九年级数学培优讲义及测试

第一讲一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数称为一次函数，其函数图像是一条直线。假设时，则称函数为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。当时，函数是单调递增函数，即函数值随增大〔减小〕而增大〔减小〕；当，是递减函数，即函数值随增大〔减小〕而减小〔增大〕。函数称为反比例函数，其函数图像是双曲线。当且时，函数值随增大〔减小〕而减小〔增大〕；当且，函数值随增大〔减小〕而减小〔增大〕，也就是说：当时，反比例函数分别在第一或第三象限是单调递减函数；当时，函数分别在第二或第四象限是单调递增函数。假设当时，时，两面直线平行。当时，时，两面直线重合。当时，两直线相交。当时，两直线互相垂直。求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。例题精讲例1：在直角坐标平面上有点、、，求为何值时取最小值。解显然，当点在线段时，最短。设直线方程为，代入、得解得所以线段为代入，得例2：求证：一次函数的图像对一切有意义的恒过一定点，并求这个定点。解由一次函数得整理得。因为等式对一切有意义的成立，所以得解得当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点.例3：、、为常数，，并且求。解用代换原方程中的，得eq\o\ac(○,1)用代换原方程中的，得eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)得因为，所以，所以.例4:如图，设因为当时，为递增函数，在上的最小值为所以因此在上为递减函数；在上为递增函数，故的最大值为例5：画函数的图像。解，，，将整个数轴分为四段讨论〔见图〕并定义域为的一切实数。例6：一次函数图像交轴于A点，将此直线沿直线翻折交轴于B点，这两条直线相交于P点，且四边形OAPB的面积为3，求k的值。解设点P坐标为又与是翻折而成，所以面积是四边形OAPB的一半等于。设代入得点为由得即点因点在上，代入得A卷一、填空题1.设是反比例函数，则；其图像经过第象限时；当时，随增大而。2.两个一次函数的图像与轴所围成的三角形面积是。3.等腰三角形一个底角的度数记作，顶角的度数记作，将表示成的函数是，其中的取值围是。4.如果函数的图像与直线平行，则。5.四条直线、、、所围成的车边形的面积是12，则。6.一次函数的图像经过点且与轴交于点，与轴交于点。假设则线段的长为。7.一次函数中，假设的值每增加4，的值也相应增加8，则。8.如果把函数的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，则得到的是的图像。9.一次函数则的值为。10.假设直线不经过第二象限，则的取值围是。二、解答题11.求证：不管为何值，一次函数的图像恒过一定点。12.*商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的方法来增加利润．这种商品每提高价1元〔每件〕，日销售量就要减少10件，则他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？B卷一、填空题1.函数的最小值为。2.如图，正比例函数和的图像与反比例函数的图像分别交于点和点。假设直角三角形和直角三角形的面积分别为和，则与的大小关系是。3.点、是平面直角坐标系中的两定点，是图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形或画出个。4.直线经过象限。5.一个三角形以、及为三个顶点，一条与轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两局部，则此直线的解析式为。6.函数及则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为。7.双曲线与一次函数的图像有两个不同的交点，则的取值围是。8.反比例函数，当时随的增大而增大，则一次函数的图像经过象限。9.实数、满足则的取值围是。10.一次函数与的图像在第四象限交于一点，则整数。二、解答题11.设直线与直线相交于点A，它们与*轴的交点为，求中BC边上的中线所在的直线方程。12.函数，(1)求证：无论取何实数，此函数图像恒过*一定点；(2)当在变化时，在，数的值。13.假设对于满足的一切实数，函数的值恒大于0，数的取值围。14．A、B两厂生产*商品的产量分别为60吨与100吨，供给三个商店。甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？C卷一、填空题1．函数与的图像关于直线对称则，。2．三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图像如下图，分别为直线、、，则、、的大小关系是。3.函数当自变量的取值围为时，有既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数的取值围是。4．，则函数的最小值是。5．一次函数满足，则。6．并且则一次函数的图像一定通过象限。7.一次函数(为整数〕的图像经过点(98，19)，它与轴的交点为(p，0)，与y轴的交点为(0，q).假设P为质数，q为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是个。8.把函数的图像沿轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位，得到的图像。9.方程表示成两个一次函数是。10.一次函数的图像经过点(10，13〕，它在轴上的截距是一个质数，在y轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有个。二、解答题11.如图，设直线与坐标轴所构成的直角三角形的面积是，求12.在直角坐标系中有一个矩形，点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，直线经过点，且与轴交于点。假设，的面积是的5倍，求直线的解析式。13.在相距为L的两个车库里，分别有、辆汽车，拟在A、B两个车库之间设修理站以检修车辆。假设每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，修理站应设在何处？14.直线和点，在直线上求一点Q，使过PQ的直线与直线以及轴在第一象限围成的三角形的面积最小。第二讲一元二次方程的解法知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程例2：解方程例3：解关于的方程例4：首项系数不相等的两个关于的二次方程及〔是正整数〕有一个公共根，求的值。例5：假设二次方程有实根，其中、为奇数。证明：此方程的根是无理数。例6：解关于的方程：习题A卷一、填空题1.设方程，当时，是一元一次方程；当时，是一元二次方程。2.方程，用方法较简捷，其根是。3.用公式法解，其根是。4.将方程化成的形式，可得。5.假设是方程的一个根，则。6.