对两个重要极限的重要性的认识

对两个重要极限的重要性的认识摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和认识，总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。关键词：重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和lim(1+—)xlim(1+—)x=exs x时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地 lim==1XT0x位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化，应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础，其重要性就不难理解了。试想，若没有它们，那么只要遇见微积分相关的计算题，必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中，起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。2.1第一个重要极限：lim岂=1XT0X证明：作单位圆，如图1：

设X为圆心角ZAOB,设X为圆心角ZAOB,. 1 1艮即一sinx<x<tanx2 2图1并设0<x<1见图不难发现：s<S<S,2 AAOB 扇形AOB AAOD，艮口sinx<x<tanx,x1

<x1

<

sinxcosxTOC\o"1-5"\h\zncosx< <1x（因为0<x<|，所以上不等式不改变方向）当x改变符号时，cosx,二及1的值均不变，故对满足0<|x|<-的一切x，sinx 2sinx有cosx< <1。x又因为cosx-1-(1-cosx)=1-2sin2所以1一兰<cos所以1一兰<cosx<12nlimcosx—1xT0而limcosx-lim1-1x—0 x—0nlimsinx-1，证毕。x—0x2.2第二个重要极限：lim(1+!)x=exsx先考虑x取正整数时的情形：lim(1+L)nn—3 nbn+1一an+1 _对于b>a>0，有不等式： <(n+1)bn，b一a艮即bn+1-an+1<(n+1)bn(b-a)，艮即an+1>bn[(n+1)a-nb](i)现令a-1+上,b-1+1，显然b>a>0，因为n+1n

11(n+1)a11(n+1)a—nb=n+1+1—(n+1)=1将其代入，所以(1+ )n+1>(1+—)n，sinx n+1 nlimX—0. 1lim(1+—)x=eXs X所以g(1+-1)n｝为单调数列，记作｛X｝。n(12nii令a=111n(n+1)a一nb-n+1-(n+)=2 211 1 1所以1>(1+—)n•n2>(1+——)n n4>(1+——)2n，2n 2 2n 2n即对Vn, X<4,又对V (1+^^)2n+1<(1+^^)2n+2<42n 2n+1 2n+2所以｛(1+^)n｝是有界的。n1由单调有界定理知lim(1+―)n存在，并使用e来表示X—3n1即lim(1+)n=e=2.718281828459045……nX—S3.两个重要极限在微分学中的重要性在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：幕函数y=xa(aeR),指数函数y=ax(a>0,a丰1)，对数函数y=logx(a>0,a。1)，三角函数y=sinx,y=cosx，y=tanx,y=cotx,反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx。由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数/(X)在点X处的导数f'(X)，就是计算极限 limf(x+Ax)-f(x)Ax—0 Ax (3.1)当这一极限存在时，其值就是f'(x)。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幕函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函

数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要sinx利用到 lim—=1这个重要极限。对于第三类函数的求导，需要利用到x—0Xlim(1+-)x=e这个极限。x—3X卜面来看一看基本求导公式是如何得来的。3.1重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sinx的求导公式的推导为例.由导数的定义TOC\o"1-5"\h\zAx .Ax2cos(x+ )—sin-Ax(sinx)'=limsm(x+Ax)—sin(x)=临—-__AxAx—0Ax—Ax—0.Ax心sin—=limcoxs+ ="os=1xcosAx—0 2A2. sin竺. .其中应用了第一个重要极限lim^=1,即lim=lim也=1(令t=A)。x—0x Ax—0 t—0t 2T求得(sinx)’=cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利用多个求导法则得到了。3.2重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数log/的求导公式的推导过程。由导数定义log(x+Ax)—logx Ax1 Ax、x1Ax(logx)=lim——a l=limlog(1+——)Ax=limlog[(1+——)Ax]Ax=loge=1

xlnaTOC\o"1-5"\h\za Ax—0 Ax Ax—0 ax A=loge=1

xlna1 Axx^_=limlog(1+ )AxAx—0x axAx-xAx-x 1艮口limlog(1+——)Ax=lim(1+—)u=eAx—0 ax u—3 "其中应用了第二个重要极限lim(1+—)x=ex—3 x(令x/Ax=u)。求得了(logax)'以后，指数函数和幕函数的求导公式就容易得出了。可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所

