（信号与系统课程）第五章 连续系统的复频域分析：第1讲

第五章第1讲1第五章连续系统的复频域分析拉普拉斯变换拉普拉斯反变换微分方程的变换解网络的S域模型及分析任意信号输入的响应第五章第1讲2傅里叶变换的问题傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严，是充分条件。不少函数不能直接按定义求，如增长的指数函数

eata>0，傅里叶变换就不存在。

不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。第五章第1讲3§1拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换用e-tf(t)来保证傅里叶积分收敛令s=+j称为复频率称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。称为拉普拉斯反变换，也称原函数。对于有始信号，称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f(t)

F(s)

记F(s)=[f(t)]记f(t)=-1[F(s)]第五章第1讲4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。第五章第1讲5拉氏变换与傅氏变换表示信号的差别第五章第1讲6几个基本函数的拉普拉斯变换指数函数f(t)=es0t(t)s0为复常数。即Re[s]＞Re[s0]令s0=

实数，则，Re[s]＞

令s0=j

虚数，则，Re[s]＞0单位阶跃函数

(t)令上例中s0=0。则Re[s]＞0单位冲激函数

(t)Re[s]＞-∞第五章第1讲7§2拉普拉斯变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域若存在常数

1，使Re[s]=

＞

1则t

时，f

(t)e-t0故，收敛域为Re[s]=

＞

1，若存在两个常数

1和

2，使得双边拉普拉斯变换的收敛域Re[s]＞

1Re[s]＜

2故，收敛域为

1＜Re[s]＜

2收敛域收敛域第五章第1讲8例1求f(t)=e-a

t(t)的拉普拉斯变换，其中：a

>0

解：为保证收敛，有a+

＞0，故收敛域为

＞－a收敛域第五章第1讲9例2求f(t)=-e-a

t(-t)的拉普拉斯变换，其中：a

>0

解：为保证收敛，有a+<0，故收敛域为<-a收敛域第五章第1讲10例3求f(t)=e-

t(t)+e-2t(t)的拉普拉斯变换。

解：第一项的收敛域Re[s]＞－1，第二项的收敛域Re[s]＞－2，为保证收敛，取公共收敛域，其收敛域为Re[s]＞－1。收敛域第五章第1讲11说明几点f

(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的有始信号，只要

取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见例１和例２。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j

轴，那么傅里叶变换也不收敛。f

(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。第五章第1讲12收敛域的若干特性f

(t)是有限长的，则收敛域是整个S平面，Re[s]＞－∞。f

(t)乘指数增长或指数衰减信号，因为时间有限，总是绝对可积的。故在整个Ｓ平面内，f

(t)e-

t绝对可积。f

(t)为右边信号，则收敛域是Re[s]＞

0，

0＞0若f

(t)e-

0t绝对可积，则

1＞

0；f

(t)e-

1t也绝对可积。因为当t-

时，e-

t增长。但当t<T1

时，f

(t)=0。故在Re[s]＞

0的区域内，f

(t)e-

t绝对可积。收敛域第五章第1讲13收敛域的若干特性f

(t)为左边信号，则收敛域是

Re[s]＜

0，

0＜0。f

(t)为双边信号，则收敛域是S平面的一条带状区域。证明同上。若f

(t)e-

0t绝对可积，则

1<

0；f

(t)e-

1t也绝对可积。因为当t

时，e-

t增长。但当t>T2时，f

(t)=0。故在Re[s]<

0的区域内，f

(t)e-

t绝对可积。收敛域第五章第1讲14§3拉普拉斯变换的性质返回第五章第1讲15举例例1余弦函数

f

(t)=cost·(t)应用线性性质:例2正弦函数

f

(t)=sint·(t)应用线性性质:例3单位斜坡函数

f

(t)=t(t)，因为：应用频域微分性质查看性质第五章第1讲16举例例4指数余弦函数

f

(t)=etcost·(t)应用频移性质:例5门函数（矩形波）

f

(t)=A[(t)-(t-T)]查看性质第五章第1讲17举例例6任意周期函数

若f1(t)

F1(s),应用时移性质:设

f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：返回第五章第1讲18举例例7周期矩形波

f1(t)=

(t)-(t-1)，T=3例8冲激串

f

1(t)=(t)查看性质第五章第1讲19举例例9锯齿波

查看性质方法一：用频域微分性质：方法二：用时域微分性质：第五章第1讲20举例例10

查看性质方法二：方法一：因为用频域微分性质：应用频移性质：应用时移性质：应用频域微分性质：第五章第1讲21举例例10

查看性质方法三：应用频移性质：应用时移性质：第五章第1讲22举