假设方程有一个根为0，则。7.关于的方程，则。8.假设是方程的根，则。9.，则的值是。10.如果对于任意两个实数、，定义，解方程：，可得。二、解答题11.用公式法解12.假设方程与方程至少有一个一样的实数根，数的值。B卷一、填空题1.解方程，则。2.解方程，则。3.当时，方程有一个根是1。4.，则。5.、为方程的两个根，且，则，。6.假设是方程的一个根，其中、为有理数，则。7.假设1、是一元二次方程的两个根，则。8.假设是方程的一个根，则这个方程的另一个根是。9.二次方程有根0与1，则。10.关于的方程恰有一个实根，则应取值为。二、解答题11.方程的一个正根为，求+的值。12.假设，在一元二次方程的两个实数根中，求较大的实数根。13.证明：假设是方程的一个根，则也是它的一个根。C卷一、填空题1.是正整数，且表示两个相邻正整数之和，则的值有个。2.方程的实根个数是个。3.方程的解是。4.，则。5.关于的方程无实根，甲因看错了二次项系数解的根为2、4；乙因看错了*项的符号解的根为－1、4，则的值是。6.设则的结果是。7.方程，各根的和是。8.、是方程的两个实数根，则的值为。9.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三解形只有一个时，的围是。10.是正整数，方程，当时，两根为、；当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于。二、解答题11.假设三个整数、、使得方程的两个根为、，求的值。12.、、、是非零实数，、是方程的两根；、是方程的两根，求的值。13.，且求的值。14.是方程的根，求的值。第三讲一元二次方程根的判别式知识点、重点、难点例题精讲例1：如、为实数，证明：方程有两相异实数根。例2：如果*的一元二次方程有两个相等的实数根，证明：例3：设a、b、c为正数，证明：方程和，至少有一个方程有实根。例4：二次方程有两个异号的实数根和，且，试判断二次方程根的情况。例5：解方程组①②例6：如图，△ABC中，AB>AC，AD为角平分线，AD的垂直平分线交BC延长线于E，设CE=a，DE=b，BE=c.求证：二次方程有两个相等的实数根。习题A卷一、填空题1.方程的判别式是。2.关于的方程有两个实数根，则的取值围是。3.当不小于时，方程的根的情况是。4.方程一定实数根。5.，当，方程有两个不相等的实数根。6.方程有两个相等的实数根，则=。7.关于的方程没有实数根，则的最小值为。8.关于的方程有两个不相等的实数根且、、是的三条边，则是三角形。9.方程的根的判别式的值是4，则这个方程的根是。10.为实数且使关于的二次方程有实根，则该方程根所能取得的最小值是。二、解答题11.证明：当取任何值时，一元二次方程有两个不相等的实数根。12.、为整数，有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根，求、的值。B卷一、填空题1.方程有两个不相等的实数根，则可以是。2.如果关于的方程没有实数根，则关于的方程的实数根的个数为。3.是时，方程有两个不相等的实数根。4.是时，方程有两个相等的实数根。5.方程无实数根，则的取值围是。6.是有理数，当时，方程的根为有理数。7.关于的一元二次方程的两根相等，则、、的关系式是〔填“<〞“=〞或“>〞〕。8.方程有实数根，则方程的根为。9.对于方程，如果方程实根的个数恰为三个，则。10.关于的方程有两个实数根，且这两个根的平方和等于1，则的值为。二、解答题11.判别方程的实根个数，这里、是实数。12.假设正整数系数二次方程有两个不相等的有理根、，且；又方程与方程有一个公共根，试求的另一个根。C卷一、填空题1.方程的实数解是。2.实数、、满足，则的取值围是。3.设为整数，且，方程有有理根，则的值为。4.关于的方程有实数根，其中为实数，则的值为。5.、是实数，满足，则的最大值是。6.设且，则二次方程的实数根有个。7.对任何实数，二次方程都有两个不相等的实数根，则、、之间的关系是。8.恰好有一个实数满足方程，则的值为。9.关于的一元二次方程有实数根，则，。10.，则〔填“<〞“=〞或“>〞〕。二、解答题11.实数、、满足求证：、、都不大于12.当在什么围取值时，方程有且只有相异的两实数根？13.三个关于的方程和，假设其中至少有两个方程有实数根，数的围。14.设是实数，使得关于的方程有两个不同的实数根〔1〕证明：；〔2〕求的最小值。第四讲一元二次方程根与系数的关系〔韦达定理〕知识点、重点、难点例题精讲例1：二次方程的根是正整数，证明：是合数。例2：设关于的一元二次方程的一根为另一根的倍，试求系数间的关系。例3：方程的两根是〔1〕求的值；〔2〕求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于的倒数的立方。例4：二次方程的两根为；的两根为，证明：例5：均是实数，且证明：中必有一个数大于例6：为正质数，方程有整数根吗？习题A卷一、填空题1.如果方程的两个根是，则，。2.假设方程有两个正的实数根，则其中系数应满足的条件是。3.关于的一元二次方程的一个根是6，另一根是。4.方程的两根的绝对值相等，则这个方程的根是。5.是关于的方程的两个根，且，则的值是。6.关于的方程的两实数根之积是两实数根之和的2倍，。7.是关于的二次方程的两个根，则的值是。8.设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则。9.方程的一个根是另一个根的4倍，则所满足的关系式是。10.设方程的两根差为1，则的值为。二、解答题11.：关于的方程的两个实数根满足，求的值。12.设是方程的两个根，利用韦达定理求以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕B卷一、填空题1.是方程的两个根，则，。2.是方程的两个不相等的实数根，且有，则的取值围是。3.设方程的两根为，则代数式的值是。4.方程的根是正整数，则是数。5.，则。6.关于的方程有两个正根，则的取值围是。7.方程有两个实数根，且每根都大于5，则的取值围是。8.方程的两根分别比方程的两根多2，则为，=。9.假设方程的两个实数根互为相反数，则。10.是正整数，关于的方程有两个小于1的正根，则的值是，的值是。二、解答题11.当为何值时，方程的两根满足：〔1〕都为正根；〔2〕两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值；〔3〕两根都大于－1；〔4〕两根中一个大于－1，另一个小于－1。12.实数满足，比拟的大小关系。C卷一、填空题1.方程的两根为，则方程的两个根的平方和为。2.如果是方程的两实数根，则的最小值是。3.方程的两根之差为8，两根的算术平均数是5，则方程的根是。4.为方程的两个不相等的实数根，且是负整数，则的值是。5.方程的两根之和为，两根平方和为，两根立方和为，则。6.方程的根是方程的根，则为，为。7.实系数方程有两实根，设，且，则的取值围是。8.且，则。9.关于的整系数一元二次方程，两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，则。10.设是实数且，则的围是。二、解答题11.关于的一元二次方程一个根为另一根的平方，求证：12.