（大学课件）概率统计：概率的定义

§1.2概率的定义1.2.1频率1.2.3概率的性质1.2.2概率的定义1.2.1频率

1.随机事件的发生可能性有大小之分

投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更容易出现。2.频率的定义定义如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即fn(A)＝

频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。

频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。

大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。3.频率具有稳定性

例1

抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。实验者NnHfn(H)蒲丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.50054.频率的性质(1)0≤fn

(A)≤1;(2)fn

(Ω)=1；(3)若A1，A2，…，An

是两两互不相容的事件，则1.1.2概率的统计定义

在相同条件下重复进行的n次试验中，事件A发生的频率稳定的在某一常数p附近摆动且随n越大摆动幅度越小，则称p为事件A的概率，记作P(A)．

1.概率的一般（公理化）定义

定义设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概率，若P(A)满足下列三个条件：

(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1；

(3)对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有

以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。性质1因为由可列可加性故性质2

若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则

由可列可加性有

2.概率的性质则P(B－A)=P(B)－P(A).

证明由于

B=A∪(B－A)且A(B－A)=Φ,

P(B)=P(A)+P(B－A),于是P(B－A)=P(B)－P(A).推论1Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).推论2

若A

B,则P(B)≥P(A).

性质3

设A，B是两事件，若A

B,AB性质4

对于任一事件A，有

因则有于是有

性质5

设任意两个事件A、B，则

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)

证明由右图可知

A＋B=A＋(B-AB)且由概率可加性及性质３得

P(A＋B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=Φ，AB

BＡＢ

推论1.P(A∪B)≤P(A)+P(B).

推论2.

设随机事件A1,A2,A3

,则Ａ1A2A3推论3设A1，A2，…，An是n个随机事件，则

例1

设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,P（A），P（B），P（）

解（1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以P（AB）=p+q-r．（2）因为A=A-AB且AB

A，故P（A

同理可求出P（

（3）因=，所以．§1.3古典概型

1.古典概型2.古典概型中事件概率的计算公式3.古典概型的概率计算步骤4.古典概型的概率计算举例

古典概型1.古典概型

若试验E具有以下两个特征：

(1)所有可能的试验结果(基本事件)为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)每个基本事件发生的可能性相同，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。２.古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为：

Ω={ω1，ω2，…，ωn}A={ωi1，ωi2，…，ωik}则随机事件A的概率为：

古典概型3.古典概型的概率计算步骤(1)计算样本空间中基本事件(样本点)总数n；(2)指出事件A；(3)计算事件A中基本事件(样本点)总数k；(4)计算事件A的概率P(A)。

古典概型

4.古典概型的概率计算举例

例1

设有编号为1,2,…,40的四十张考签，一学生任意抽一张进行考试，求“抽到前10号考签”这一事件的概率．

解记A＝｛抽到前10号考签｝．显然，学生抽到任一考签的可能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数n=40，A中所含的基本事件数k=10，故所求概率为

例2

设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率．（1）指定的n个房间各住1人；（2）恰好有n个房间，其中各住1人

解因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房间的方式共有Nn种，它们是等可能的．

（1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于是，所求概率为

（2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有种，对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式，所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为，故所求概率为这个例子常称为“分房问题”．

例3

一个袋中装有N个球，其中M个是黑球，其余是白球，从袋中任取n个球，求取到k（≤min(n,M)）个黑球的概率．

解从N个球中取n个，样本点数是，我们关心的只是黑球和白球的个数，不存在球的排列问题，故而用组合数，这样取样本点是能保证等可能的．设A表示取到k个黑球这一事件，注意到在取出k个黑球的同时也取出了n-k个白球，它们是分别从M个黑球与N-M个白球中取出的，因此，A中的基本事件数为，所以P(A)=

摸球模型是概率论与数理统计中常用的模型，许多实际问题都可用它来描述，例如，例3就可以把黑球解释为次品，白球为合格品，欲求的是“抽查n个产品，查到k个次品”的概率，经常使用摸球模型也正是由于这些原因．

