《实验探究：三角形中边与角之间的不等关系》教学设计5

学科数学教师年级八年级课题实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系教学目标知识与技能：知道验.教学重点三角形中边与角的不等关系的探究与证明教学难点如何添加辅助线证明“大边对大角”教具准备三角形纸片、剪刀、三角板、彩笔、磁石、几何画板课件等教学流程师生活动设计意图一、回顾思考1.等腰三角形有哪些性质？2.我们主要是通过什么方法，发现了等腰三角形的性质？又是通过什么方法进行证明的？二、提出问题1.当三角形的三条边都不相等时，还有“三线合一”的性质吗？2.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么，它们所对的角相等吗？3.如果不相等，是较大边所对的角大，还是较小边所对的角大？三、探究新知（一）观察图形，提出猜想在△ABC中，当改变边AB和AC的长短时，它们所对的角∠C、∠B的大小也改变。当AB＞AC时，通过肉眼观察，可以得到∠C＞∠B。猜想：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大边所对的角也较大.（二）实验探究，验证猜想1.学生利用事先制作好的不等边三角形通过折纸验证猜想。(为了教学方便，统一制作△ABC，规定AB＞AC)2.学生走上讲台，展示验证猜想的探究过程；3.几何画板动态演示各种折纸方法；4.师生归纳猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成：大边对大角）.推理探究，证明猜想1.根据文字命题画出图形，写出已知、求证；已知：如图，在△ABC中，AB>AC.求证：∠C>∠B.根据上面的实验操作过程得到的启示，写出证明过程。3.反思总结各种证明方法。归纳结论：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么，它们所对的角也不相等，较大边所对的角也较大.（简单说成，大边对大角）四、学以致用1.在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？2.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？3.在四边形ABCD中，AB＜BC，CD＞AD,求证：∠BAD＞∠BCD.总结提升1.探究了三角形中边角不等关系——大边对大角；2.了解研究几何问题的常用方法——“观察→猜想→实验→推理”；3.解决问题的核心思想——转化思想。布置作业A类：选两种你喜欢的方法证明“大边对大角”.B类：类比探究“大边对大角”的活动过程，探究“大角对大边”.1.教师提出问题，学生思考并回答；2.教师利用几何画板动画演示折纸过程，回顾证明方法。教师改变三角形的状，并提出问题；2.学生结合图形思考并回答。教师利用几何画板动画演示图形；2.学生观察图形变化，提出猜想；3.教师板书猜想.1.学生进行分组实验探究，教师巡视指导；叠合法：沿垂直平分线折叠：如图1，将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，发现∠C>∠B。图1‚沿角平分线折叠：如图2，将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上（或者使点B落在AC边上的延长线上，如图3），发现∠C>∠B。图2图3ƒ沿高翻折：如图4，作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折，如图5），发现∠C>∠B。图4图5教师引导学生结合图形写出已知、求证；学生尝试进行推理论证。证法一：如图1，作BC的垂直平分线MN，交AB于M，交BC于N，连接MC，则MB=MC上，∴∠B=∠MCB,∵∠ACB>∠MCB,∴∠ACB>∠B。证法二：如图2，作∠BAC的平分线AD，在AB取点E，使AE=AC，连接ED.则∠BAD=∠CAD,又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠AED=∠C，∵∠AED是△BDE的外角,∴∠AED>∠B，∴∠C>∠B。证法三：如图3，作∠BAC的平分线AD，在AC的延长线上取点E，使AE=AC，连接ED.则∠BAD=∠CAD,又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠B=∠E，∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB>∠E，∴∠ACB>∠B证法四：如图4，作AD⊥BC于D，在BD上取点E，使DE=DC，连接AE,则∠ADE=∠ADC=900,又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠AED=∠C，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED>∠B，∴∠C>∠B。证法五：如图5，作AD⊥BC于D，在BD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE,则∠ADE=∠ADB=900,又∵AD=AD，∴△AED≌△ADB，∴∠E=∠B，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠ACB>∠E，∴∠ACB>∠B。证法六：如图6，在AB取点E，使AE=AC，连接EC，则∠AEC=∠ACE，∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC>∠B，∴∠ACB>∠B。图6证法七：如图7，在AB的延长线上取点E，使AE=AB，连接BE，则∠ABC=∠E，∵∠ACB是△BCE的外角，∴∠ACB>∠E，∴∠ACB>∠B。图73.教师小结各种方法，强化“转化”思想的运用。1.师生共同总结；2.强化符号语言：在△ABC中，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B.1.学生利用性质解决问题1,2；2.教师引导学生分析问题3，通过添加辅助线，将四边形中的边角不等关系，转化为三角形中的不等关系。证明：连接AC，在△ABC中，∵AB＜BC，∴∠BAC＞∠BCA在△ADC中，∵CD＞AD,∴∠CAD＞∠ACD∴∠BAC+∠CAD＞∠BCA+∠ACD即，∠BAD＞∠BCD.学生谈对“大边对大角”的探索过程中的收获；2.教师结合学生的回答进行总结提升，强调利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为外角的问题，这种转化的思想是研究几何问题时常用的方法.教师分层布置作业、学生记作业。回顾所学知识及探究方法，为新知的实验与探究做好铺垫。类比等腰三角形的性质，提出问题，引出本节课的探究主题。通过观察图形发现：在一个三角形中角之间的不等关系.     通过积极参与动手实验操作活动，让学生体验研究几何问题的“”观察—猜想—验证—推理的一般过程，培养学生的动手操作能力、创新能力与合作探究能力；通过不同的折纸方法，为后面证明时添加辅助线作好铺垫.让学生根据折纸活动获得的启示，运用不同的方法证明进行推理论证。通过讲解，提高学生语言表达能力，会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换.让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡.规范书写几何推理的过程，注意辅助线的说明和折纸方法对应结合，提高思维的深刻性和广阔性.培养学生总结归纳的能力，和评价反思的意识. 归纳总结，强化性质及文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。运用“大边对大角”解决简单的边角不等问题，巩固所学，渗透转化思想。梳理知识、强调转化思想、构建知识体系。分层布置作业，巩固方法、提升能力。板书设计实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系