方程的两个实数根的倒数之和为，求的取值围。13.实数满足求证：中有且只有一个不小于14.方程的两根之比为3：4判别式为，解此方程。第五讲一元二次方程的整数根知识点、重点、难点例题精讲例1：当整数为值时，关于的一元二次方程的两个根均为整数。例2：关于的方程的根是整数，数的值。例3：关于的一元二次方程有两个整数根，且，求整数的值，并求此两个整数根。例4：求出所有这样的正整数，使得关于的一元二次方程至少有一个整数根。例5：证明：不管取什么整数，二次方程没有整数根。例6：整数是*直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程求的值及此直角三角形的三边长。习题A卷1.〔填：“有〞或“没有〞〕有理根。2.关于的方程至少有一个整数根，则整数可取值的个数是个。3.为正整数，方程有一个整数根，则。4.满足的整数对共有对。5.关于的方程有两个整数根，则整数的值是。6.关于的方程有两个整数根，则实数的值是。7.假设关于的一元二次方程有两个正整数根，则的值是，方程的解是。8.设为质数，且方程两个根都是整数，则的值为。9.方程的正整数解的组数是。10.求使关于的二次方程的两根都是整数的所有正数的和是。二、解答题11.方程有两个整数根，求证：〔1〕两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；〔2〕是负的偶数。12.假设关于的二次方程有实根，且都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。B卷一、填空题1.关于的方程至少有一个整数根，则整数的值为。2.要使方程的根都是整数，的值应等于。3.关于的方程有两个不相等的整数根，则整数的值为。4.关于的方程至少有一个正整数根，正整数的值为。5.假设都是正整数，方程的两根都为质数，则。6.设为正整数，且，假设方程的两根均为整数，则。7.关于的方程①与②假设方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则。8.是正整数，且满足，则的最大值是。9.如设，其中为正整数，在0、1之间，则的值是。10.关于的一元二次方程与方程的根都是整数，则的值为。二、解答题11.为整数，求证：关于的方程无整数根。12.关于的方程的两个根都是正整数，求证：是合数。13.一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，，试求的值及此直角三角形的三边长。14.是否存在这样的二位质数，它的十位数码为，个位数码为，而、使方程有整数根？假设不存在，给出证明；假设存在，请求出所有这样的质数。C卷一、填空题1.关于的方程的两根都是整数，则实数可以等于。2.关于的方程对于任意有理数，均有有理根，则实数的值为。3.关于的方程至少有一个整数根，则整数可以是。4.假设为整数，且关于的二次方程有两个整数根，则的值为。5.设为整数，且方程的两个不同的正整数根都小于1，则的最小值为。6.当有理数为时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积。7.一元二次方程有两个正整数根，且为整数，则的值为。8.为正整数，关于的一元二次方程的两根为质数，则此方程的根为。9.假设都是整数，则方程〔填“有〞或“没有〞〕整数根。10.如图，正方形接于，设〔是一个两位数〕，三角形高是从小到大的四个连续正整数，则此的面积为。二、解答题11.是否存在这样的质数，使方程有有理根？假设不存在，给出证明；假设存在，请求出所有这样的的值。12.关于的二次方程的两根都是整数，数的值。13.求所有的正整数，使得关于的方程的所有根均为正整数。14.关于的方程有两个正整数根〔是整数〕，的三边满足求：〔1〕的值；〔2〕的面积。第六讲可化为一元二次方程的分式方程和根式方程知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程例2：解方程例3：解方程例4：解方程例5：解方程例6：解方程A卷1.如果则。2.方程的解是。3.方程的解是。4.方程的解是。5.方程的解是。6.方程的解是。7.方程的解是。8.方程的解是。9.方程的解是。10.如果关于的方程的解是正数，则的取值围是。二、解答题11.解方程12.解方程B卷一、填空题1.方程的解是。2.方程的解是。3.方程的解是。4.方程的解是。5.方程的解是。6.方程的所有解的乘积等于。7.方程的一个根是5，则另一个根是。8.方程的解是。9.方程的解是。10.方程只有一个根，则的值为。二、解答题11.解方程12.解方程C卷一、填空题1.方程的所有根之积是。2.方程的解是。3.假设是实数，则方程的解为。4.假设方程有两个不等的实数根，则实数的取值围是。5.方程的解是。6.方程的解是。7.关于的方程有一个增根，则该方程的根，。8.方程的解是。9.设实数满足，则，，。10.方程的解是。二、解答题11.解方程12.解方程13.假设代数式的值是1，求的值。14.假设关于的方程只有一个实数根，求的值和相对应的原方程的根。第七讲可化为一元二次方程的方程组知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程组例2：解方程组①②例3：解方程组①②例4：解方程组例5：解方程组①②③例6：解方程组习题A卷一、填空题1.方程组的解得则与的关系是。，2.方程组的解是的解是。，3.方程组的解是。，4.方程组的解是，。，5.方程组的解是。，6.方程组的解是。7．*人用一架不等臂天平称一块铁块的质量，当把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为0.4千克；当把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为0.9千克，则这一铁块的实际质量是千克。8．假设方程组的解是正数，则正整数。，9.方程组的解是。，4.方程组的解是，。二、解答题11.解方程组12.实数满足①②则的取值围是什么？B卷一、填空题，1.方程组的解是。，2.方程组的解是。，3.方程组的解是。4.关于的方程组则代数式。5.，且，则。6.，则。，7.方程组的解是，。，8.方程组的解是。，9.方程组的解是。，10.方程组的解是，。二、解答题11.方程组当为何值时，方程组只有一组解？12.解方程组C卷一、填空题1.关于的方程组的解为则关于的方程组，的解是。2.当时，方程组有两个一样的实数解。，3.方程组的解是，。，4.方程组的解是，。5.假设，则。6.是正整数，，则。7.假设，则。，8.方程组的解是，。9.*工程可由假设干台机器在规定的时间完成，如果增加2台机器，则用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，则就要推迟小时完成．如果用一台机器完成这件工程需小时。①10.实数满足②则的值是。二、解答题11.解方程组①12.解方程组②③13.*校参加初一“迎春杯〞竞赛的甲、乙两班学生共a人，其中甲班平均分为70分，乙班平均分为60分该校总分为740分，问甲、乙两班参赛各多少人？①②14.实数满足③④⑤其中是常数，且，则的大小顺序是如何排列的？