=BD=BC=课堂练习8、已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；DEABCF答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF课堂练习ABCDEABCDE21OCBAD常见图形OCDABABCDE课堂小结DEABCF1、如图,⊿ABC中,CD是边AB上的高,且AD:CD=CD:BD,求∠C的大小.补充练习2.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，