广东省深圳市红岭中学初中部2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

红岭中学初中部2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．已知，则的值是（）A． B． C．3 D．2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A． B．x2+2x+y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣x+1＝03．元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（）A．8 B．9 C．10 D．124．九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（）A． B． C． D．5．若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠06．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝577．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．10 B．8 C．6 D．48．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形9．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝10．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（）A． B． C． D．二．填空题（每题3分，共15分）11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b＝．12．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有枚白棋子．13．如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为．14．如图，∠ABC＝90°，四边形ACDE是正方形，若AB＝1，BC＝2，则△BCE的面积等于．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为三．解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）2x2﹣4x+1＝0．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．18．（8分）不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个．（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；（2）若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是，试求a的值．19．（8分）某服装厂生产一批服装，2021年该类服装的出厂价是200元/件，2022年，2023年连续两年改进技术，降低成本，2023年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2023年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？20．（7分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．（1）求证：四边形ABDE是矩形；（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止．（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD；（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设AE＝m，连接EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似．

红岭中学10月考数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A． B． C．3 D．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故选：D．2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A． B．x2+2x+y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣x+1＝0【解答】解：A．该方程是分式方程，故不符合题意；B．该方程是是二元二次方程，故不符合题意；C．该方程中当a≠0时才是一元二次方程，故不符合题意；D．是一元二次方程，故符合题意．故选：D．3．元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信，依题意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴这个微信群的人数为9人．故选：B．4．九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为A、B、C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，∴恰好抽到小华和小明的概率为＝，故选：C．5．若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0【解答】解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，根据题意可得：Δ＝1﹣4k×3≥0，解得k≤，k≠0，综上k≤，故选：B．6．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57【解答】解：∵x2+8x+7＝0，∴x2+8x＝﹣7，⇒x2+8x+16＝﹣7+16，∴（x+4）2＝9．∴故选：A．7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAG，∴∠BAG＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，由作图可知：AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∵AH＝AH，∴△BAH≌△FAH（SAS），∴BH＝FH＝3，∴BF⊥AE，由勾股定理得：AH＝＝4，∵AB＝BE，BH⊥AE，∴AH＝EH＝4，∴AE＝8，故选：B．8．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．因为∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形．故C选项正确．如果AD⊥BC且AB＝BC，不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．9．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．10．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，∵ED∥FC，∴＝＝，设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，∵AB＝AC，∴AE＝FC＝3x，∵DE∥AF，∴＝，即＝，整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，∴y＝6x，∴＝＝．故选：A．二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b＝2023．【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+1＝0，即a+b＝﹣1，则2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．故答案为：2023．12．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有20枚白棋子．【解答】解：∵共取了300次，其中有100次取到黑棋子，∴摸到黑色棋子的概率约为＝，∴摸到白色棋子的概率约为1﹣＝，∵共有10可黑色棋子，∴设有x个白色棋子，则，解得：x＝20，故答案为：20．13．如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为．【解答】解：连接AF交BE于H，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，∵BH∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴＝，∴＝，∴BH＝，∵HE∥AD，∴△FEH∽△FDA，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴BE＝BH+EH＝+＝，故答案为：．14．如图，∠ABC＝90°，四边形ACDE是正方形，若AB＝1，BC＝2，则△BCE的面积等于3．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，在正方形ACDE中，AC＝AE，∠CAE＝90°，∠EAF+∠BAC＝180°﹣∠CAE＝180°﹣90°＝90°∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EAF＝∠ACB在△ABC和△EFA中，，∴△ABC≌△EFA（AAS），∴EF＝AB＝1，AF＝BC＝2．∴BF＝AB+AF＝1+2＝3，∴S△BCE＝BC•BF＝×2×3＝3．故答案为：3．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．CH＝，∵EF+CE＝EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，故答案为：三．解答题（共7小题）16．解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）2x2﹣4x+1＝0．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，x﹣4＝0或x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）2x2﹣4x+1＝0，2x2﹣4x＝﹣1，x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝﹣+1，（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝，解得：x1＝，x2＝．17．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．【解答】解：（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）．（2）如图所示，△OA1B1与△O2A2B2是关于点M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．18．不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个．（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；（2）若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是，试求a的值．【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：共有6种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有2种结果，所以两次摸到都是红球的概率是＝；（2）根据题意得：＝，解得：a＝5，经检验a＝5是原方程的解，答：a的值是5．19．某服装厂生产一批服装，2021年该类服装的出厂价是200元/件，2022年，2023年连续两年改进技术，降低成本，2023年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2023年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？【解答】解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2﹣28m+195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．∵要减少库存，∴m＝15．答：单价应降低15元．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得，a+c﹣2b﹣a+c＝0，化简得c＝b，则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，化简可得b2+a2＝c2，则该三角形△ABC的形状为直角三角形．21．如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．（1）求证：四边形ABDE是矩形；（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，∴AO＝DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAO＝∠EDO，又∵∠AOB＝∠DOE，∴△AOB≌△DOE（ASA），∴AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BDC＝90°，∴∠BDE＝90°，∴平行四边形ABDE是矩形；（2）解：如图，过点O作OF⊥D