第九讲二次函数知识点、重点、难点函数(a、b、c为常数并且a≠0)称为二次函数，其图像称为抛物线，抛物线是轴对称图形。1.二次函数的形式〔1〕一般式：〔a≠0〕；〔2〕顶点式：〔a≠0〕；〔3〕交点式：，〔a≠0，、是方程的两根〕。2.二次函数的性质〔a≠0〕的对称轴为，顶点坐标为当时，在围，单调递减，在围单调递增。当，有最小值，当时，在围，单调递减，在围单调递减，当，有最大值，3.二次函数与二次方程关系〔a≠0〕〔a≠0〕△＝图像与*轴有二个交点；方程有两个不同根；△＞0；图像与*轴有一个交点；方程有两个一样根；△＝0；图像与*轴没有交点．方程没有实数根．△＜0.例题精讲例1：抛物线与*轴交于两点，如果一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴交点在，的下方，则m的取值围是什么？解：设抛物线与*轴交点横坐标分别为、，则，则把、代入不等式得2m－1－2(4m＋1)＋4＜0，解得因抛物线与y轴交点在的下方，故，解得因为△＝，所以m为一切实数。所以m的取值围是例2：二次函数的大致图像如下图。〔1〕确定a、b、c和的符号。〔2〕如果，求证：解：抛物线开口向上，则a>0；对称轴在y轴右边，则，故b＜0；抛物线与y轴交点在*轴下方，则c＜讯抛物线与*轴有两个交点，则△=＞0.因抛物线与y轴交于C点，即C(0，c)．又因为OA=OC，故A(c，0).将A点坐标代入解析式得，根据图像得c≠0，则ac＋b＋1=0.例3：关于*的方程有两个不相等的实根，一个大于1，另一个小于1，数a的取值围。解：设.如图，显然此二次函数与*轴的交点分别在直线*=1的两侧，即＜1＜．仅需(a－1)＜0，得a的取值围是.例4：讨论方(m为实数)的解的个数与m的关系。解：讨论方程的解的个数与m的关系，实质上就是讨论与y=m－1的图像交点个数问题。如下图，画出其图像。当m－1＜0时，即m＜1，原方程无解；当m－1=0或m－1＞9时，即m=1或m＞10时，原方程有两个解；当m－1=9时，即m=10时，原方程有三个解；当0＜m－1＜9，即1＜m＜10时，原方程有四个解。例5：，求f(*)．解：设，则，代入原式得所以.另一种解法：．设*=m＋1，所以.例6：对一切实数k二次函数都过一定点，求此定点坐标。解：整理得，因为对一切实数k该式均成立，仅需解得所以二次函数图像过定点〔4，33〕．习题A卷一、填空题1.如果点M(a，－7)在函数的图像上，则a=．2.直线y=k*与抛物线有公共点，则k的取值围是．3.将函数的图像绕y轴翻转180°，再绕*轴转180°，所得的函数图像对应的解析式为．4.假设抛物线的图像全在*轴的上方，则a的取值围是．5.设抛物线的图像与*轴只有一个交点，则a的值为．6.二次函数的图像与*轴交于A、B两点，顶点为C.假设△ABC的面积为，则m=．7.将抛物线向平移个单位，再向平移个单位，就可以通过点(0，0)及(1，6).8.设t是实数，二次函数的最小值是，最大值是．9.、是抛物线上关于对称轴对称的两个点，则当时，y的值为．10.如图，抛物线的对称轴是*=2，与*轴的交点分别位于区间〔－1，0〕及〔4，6〕，a＜0，则5b与4c的关系为．二、解答题11.函数的图像与*轴的交点的横坐标都是比1小的正数，求m的取值围。12.二次函数的图像与y轴交于Q(0，1)，与*轴交于M、N两点，M、N两点的横坐标的平方和为6，图像的顶点P在*轴上方，且=1：2，求此二次函数的解析式。B卷一、填空题1.抛物线与*轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则k的值的个数为.2.设二次函数的图像的顶点为A，与*轴的两个交点为B和C，则三角形ABC的面积的最小值为.3.二次函数的图像通过A(1，0)和B(5，0)两点，但不通过直线y=2*上方的点，则其顶点的纵坐标的最大值与最小值的乘积为.4.二次函数的图像是由的图像经过平移而得到。假设图像与*轴交于A、C(－1，0)两点，与y轴交于D，顶点为B，则四边形ABCD的面积为.5.假设函数的最小值为3，则a的值为.6.函数y=*(*＋1)(*＋2)(*＋3)的最小值为.7.设有二次函数，当*=3时取得最大值10，并且它的图像在*轴上截得的线段长为4，则a、b、c的值分别为.8.己知二次函数的图像与*轴负半轴至少有一个交点，则m的取值围是.9.函数对于任意实数*都有y＞0，且是三角形的角，则的取值围是.10.函数f(*)对于一切实数*满足f(4＋*)=f(4－*)，假设方程f(*)=0恰有四个不同的实根，则这些实根之和为.二、解答题11.二次函数的图像和*轴、y轴都只有一个交点，分别为P、Q，且PQ=，b＋2ac=0，一次函数y=*＋m的图像过P点，并和二次函数的图像交于另一点R，求△PQR的面积。12.假设的图像与*轴相交于A、B，与y轴相交于C.设原点为O，求〔1〕；(2)△ABC的面积。C卷一、填空题1.二次函数的图像如下图，则以下6个代数式、abc、a－b＋c、a＋b＋c、2a－b、9a－4b中，其值为负的式子有个。2.设二次函数的图像与*轴两交点的横坐标分别为、，并且，则的取值围是.3.二次函数的图像与*轴正半轴交于点A(，0)和B(，0)，与y轴正半轴交于C(0，)，并且=，=2，则b=.4.二次函数〔a为非零常数〕，并且至少存在一个整数，使0，则a=.5.对所有实数*、y，函数f(*)满足f(*·y)=f(*)·f(y)，并且f(0)≠0，则f(1999)＝.6.对于二次函数，当*取值时，此函数的最大值为，则t的取值围是.7.假设，二次函数.假设关于*的二次方程有两个大于2的不等实根，则的值与零的大小关系为.8.假设函数，则.9.假设的值为正，则m的取值围是.10.函数的最大值为9，最小值为1，则a=，b=.二、解答题11.假设抛物线的顶点在直线上移动，且抛物线与抛物线有公共点，求m的变化围．12.a、b、c均为整数，且抛物线与*轴有两个不同的交点A、B.假设A、B到原点的距离都小于1，求的最小值.13.设，证明：中至少有一个数不小于.14.二次函数，其中a、b、c为钝角三角形的三边，且b为最大边。〔1〕求证：此二次函数与*轴正半轴必有两个交点；〔2〕当a=c时，求两交点间距离的取值围。九、函数综合问题知识点，重点，难点函数的值域：在*个变化过程中有两个变量*、y，如果对于*在*个围的每个可取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y就叫做*的函数，用符号y=f(*)表示，*叫做自变量，*允许值的全体叫做函数的定义域，和*对应的y的值叫做函数值，函数值的全体叫做函数的值域。函数的最大值与最小值是指函数在定义域围函数值能取到的最大和最小的数值。例题精讲例1：二次函数.〔1〕如图，假设f(*)满足，画出f(*)图像的顶点的存在围；〔2〕证明：不是的解．解：〔1〕设二次函数顶P(m，k)，则.由，所以又由，所以因此把m、k改写成*、y，顶点坐标存在的围是以下图的阴影局部〔边界除外〕。〔2〕反证法：假设是的解，则因为所以其公共局部如下图的三个重叠局部，但显然没有重叠局部，故b、c不存在，即无解，所以与假设相矛盾．因此原命题得证。例2：*为一切实数，均有非负数，m为实数，求方程的根的取值围。解：因为均有非负数，所以△≤0，即△=，所以因为方程中含有绝对值，并且，所以将分段讨论。