福建省山海联盟校教学协作体2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建省山海联盟校教学协作体2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．集合，则（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则（

）A． B． C． D．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为A． B．C． D．4．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（

）A． B．C． D．5．已知向量，满足，，，则（

）A．2 B．1 C．－1 D．－26．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．7．设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（

）A．、 B．、 C．、、 D．、、评卷人得分二、多选题9．已知两个复数满足，且，则下面说法正确的是（

）A． B．C． D．10．若，则（

）A． B． C． D．11．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（

）A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥C．事件A，B可能互相独立 D．事件A，B可能不互相独立12．如图，设E，F分别是长方体的棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足，有下列结论：（

）A．⊥平面；B．三棱锥体积为定值；C．平面；D．平面⊥平面．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．______________14．若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）15．在锐角△ABC中，，，则△ABC的面积的取值范围为___；评卷人得分四、双空题16．设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．评卷人得分五、解答题17．已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)设函数，求的值域.18．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．（1）求森林面积的年增长率；（2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年）（参考数据：，）19．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在的平面上的一点P，满足（m为常数）．(1)如图，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；(2)若，线段AB与OP交于点D，试求当△OPB为直角三角形时，的值．20．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.21．在长方体中，，BC＝10，AB＝8，点E，F分别在，上．，过E，F的平面与此长方体相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；(2)求直线BF与平面所成角的正弦值．22．已知函数．(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)当时，求证：方程在上至多有一个零点．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.2．C【解析】【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可.【详解】设点，因为，所以.故选：C.3．D【解析】【分析】算出高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例即可.【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，所以高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例分别为，，所以从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为故选：D【点睛】本题考查的是分层抽样，较简单.4．D【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.【详解】由为奇函数且在上递增，A、B：、非奇非偶函数，排除；C：为奇函数，但在上不单调，排除；D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.故选：D5．B【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知即可求.【详解】由，可得.故选：B6．C【解析】【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.7．A【解析】【分析】由是上的增函数得，即无零点，满足充分性；反之若对任意，，满足无零点，但不满足是上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若是上的增函数，则对任意，显然，故，即无零点，满足充分性；反之，若对任意，，即，满足无零点，但是上的减函数，不满足必要性，故“是上的增函数”是“任意，无零点”的充分而不必要条件.故选：A.8．D【解析】【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，所以，，由题意可得，所以，，即，所以，，则，则，令可得，所以，，令，则，由可得，因为，则，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片.故选：D.9．ABD【解析】【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的概念求出，进而结合复数的几何意义和共轭复数的概念依次判断选项即可.【详解】由题意知，设为实数)，则，即，所以，解得，所以，故A正确；，，所以，故B正确；，所以，故C错误；，所以，故D正确.故选：ABD10．AD【解析】【分析】应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.【详解】A：由重要不等式知：，而，故，正确；B：由，则，故，错误；C：由，则，错误；D：，故，正确.故选：AD11．ACD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可.【详解】若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD正确.故选：ACD.12．BD【解析】【分析】A根据点线、线面及点面关系判断；B由，结合已知判断是否为定值；C由，结合与面位置关系判断；D利用长方体性质及面面垂直的判定判断.【详解】A：在直线上，而面，即面，又面，故平面，错误；B：由，而长度为定值，故△面积为定值，又到△所在面距离为定值，故三棱锥体积为定值，正确；C：由，而面，故与平面不平行，错误；D：由直线即为直线，由长方体性质有面，而面，故平面⊥平面，正确.故选：BD13．【解析】【详解】分析：因为为锐角，所以为正值，然后将原式两边同时平方，最后开根号即可.详解：由题可得：因为为锐角，所以为正值，所以故答案为点睛：考查三角函数的二倍角公式和简单计算，属于基础题.14．【解析】【分析】由题意猜想，验证满足条件.【详解】若，满足.若，满足.故答案为：，答案不唯一.15．【解析】【分析】由正弦定理有，根据已知有且，进而可得，即可求，最后利用三角形面积公式求面积的范围.【详解】由，故，而，所以，又△ABC为锐角三角形且，则，所以，故.故答案为：16．

0（答案不唯一）

1【解析】【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），117．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦的和差公式，二倍角公式化简，再用求解最小正周期；（2）化简，化为关于的二次函数，再利用三角函数的有界性求值域.(1)∴∴函数的最小正周期为(2)由第一问可知，设，则∴当时，取得最小值，；当时，取得最大值，，所以的值域为.18．（1）；（2）至少需要植树造林年．【解析】【分析】（1）本题可设年增长率为，根据题意得出，通过计算即可得出结果；（2）本题可设至少需要植树年，然后列出方程，通过计算即可得出结果.【详解】（1）设年增长率为，则，，，.（2）设至少需要植树年，则，，即，，，故至少需要植树造林年.19．(1)；(2)或0.【解析】【分析】（1）利用平行四边形得到，结合已知即可求m的值；（2）讨论、、，结合已知条件判断是否满足题设，并根据向量数量积、数乘的几何意义判断相关线段的位置及数量关系，求出对应m值及夹角余弦值，利用三角形相似求，进而求.(1)若四边形OABP为平行四边形，则，又，所以.(2)若，如下图示：，故，所以，即，而，显然不满足；若，如下图示：，故，即，而，所以，则，由，则，即，所以，若于，由图及知：，所以，，故，综上，.又，即，即，故.若，如下图示：，故，即，所以，即，此时.综上，或0.20．(1)岁；(2)；(3)．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．(1)平均年龄

（岁）．(2)设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．(3)设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．21．(1)作图见解析；(2).【解析】【分析】（1）由长方体的棱长及正方形的性质确定与平行边的位置，即可得截面正方形.（2）由已知求得，根据面面垂直的判定可得面，由点面关系求到的距离，进而由线面角的定义求其正弦值.(1)要使交线围成一个正方形，即各边边长均为，所以，只需，而，，所以即可，如下图示：.(2)如下图示：，由题意，面，而，故面，又，面，故到的距离，即为到的距离，若，易得，故