例4

从数字1,2,，9中任取1个，重复取n次，求n次所取数字的乘积能被10整除的概率．

解乘积要能被10整除必须既取到数字5，又取到偶数．记A={取到数字5}，B={取到偶数}，欲求概率P(AB)．不难看出，取不到5的概率P()，取不到偶数的概率P()，以及5和偶数都取不到的概率P()是容易求得的：因此

例5

从一副扑克牌（52张，不含大小鬼）中任选13张，试求下列事件的概率．

A={恰有2张红桃，3张方块}；B={至少有2张红桃}；解

为计算P（B），我们记Bk=“恰有k张红桃”，k=0,1,2,…,13,则B=，且，于是若利用，及，即得

例6

袋中有9只黑球，1只白球，它们除颜色不同外，其它方面没有差别，现随机地将球一只只摸出来，求Ak={第k次摸出白球}的概率（k=1,2,…,10）．

解将10个球逐个摸出，若这10个球被摸出的先后次序不同，则认为结果不同，其结果总数为10！，且每个结果等可能出现．而要使Ak发生，必须将白球留在第k次摸出，其余9次则只能去摸9个黑球，因此，Ak的有利场合数为9！，所以，k=1,2,…,10．

这就从理论上证明了抽签（抓阄）的合理性，其结果与我们的生活经验一致．一般地，如果个阄中有个是有物之阄，由个人去抓，则每个人抓到有物之阄的概率都是

古典概率的计算，实质上就是组合计算．但在分析问题时怎样去选定一个适当的实现随机化的机制，怎样去正确计算公式(1.6)中的n和k，以保证既不重算也不漏算，则需要细心．尤其是：

(1)你所设想的机制是否真的实现了等可能性？

(2)你在计算n和k时是否采用了相同的尺度，会不会因其中一个使用了排列的观点，另一个使用了组合的观点而导致计算错误？

例7

n本书随机分给甲、乙二人，问事件A=“甲、乙各至少得到1本书”的概率是多少？n本书随机地分给2人,甲得到的本数无非是0,1,…,n，一共有n+1种可能性，其中0和n两种是“全归一人”，剩下n-1种有利于A，故

这个解法是否对？不对．问题在于这n+1种结果不具有等可能性．凭常识可以推想，若n较大，则甲得本左右的机会，应比他全得或全不得的机会大一些．正确的解法如下：n本书分给2人，每本书有2种分发，由乘法原理不同的分发有种．其中只有2种是使事件A不发生的，故

例1

将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解基本事件为：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而样本空间Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的基本事件总数为4。

设A={有一次正面向上}，则A={{正,正},{正,反},{反,正}}，显然A包含的基本事件总数为3。所以，P(A)=3/4=0.75。例题选讲

例2

口袋中有100只球，编号依次为1,2,3,…,100，现从中任取一球，问取得的球编号不超过20的概率？解基本事件为：{1号球},{2号球},…,{100号球}，因而样本空间Ω={{1号球},{2号球},…,{100号球}}，所以Ω的基本事件总数为100。设A={取得的球编号不超过20}，则A={{1号球},{2号球},…,{20号球}}，显然A包含的基本事件总数为20。所以，P(A)=20/100=0.2。

问题：在本例中，取得的球编号为5的倍数的概率是多少？

例310件产品中有3件次品，现从中任取5件。问5件中恰有2件次品的概率？解10件产品中任意5件的一个组合，是一个基本事件，即是一个可能的基本结果(说明这一点很重要！)。因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为

设A={5件中恰有2件次品}，则A包含的基本事件总数为

从而，P(A)=

例4一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率？解5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为5！。

设A={第1卷放在最左边},B={从左到右正好按卷号排成12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。

小结计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列有时用组合，那么，何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序”时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算，都要用排列，反之亦然。

例5口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只。现从中任取1只(取后不放回)，然后再任取1只，求(1)取到2只白球的概率?(2)取到两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率?

解6只球中的任意2只球的一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数为P62。

设A={取到2只白球},B={取到2只黑球},C={取到两个颜色相同的球},D={至少取到1只白球},则A包含的基本事件总数为P42，B包含的基本事件总数为P22.