当时，化简得；当时，，但不在围；当时，；当接近时，接近于0.所以当时，的方程的根的取值围是当时，方程无解。当时，化简得；当时，，而当属于围；当时，；当接近时，接近于0.所以当时，原方程的取值围是当时，；当时，，但不属于围；当接近1时，接近3；当时，.所以当时原方程根的取值围是综上所述，原方程根的取值围是或或例3：求函数与的图形的最近点之间的距离。解：设点在上，故，点到直线的距离为当时，当时，，即例4：〔且〕并且的实数根，证明：证明：如果，结论成立；如果，则；如果，结论成立。设，则，并且由得①又因为有实数根，所以，所以即②由①②可得，所以，得或但假设中所以只可能大于或等于，从而结论成立。例5：非负数满足求的最值。解：由得所以将用代入得，由，得的最大值为，最小值为例6：非负数满足，求的最小值。解：由，所以当时，取最小值12，最小值为习题A卷一、填空题1.y－2与*＋1成正比例，比例系数为－2，将y表示成*的函数。2.如图，在直角△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，∠*OA=30°，则A、B两点的坐标分别为。3.假设方程的根都是整数，则常数k=。4.一次函数f(*)=(2a－b)*＋a－5b，9(*)=a*＋b.假设使f(*)＞0的实数*的取值围是，则使g(*)＜0的实数*的取值围是。5.假设函数f(*)满足两个恒等式f(*)＋f(－*)=0，f(*＋2)＋f(*)=0.又知当0≤*≤1时，f(*)=*，则f(7.5)=．6.建造一个容积为8m，深为2m的长方体的无盖水池．假设池底与池壁的造价每平方米是120元和80元，则水池的最低造价为元。7.在测量*物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到、、、…、共n个数据．我们又规定所测物理量的最正确近似值a是这样一个量：与其他近似值比拟，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从、、、…、推出a＝。8.，当0≤*≤1时，y满足0≤y≤1，则a的取值围是。9.设*、y、z≥0，并且*＋3y＋2z=3，3*＋3y＋z=4，u=3*－2y＋4z，则u的最大值与最小值分别是。10.当b≤*≤b时，二次函数的最大值是7，则b=。二、解答题11.a、b满足，试求a＋b的值。12.点P是一次函数y=－*＋6在第一象限的图像上的点，点A的坐标为〔4，0〕：(1)点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点？假设能的话，则点P的坐标是什么？(2)假设使△AOP为直角三角形，则能否找到满足条件的点P"(3)假设使△AOP为等腰直角三角形，则能否找到满足条件的点P"13.一次函数的图像，能否不经过第四象限？你能否归纳出，字母m对该一次函数图像在直角平面坐标系中位置的决定作用？14.*汽车油箱中余油量Q(千克〕与它行驶时间(t小时〕之间是一次函数关系。t=0时油箱中有油60千克，汽车行驶8小时，油箱中还有剩油20千克。(1)写出Q与t之间的函数关系式；(2)如果汽车的速度为每小时40千米，开出后必须返回出发地，在沿途又无加油站，则汽车最多能行驶多远就必须返回？B卷一、填空题1.，则y的最小值是．2.的最小值是．3.假设对于任意实数m，直线与抛物线恒相切，则该抛物线的解析式是．4.正方形的边长为*，假设边长增加5，则面积增加y，则y与*的函数关系式是．5.矩形两邻边的长分别为*、*＋10、则矩形的周长y与*的函数关系式是，矩形的面积S与*的函数关系式为．6.求函数中自变量*的取值围是．7.，且，则*的取值围是．8.点、是在二次函数图像上的两个点，则二次函数在时的值是．9.0<a<1，则的最大值与最小值分别是．10.一次函数f(*)=k*＋3(k＞0)满足，则k=．二、解答题11.如图，直线PA是函数y=*＋1的图像，直线PB的解析式为y=－2*＋m(m>l〕，且PA与PB相交于点P.A、B分别是两直线与*轴的交点，直线PA交y轴于点Q.〔1〕假设四边形PQOB的面积是△AOQ面积的5倍，能否求出过A、P、B三点的二次函数的解析式？〔2〕线段AB〔不包括A、B两点〕上是否存在点C，使△APC∽△ABP？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由。12.二次函数的图像能否不经过第四象限？为什么？13.在直角坐标系中，O'的坐标为(2，0)，⊙O'与*轴交于原点O和点A，一次函数y=t*＋t(0<t<3)的图像与*轴、y轴分别交于B、C两点．〔1〕⊙O'与直线BC的位置关系如何？〔2〕决定⊙O'与直线BC位置关系的关键何在？〔3〕直线BC的解析式能否确定？14.假设抛物线与*轴相交于两个不同点A、B，顶点为C，则k为何值时能使∠ACB=90°？C卷一、填空题1.当n=1、2、3、…、1996时，所有二次函数的图像在*轴上所截得线段的长度之和为。2.设当a≠0时，直线y=a*＋b与曲线y=g(*)有三个不同的交点，则a、b的取值围是。3.假设、是方程的两个实数根，则的最小值是。4.抛物线的顶点位于正方形D={(*，y∣0≤*≤1，0≤y≤1}部或边上，则a、b的取值围分别是。5.设实数a、b、c满足，则抛物线与抛物线有一个固定交点。6.由方程确定的曲线所围成的图形的面积是。7.函数与*轴交点的个数是。8.方程有一根不大于一1，另一根不小于1，则m的取值围是。9.ab≠0，，则的值为。10.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为〔15，6〕，直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两局部，则b=。二、解答题11.二次函数中，f(－1)、f(0)、f(1)都有整数，则对自变量*是任意整数时，函数值f(*)是否也是整数？请证明你的判断.12．实数a、b、c满足(a＋c)(a＋b＋c)＜0，证明：．13.函数，试说明：对于任意给定的整数A与B，总存在整数C，当用直线y=a(a为整数〕去截f(*)与g(*)的图像，在所截得的交点中至多只有一个函数〔f(*)或g(*)〕图像上的点是整点〔坐标为整数的点〕。第十讲解直角三角形知识点、重点、难点直角三角形中角与角之间关系为两锐角互余；边与边之问的关系为勾股定理；边与角之间的关系则可由两锐角的正余弦、正余切公式给出。三角形ABC中，，其中a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，R为△ABC外接圆半径，称为三角形的正弦定理。图中BD＝ccosB，DC=a－ccosB．所以①同理可得②③上述三式称为三角形的余弦定理。将①②③式变形可得此三式用于三角形三边求三角形角，而且容易验证：当三角形角为钝角时，其余弦值小于零，这为判断钝角增加了一种新方法。三角形的面积的另一个公式为：三角形面积等于两边及其夹角正弦的乘积的一半，即直角三角形的边角关系、三角形的正余弦定理，为解直角三角形和有关三角形边角的问题提供了多种方法。例题精讲例1：如图，△ABC中，∠C=90°，AB＝10，AC=6，AD是∠BAC的平分线，求点B到直线AD的距离BH.Rt△ABH中AB=10，要求BH，可求出∠BAH的正弦值，而∠BAH=∠CAD，因而可先求出DC的长。