第一章-行-列-式-实验教学示范中心

第一章行列式【课题】第1讲排列及其逆序数、阶行列式的定义【学时数】2【教学目的】1.理解排列及其逆序数的概念；2.熟练掌握二、三阶行列式的计算【教学重点】二、三阶行列式的计算【教学难点】三阶行列式的展开式【教学过程】§1.1排列及其逆序数一、排列与逆序的概念1、排列问：现在给，四个数字，能够组成多少个没有重复数字的四位数？个，4231就是一个，且是一个排列，称为标准排列．下面一般的给出定义定义1.1.1由这个数组成的一个有序数组称为一个阶排列，记为，其中排列称为标准排列.的阶排列共有个.2、逆序数定义1.1.逆序在一个阶排列中，当某二个数，较大的排在较小的前面，则称这两个数有一个逆序，逆序数这个阶排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.排列的逆序数记为偶排列当逆序数为偶数时，称这个排列为偶排列，奇排列当逆序数为奇数时，称这个排列为奇排列.若的前面有个比它大的数，就说的逆序数是.则排列的逆序数为：.例1，是奇排列；，是偶排列；问：，是偶排列.是偶排列.标准排列的逆序数为0.二、对换及性质对换在排列中,对调任意两个元素,其余元素位置不变,而得到新排列的做法叫做对换，相邻两个元素的对换,叫做相邻对换.现看为偶排列为奇排列性质1一个排列中，任意对换两数，则排列改变奇偶性.证（见书略）性质2偶排列变成标准排列的对换次数为偶数，奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.例如321541235412345证（可略）因为标准排列的逆序数为，是偶数，再由定理1.1.1§1.2阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式1、二阶行列式用消元法解二元一次方程组（1）为消去未知数,以第一个方程乘以减去第二个方程乘以,得，类似地可消去,得，当时,求得(2)为了便于记忆,引入下面定义.定义1.2.1由四个数,排成二行二列(横排为行,竖排为列)的数表所确定的表达式称为二阶行列式,记为.(3)其中数称为行列式(3)的元素,第一个下标称为行标,第二个下标称为列标,数表示是位于行列式的第,第列的元素.如图1.1中至的实联线称为主对角线,至虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积,这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.图1.1.(6)称此式为上述行列的数表所确定的阶行列式.其中为的一个排列，表示对一切阶排列求和；(6)式右边的和式称为阶行列式的展开式；显然的展开式中共有项，其中每一项都是取自的不同行、不同列的个元素的乘积，而且每个乘积项前面所带符号的规律为：当逆序数为偶数时取正号，而当逆序数为奇数时取负号.行列式有时简记为,表示行列式中第行第列的元素.特别的,当时，称为一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆.主对角线以下(上)的元素都为的行列式叫做上(下)三角行列式.例4证明下三角行列式.证由行列式定义，其展开式的一般项为,在中，第一行只有可能不为0，则取；第二行中，只有可能不为0，而已经取了，所以不能取(与同列)，故只能取，即；这样继续下去，中可能不为0的项只有一项.又由于为偶数，符号取正，所以得.例如 D=同理有上三角行列式.类似可推得主对角线以上和以下的元素都为的行列式叫做对角行列式.由上(下)三角行列式计算方法,可直接得；.从阶行列式定义知，其任一项由个元素相乘构成，而乘积有交换律.如果把该项的列标的排列经过次对换变成标准排列.这时其相应的行标排列也经过次的对换后变成，即有=.又由定理1.1.2知与有着相同的奇偶性，则有.这样，可以给出阶行列式的另一个定义.定义1.2.3′阶行列式定义为.小结：本次课我们学习了排列及其逆序数的概念及的定义，重点要掌握二阶和三阶行列式的计算。作业：P24～25习题一1、3、5(1)～(5)

【课题】第2讲行列式的性质【学时数】2【教学目的】1.理解掌握行列式的性质；2.熟练应用行列式的性质计算行列式【教学重点】应用行列式的性质计算行列式【教学难点】行列式的性质的灵活运用【教学过程】§1.3行列式的性质当阶行列式的较大时，用行列式的定义计算其值是很麻烦的，计算量大.本节介绍用行列式的性质，可以把复杂的行列式化为简单的行列式进行计算。现看什么是转置行列式设阶行列式，将的行变成相应的列后得到的行列式记为.则称为的转置行列式.例如，则＝21+120—84＝57性质1行列式与它的转置行列式相等，即.证（略）这个性质表明了，在行列式中行和列所处的地位是相同的，因而凡是对行成立的性质，对列也同样成立；反之亦然.性质2交换行列式的两行（列），行列式的值变号.，交换D的1.2两行得,推论如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则这行列式的值为零.证现将行列式中元素相同的两行互换，则仍为；但由性质2这时其值为，即=，所以.性质3用数乘以行列式的某一行（列）的所有元素，等于以数乘以此行列式.即.证.推论1如果行列式的某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式符号外面.推论2若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零.这是因为由推论1，先把行列式的成比例的两行的比例系数提到行列式符号外面后，则行列式的这两行的对应元素相同，再由性质2的推论可知这个行列式的值等于零.性质4如果行列式中的某一行（列）的每一个元素都由二个数之和组成，则可成为两个行列式之和，即若,，，则.证.例计算性质5行列式的某一行（列）的所有元素加上另一行（列）的对应元素的倍，则行列式的值不变.即.证由行列式性质4以及性质3的推论2可得到.为了表达行列式运算过程中要用到的三种运算，现用下列符号来表示：1、用表示行列式的互换第行与第行；2、表示行列式的第行的每个元素乘以数，称为用数乘以第行；3、表示行列式第行的各元素加上第行对应元素的倍，称为第行加上第行的倍；同理；；分别表示行列式互换第列与第列；数乘以第列；第列的各元素加上第列对应元素的倍.例1计算（练习）计算.计算练习计算例4计算阶行列式（行列式的空白处为零）.解小结：本次课我们学习了行列式的性质，重点要掌握如何灵活应用行列式的性质来计算行列式。作业：P24～25习题一5(6)～(9)、6(1)～(3)