有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。4.两个重要极限在计算中的应用4.1两个重要极限在一元极限中的应用第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极限便0 0得0这一不定的结果，因此称这一类型的极限为0型未定式。类似地，第二个重要极限是属于1"型未定式。综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的0型未定式和1"型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。解：lim2sin2sin2解：lim2sin2sin2—=lim2=lim1-sinsin52(一)2例2 求"X一sinXsinX解:limtanX-sinXcosXsinX解:limtanX-sinXcosX一lims一sinX=limX3XT0=limsinX. 1一cosXsinx cosXX3•lim—lim1一^X顼cosXX顼 X2例3求lim(1--)X-TOC\o"1-5"\h\zXf" X.一. 2解：令一；=t，贝UX=—2.X t当X一"时tf0，于是 lim(1-2)X=lim(1+1)-2=[lim(1+1)；]-2=e2.Xf" X tf0 tf0例4求lim(3—*)x.XF2—x解：令3—x=1+u，贝Ux=2-1.TOC\o"1-5"\h\z2—x u当X—8时UT0,T曰 3—X 1 1于是lim )x=lim(1+u)2—u=lim[(1+u)-u-(1+u)2]XTS2―X u^0 u^0=[lim(1+u)，—1.[lim(1+u)2]=e-1.uT0 ut0例5求lim(1+tanx)cotx.xT01解：设t=tanx，则一=cotx.t当xt0时tT0,1于是lim(1+taxi)cx=lim(1+t)t—e.xT0 tT04.2两个重要极限在二元函数极限中的应用4.2.1重要极限lim也=1的应用xt0X极限limSinU(X,J)=1是一元函数第一个重要极限的推广，其中，u(x,y)T0u(x,y)(x,y)T(X0,*)时，u(x,y)—0，把u(x,y)看作新变量t，考虑极限过程t-T0o「 sin(x3+y3)lim 例1求极限(x,y)T(0,0)x2+y2sin(x3+y3) sin(x3+y3)x3+y3lim =lim 解：(x,y)T(0,0) x2+y2 (x,y)T(0,0) x3+y3 x2+y2=lim"3+y3).lim xi±^=1.0=0(x3+y3)项 x3+y3 (x,y)T(0,0)x2+y2极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。我们设f(x,y)=sin(*+y)，定义域是D={(x,y)(x,y)。(0,0)}。x2+y2再设f(x,y)=Sin(x3+y3)匚31 x3+y3 x2+y2

定义域D1=I,j)(x,j)。(0,0)且"J显然有D1eD。可以看到，从函数f(x,y)到f1(x,j)定义域变小了，但f(x,y),f1(x,j)分别在各自的定义域D与D内，当(x,y)r(0,0)时，可以证明极限都是存在的，证明如1下：(1)以下是对f(x,y)=sm(x3+y3)在定义域D={(x,y)|(x,y)。(0,0)}内极限x2+y2sin(x3+y3)

x2sin(x3+y3)

x2+y2<|x|+|y|—0<|x|^」+y—x2+<|x|+|y|—0「 sin(x3+y3)lim所以由夹逼准则得(x,y)T(0,0) x2+y2 =0(2)对f(x,y)=s'n(x3+y3)±1^在定义域D=1,y)(x,y)丰(0,0)且y丰x}1 x3+y3 x2+y2 1内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，并且其值易算得为0.既然f(x,y)=sm(x3+y3)在定义域D={(x,y)(x,y)。(0,0)}内极限存在，那么极限x2+y2必唯一。我们可以在D内任找(x,y)—(0,0)的方式来计算出极限值。由D与D1的关系(D1eD)，知道在D]D=D1中两函数相等，所以在求极限找(x,y)—(0,0)的方式时，我们可以在D(D1uD)中找，显然，两函数的极限是相等的。sin(x3+y3) „f(x,y)sin(x3+y3) „f(x,y)=^7^黄1f(x,y)= ，1 x3+y3 x2+y2sin(xsin(x3+y3)lim一但是，(x,y)—(0,0) x2+y2sin(x3+y3)x3+y3=lim —(x,y)—(0,0) x3+y3 x2+y2=lim f1(x，y)是成立的。(x,y)—(0,0)1所以在(x,y)—(0,0)时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。sinxy lim 例2求极限(x,y)—(0,0) y

sinxy sinxysinxy解：lim=limx=limlim x=1•0=0。(x,y)T(0,0)y (x,y)T(0,0)xy xyT0xy(x,y)T(0,0)在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到sin以X,y)~以X,y用-COS以x,y)-2U2(x,y);lnh+u(x,y)]〜u(x,y);tanu(x,y)〜u(x,y);eu(x,y)一1〜u(x,y)二元函数中得到：(uG,y)t0)同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。例3求极限例3求极限lim (x,y)T(0+,0+)tan(x+y)解：lim心=lim工=0(x,y)T(0+,0+)tan(x+y) (x,y)t(0+，0+)x+y例4求极限lim1-COs(x2+y2)(x,y)T(0,0)(x2+y2)x2y21, TOC\o"1-5"\h\z1-cos(x2+y2) 2y1解：lim =lim二 =-(x,y)T(0,0)(x2+y2)x2y2 (x,y)T(0,0)(x2+y2)x2y2 214.2.2重要极限lim(1+一)x=exs x…一 1极限lim(1+ )u(x,y)=e是一元函数中第二个重要极限的推广。下面u(x,y)—3 u(x,y)举例说明它的应用。1x2例5求极限lim(1+-)x+y(x,y)—(3,1) xli