解：作DE⊥AB于E，有AE=AC=6，ED=CD.设DC=3k，由三角形角平分线性质有，则Rt△BDE中，即，得，故例2：如图，证明单位圆〔半径为1〕上的锐角三角形的三个角的余弦之和小于该三角形周长之半。证明：锐角△ABC中，有A＋B>90°，A>90°－B，则cosA＜cos(90°－B)=sinB．同理有cosB＜sinC，cosC＜sinA，故cosA＋cosB＋cosC＜sinA＋sinB＋sinC.根据正正弦定理有，所以，即=，故例3：△ABC的面积，试求角C的大小。解：，又有，则由余弦定理知，故两边除以，有故例4：如图，*污水处理站方案砌一段截面为等腰梯形的排污渠。如果渠深为h，截面积为S，试求当倾角为多少时造价最小？分析要使造价最小，只需考虑AD＋DC＋CB最小，故首先设法用h、S、表示AD＋DC＋CB．解：，有，则因S、h为常数，则要求AD＋DC＋CB的最小值，只需求的最小值。设两边平方整理得，由上式知，解得，故当时，有最小值。当时，，从而，此时排污渠造价最小。例5：如图，在△ABC中，最大角A是最小角C的2倍，且三边的长a、b、c是三个连续自然数，求三角形各边的长。解：设三角形三边分别是a=n＋1，b=n、c=n－1(n为自然数，且n≥2).如图作∠A的平分线AD交BC于D，再作DE⊥AC于E.因为∠1=∠2，所以，所以，所以又因为∠2=∠C，所以，所以在Rt△EDC中，又在中，由余弦定理有所以，所以，所以此三角形的三边长为4、5、6.A卷一、填空题1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是1，另两边之和是，则这个三角形的另两边之长分别是和。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，CA的平分线AD=，则AB=。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，则∠A=，外接圆的半径是。4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是厘米。5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，cosB=，则。6.直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，则这个三角形的两个锐角度数分别是度和度。7.假设0°<<90°，则以sin、cos、tan·cot为三边的三角形ABC的切圆半径和外接圆半径这和等于。8.计算。9.tan＝2，为锐角，。10.如果等腰三角形ABC中，底角是30°，面积为，则的周长是。二、解答题11.等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D在直线BC上，且BD=AB，求∠ADB的余切值。12.如图，△ABC中，∠C=90°，E、F在AB边上，AF=EF=EB，且CF=sin，CE＝cos，求斜边AB的长。B卷一、填空题1.在△ABC中，有一个角为60°，，它的周长是20，则它的三边之长分别为、和。2.如图，在Rt△ABC中，E、D分别是边AC、BC的中点，BE=，AB=10，∠C=90°，则AD=。3.计算tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°＝。4.在直角三角形ABC中，∠C=90°，tan＋cot=5，则tanA＋cotA＝。5.在直角三角形中，斜边长为C，面积为S，则这个三角形的两直角边长分别是和。6.在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=135°，BC=10，则AB=。7.计算tan15°=。8.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有两点M、N，且∠M=45°．记AM=m，MN=*，BN=n，则以*、m、n为三边长的三角形是三角形。9.如图，在△ABC中AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=2a，则点N到边BC的距离是〔用含a的代数式表示〕。10.在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝15°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则a：b：c=二、解答题11.如图，城市规划期间欲撤除一电线杆AB.距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道，试问在撤除电线杆AB时，为确保行人平安，是否需要将此人行道封上？请说明理由〔地面上以点B为圆心、以AB长为半径的圆形区域为危险区域〕〔1.732，1.414〕。12.如图，在△ABC中，∠A=45°，CB=5，BD=3，CD＝7，D在边AB的延长线上，求∠CBD和AC的大小。13.在Rt△ABC中，两直角边的差为，两直角边在斜边上的射影的差为，求△ABC的三边的长。14.如图，ABCD是正方形，E为BC上一点。将正方形折叠，使A点、E点重合，折痕为MN.假设tan∠AEN=DC＋CE=10，求〔1〕△ANE的面积；〔2〕sin∠ENB的值。C卷一、填空题1.ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，则。2.等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，且△ABC的切圆半径是2，则AB=。3.⊙O的半径为2，⊙O的点P到圆心O的距离为1，过P点的弦AB与劣弧组成一个弓形，则此弓形面积的最小值是。4.如图，△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线，CA＝3，CB=4，则CD＝。5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b是∠A、∠B的对边，且，则tanA＝。6.如图，∠C=90°，∠BAC=30°，BC＝1，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程的较大的根，则CD的长是。7.，则。8.△ABC中，acosB＝bcosA，关于*的方程的两根相等，则△ABC是三角形。9.在△ABC中，BC=3，切圆半径，则。10.假设0°<＜30°，sin〔k为常数，〕，则的取值围是。二、解答题11.设m、n、p是正数，且，求的最大值。12.如图，△ABC中，⊙O切于△ABC，切点分别为D、E、F，BD＝3，DC＝2，∠BAC=60°，求13.如图，CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，，求sinB的值。14.P是矩形ABCD任意一点，连结PA、PB、PC、PD，求证：在∠PAB、∠PBC、∠PCD、∠PDA四个角中，必有一个不小于45°，也必有一个不大于45°．