【课题】第3讲行列式按行（列）展开【学时数】2【教学目的】1.理解行列式的余子式和代数余子式的概念；2.熟练掌握按某行(列)展开行列式来计算行列式；3.熟练掌握按行(列)展开行列式来计算行列式【教学重点】按某行(列)展开行列式来计算行列式【教学难点】按某行(列)展开行列式来计算行列式【教学过程】§1.4行列式按行（列）展开上一节，用行列式的性质，把行列式化为三角（或下三角）行列式的方法计算行列式的值，下面要介绍的内容就是如何把高阶行列式化为低阶行列式来计算的方法.现看三阶行列式一、行列式的余子式和代数余子式定义1.4.1在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，由剩下的元素按原有的次序构成的阶行列式称为的余子式，记为.令，称为元素的代数余子式.例如中是的余子式，其代数余子式为类似的代数余子式为的代数余子式为所以二、行列式按某行（列）展开定理1.4.1阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即或定理1.4.2阶行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即，或.证作一个行列式，使的第行与第行的对应元素相同，即,由行列式性质2推论知，再将1按第行展开，就有，同理可证，综合上面两个定理的结论，得到代数余子式的重要性质：对行而言对列而言例1计算4阶行列式.例2计算4阶行列式.解.例3证明范德蒙德（Vandermonde）行列式这里.证用数学归纳法：（1）当=2时，.所以,命题成立.（2）假设对于阶范德蒙德行列式结论成立，即.现证明对于阶行列式也成立.对从第行起，各行减去前一行的倍，得到成立.例4计算阶行列式.三、行列式按行（列）展开定义1.4.2在阶行列式中，任意选定行及列，位于这些行及列交叉处的2个元素，按原来顺序构成一个阶行列式，称为的一个阶子式.划去这行,列后，余下的元素按原来的顺序构成一个阶行列式，叫做阶子式的余子式；假定所在的行的序数是，所在的列的序数是，那么.叫做阶子式的代数余子式.定理1.4.3（拉普拉斯定理）若在阶行列式中，取定某行，则这行的元素组成的所有阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和等于.（证明略）利用拉普拉斯定理计算四阶行列式.解取定第一、二行，且不为零的二阶子式只有个，即，，.其对应的代数余子式分别为，，,因而有.例5设,其中,.证明：.证将按前行展开,因为前行的阶子式除外全为零,而的代数余子式是,所以,由拉普拉斯定理得.例6求小结：本次课我们学习了按某行(列)展开行列式和按行(列)展开行列式来计算行列式。作业：P24～25习题一7(1)～(4)【课题】第4讲克莱姆法则【学时数】1【教学目的】1.熟练掌握用克莱姆法则解线性方程组；2.熟练掌握用克莱姆法则解齐次线性方程组【教学重点】用克莱姆法则解线性方程组【教学难点】用克莱姆法则解线性方程组【教学过程】§1.5克现在，我们应用阶行列式来解含有个未知量的个线性方程的方程组.一、克莱姆（Cramer）法则定理1.5.1（克莱姆法则（1）的系数行列式.则方程组有且仅有唯一解.这里是把的第列元素换成方程组（1）的常数项得到的行列式.证.可类似推得,当≠0时，有.（2）这就证明了：线性方程组（1）当≠0时，如果有解，那么就只是（2）式.现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明，即.考虑有两行相同的阶行列式,按第一行展开.由于第一行第列的元素的代数余子式为,把的第1列依次与第2列、第3列、…、第列互换，有,所以有.这就表明了（2）式就是方程组（1）的解.学生总结用克莱姆法则解线性方程组的步骤：例1解线性方程组解计算系数行列式，所以有唯一解推论若已知方程组（1）无解，或解并非唯一，则其系数行列式.二、克莱姆法则的推论如果方程组（1）的常数项，即（3）称为齐次线性方程组.显然，是方程组（3）的解，