第十一讲圆的有关性质知识点、重点、难点圆是常见曲线中最简单的一种，圆的根本性质具有较强的适用性。圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何题目，它是数学竞赛的重要容。圆的有关性质有：1.垂径定理及其推论．此定理及推论，在证题中很重要，其容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备以下条件中的2条，就具备其他3条。〔1〕经过圆心；〔2〕垂直于弦；〔3〕平分弦；〔4〕平分弦所对的劣弧；〔5〕平分弦所对的优弧。2.圆周角定理及其推论。其中以以下两个结论应用最为广泛：〔1〕直径所对的圆周角是直角；〔2〕同弧所对的圆周角相等。3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．如果弦长为2r，圆的半径为R，则弦心距为处理有关圆的问题，常利用圆的根本性质化为直角三角形中的问题来解决。例题精讲例1：如图，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N.△ABC的面积是△CMN面积的4倍，△ABC中有一个角度数是另一个角度数的2倍，试计算三角形ABC三个角的度数。解：因为∠MAB、∠NBA都是小于半圆的弧所对的圆周角，所以∠MAB＜90°，∠NBA＜90°.连结AN，于是∠ANB=90°．所以∠C＜∠ANB=90°，△ABC是锐角三角形。在△CMN和△CBA中，∠C是公共角，∠CMN=∠B，所以△CMN∽△CAB，故，即在Rt△ANC中，由得∠C=60°，所以∠A＋∠B=120°.由于一个角是另一角的2倍，不妨设∠A≥∠B，于是∠A≥60°，故有∠A=2∠C，∠A=2∠B，∠C=2∠B，∠B=2∠C四种情况．假设∠A=2∠C或∠B=2∠C，可推出∠A=120°或∠B=120°，与∠A、∠B是锐角不符；假设∠C=2∠B，则∠B=30°，∠A=90°，也与∠A为锐角不符．所以只能∠A=2∠B，此时∠A=80°，∠B=40°.故△ABC的三个角的度数是∠A=80°，∠B=40°，∠C=60°.例2：如图，设半径为1的半圆圆心为O，直径为AB，C、D是半圆上两点。假设的度数为96°，的度数为36°，动点P在直径AB上，求CP＋PD的最小值。解：作D关于AB的对称点D'，D'在圆O上，连结CD'交AB于，连结CO并延长交圆O于E.，于是的度数分别为96°与36°.又，故的度数为60°，所以∠D'OE=60°.于是∠ECD'=30°，∠CD'E=90°，从而有由对称性知PD=PD'，，于是.因此CP＋PD的最小值为．例3：如图，在圆接△ABC，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：=AB·AC.解：如图，连结CD.因为，，所以'==(BE＋AE)(BE－AE)=AB(BE－AE)．在BA上截取BF=AC，连结DF.因为BD=DC，∠DBA=∠DCA，BF=AC，所以△DBF≌△DCA，得DF=DA.又DE⊥AB，所以AE=EF.从而=AB(BE－AE)=AB(BE－EF)=AB·BF－AB·AC.说明此题还可得结论AB=AD＋AC，这就是著名的阿基米德折弦定理.例4：如图，圆O的半径为2，圆O的点P到圆心O的距离为a(a<2)，弦AB过点P．(1)求△AOB面积的最大值；(2)当a=1时，求弦AB与劣弧组成的弓形面积的最小值．解：〔1〕过O作OQ⊥AB于Q，令OQ=*，有，所以因即于是，这里设二次函数，其图像开口向下，对称轴t=2.①当即0<a≤时，由图像可知*=a时函数y取得最大值因而*=a时取得最大值，此时弦AB在A'B'的位置，且OP⊥A'B'．②当＞2即a＞时，由图像可知时函数y取得最大值4，因而时取得最大值2.〔2〕弦AB绕圆心O旋转，使OQ与OP重合，OP≥OQ，于是点Q在线段OQ上(见图).由于圆具有旋转不变性，因此劣弧所对应的弓形面积不变，由此可见劣弧的弓形面积随着弦心距OQ的增大而减小。而由题设知OQ的最大值为OP=1，因此当弦AB到达弦A'B'的位置时弓形面积最小。因为OP＝1，OB'＝2，所以∠OB'P＝30°，于是∠POB'＝60°，∠A'OB=120°，A'B'=，故劣弧的弓形面积为所以满足题意的弓形面积的最小值为说明弦AB过点P，实质上仅是对弦AB的弦心距有所限制，它不能超过OP，旋转AB的作用是将弦心距OQ与弓形面积的关系显示出来。例5：如图，周长为28cm的长方形ABCD，以A为圆心，AD为半径作弧交AB于，以B为圆心，为半径作弧交BC于，以此类推以C、D、A、B为圆心用同样方法作弧分别得交点、、、，点与C重合，求长方形的长与宽。解：由题图知C==d，又AD=a＋d，BC=b＋c，而AD=BC，故a＋d=b＋c，于是得a=b.又CD=c＋d，AB=a＋c＋b，而AB=CD，故c＋d＝a＋c＋b，于是d=a＋b=2a，c=d=2a.由此AD=BC=3a，AB=CD=c＋d=4a，矩形的周长=2(AB＋AD〕=14a=28cm，故a=2cm.所以AB＝4a＝8cm，AD＝3a=6cm.例6：如图，在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，试证：四边形APQB的面积为1．解：如图，连结AF、FE、EB、CE，设EF与AC相交于D，连结DQ、DB.四边形ABEF是正方形，并且边长为，所以=2，故=1.又∠DCQ＝45°，∠DEQ＝45°，故∠DCQ＝∠DEQ，所以D、Q、E、C四点共圆，故∠DCE＋∠DQE=180°.而∠DCE=90°，于是∠DQE=90°，即DQ⊥AE.又PB⊥AE，所以DQ∥PB，故所以=1.A卷一、填空题1.如图，矩形ABCD与圆相交。假设AE=5，EF=6，DM=4，则MN的长是。2.⊙O的直径是AB，弦CD垂直平分OA，垂足为E点，则的度数是。3.两个同心圆中，小圆的切线被大圆所截局部的长等于6，则两圆所围成的圆环的面积是。4.⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD于P，AP=4，PD=2，则OP的长是。5.圆的一条弦分直径为3cm和7cm两局部，且弦和直径相交成30°角，则弦长为。6.CD是⊙O两条互相垂直的弦，相交于圆一点P，圆的半径是5，两条弦长均为8，则OP的长为。7.如图，在⊙O中，弦BC垂直平分半径OA.假设BC=，则⊙O的周长是。8.如图，AB是圆的直径，弦CD与AB交于P，∠ACD=65°，∠ADC=55°，则∠APC=。9.如图，与的度数之差为20°，AB交CD于E，∠CEB＝60°，则∠A的度数是。10.⊙O是△ABC的外接圆，D是上一点。假设∠ABC=30°，AC=，BC=8，则∠BDC的度数是。二、解答题11.如图，△ABC接于⊙O，弦CM⊥AB，是直径，F是的中点，求证：〔1〕CF平分∠NCM；〔2〕=.12.如图，在⊙O中，半径OC⊥直径AB，弦CD、CE分别交AB于F、G，求证：CF·CD=CG·CE.13.如图，△ABC是⊙O的接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，求证：BG·BC.14.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，它的一边BC切小圆于E，求证：OE=B卷一、填空题1.如图，两个同心圆，点A在大圆上，ABC为小圆的割线，假设AB·AC=8，则圆环的面积为。2.A(0，－1)，B(0，3)，分别以A、B为圆心的两圆相交于M(2b－2a，1)和N(－2，a－1)，则b－a的值为。3.Rt△ABC的直角边AC=3，过A的一条直线与△ABC的斜边AB上的高CD相交于G，与△ABC的外接圆相交于H，则AG·AH的值是。4.如图，A、B、Q、D、C都在同一圆周上，量得弧和分别是32°和48°，则∠P与∠Q的和是。5.如图，从直径AB的延长线上取一点C，过点C作该圆的切线CD，切点为D.假设∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED的度数为。6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于D，与AC相交于E.假设∠ABC=40°，则∠CDE的度数是。7.△ABC是⊙O的接三角形，且AB=AC=2，∠BAC=120°，则⊙O的半径的长是。8.AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，BC=，DB=1，则AD的长是。9.如图，AB是弦，点C在AB的延长线上，且BC等于⊙O的半径，直线CDE过圆心O，则=10.如图，⊙O截△ABC的三边所截得的弦长都相等，∠A=70°，则∠BOC的度数是。二、解答题11.如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于D，△BAC的外角∠BAF的平分线交⊙O于E，求证：DE平分BC．12.如图，P是正△ABC外接圆的上的任一点，AP交BC于D.求证：13.半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点P到圆心O的距离OP=1.求的值。14.如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F，求证：OB=3OF.C卷一、填空题1.如图，矩形ABCD的边AB经过⊙O的圆心，E，F分别为边AB、DC与⊙O的交点。假设AE=3，AD=4，DF=5，则⊙O的直径等于。2.如图，ABCD是⊙O的接正方形，PQRS是半圆的接正方形，则等于。3.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=3，∠ABC的平分线交半圆于D，AD、BC的延长线交于E，则四边形ABCD的面积是△DCE面积的倍。4.如图，MN是半圆O的直径。假设∠K=20°，∠PMQ＝40°，则∠MQP等于。5.四边形ABCD接于圆，AD为圆的直径，且AD=8，AB=BC，CD=7，则AB的长是。6.如图，，弦BD与AC相交于P，∠BPC=80°，则∠ACD的度数是。7.ABCD是圆接四边形，圆心在四边形的部，P点在上，Q点在上，R点在上，S点在上，则∠APB＋∠BQC＋∠CRD＋∠DSA的度数是。8.如图，在⊙O中，弦AB=AC，弦AD交BC于E.假设AB=12，AE=8，则AD的长是。9.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个接正方形CDEF，其边长为1.则。10.如图，在直角△ABC中，AC=BC，的圆心角为A.如果图中两个阴影局部的面积相等，则AD：DB=．二、解答题11.如图，M为劣弧的中点，B是上任意一点，MD⊥BC于D.求证：AB＋BD=DC.12.如图，四边形ABCD接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长。13.如图，AB为圆O的弦，QO⊥AB，QA交⊙O于C，BC交QO于P，求证：第十二讲直线与圆的位置关系知识点、重点、难点直线与圆有三种位置关系：相交，相切，相离．与圆相交的直线叫做圆的割线，与圆相切的直线叫做圆的切线。设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R.直线与圆相离直线与圆无公共点。直线与圆相切直线与圆有唯一公共点。直线与圆相交直线与圆有两个公共点。圆的切线垂直于过切点的半径，圆的切线与圆心的距离等于半径。从圆外一点P引圆的两条切线长相等，且P与圆心的连线平分这两条切线所夹的角。弦切角等于它所夹的弧上的圆周角。圆幂定理：包括相交弦定理、切割线定理和切线长定理。处理直线和圆的有关几何问题的根本方法是由位置关系确定线段或角之间的数量关系，反之也可由数量关系确定直线与圆的位置关系。例题精讲例1：如图，D是△ABC的边AC上的一点，AD：DC=2：1，∠C=45°，∠ADB=60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线。证明：如图，作△BCD的外接圆，设圆心为O，连结OB、OC、OD、OD交BC于E.因为∠DCB是所对的圆周角，∠BOD是所对的圆心角，∠BCD=45°，所以∠BOD＝90°.又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠DBC=∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°．于是∠DOC＝30°，故∠BOC＝120°.因为OB=OC，所以∠BCO=∠CBO=30°.在△OEC中，因为∠EOC－∠ECO=30°，所以OE=EC.在△BOE中，因为∠BOE=90°，∠EBO=30°，所以BE=2OE=2EC.又AD=2CD，所以，于是AB∥OD，故∠ABO＝90°.所以AB是△BCD的外接圆的切线。例2：如图，在△ABC中AB=AC，过C作△ABC的外接圆的切线，交AB延长线于D.又过D作AC的垂线，E为垂足，求证：BD=2CE.证明一：如图，取CD的中点F，连结EF并延长交BD于G.因为CT为切线，所以∠TCA=∠ABC，又∠FCE=∠TCA，于是∠FCE=∠ABC．又AB=AC，故∠ACB=∠ABC，所以∠FCE=∠ACB．在Rt△CDE中，F为斜边CD的中点，所以FE=FC，故∠FEC=∠FCE．由此可知∠ACB=∠FEC，于是有BC∥EG.而F为CD中点，故G为BD中点，即BD=2BG.由BC∥EG可得∠AGE=∠ABC=∠ACB=∠AEG，故AG=AE.而AB=AC，于是CE=BG.所以BD=2CE.证明二：由切割线定理知CD=BD·AD=(AD－AB)·AD=AD－AB·AD，于是AD－CD=AB·AD.在Rt△ADE中，．在Rt△CDE中，．所以，所以AB·AD==(AE＋CE)=(AE－CE〕=(AE＋CE)·AC.又AB=AC，故AD=AE＋CE.又AD=AB＋BD，AE＋CE＝AC＋2CE，于是AB＋BD=AC＋2CE，故BD=2CE.例3：如图，PA、PB是⊙O的两条切线PEC是一条割线，D是AB与PC的交点．假设PE=2，CD=1，求DE的长度。解：连结AC、BC、BE、AE、PA为切线，故∠PAE=∠PCA，于是△PAE∽△PCA.同理可得△PBE∽△PCB.所以设于是因为，所以由此得即而，解此方程得于是例4：如图，锐角△ABC，以BC边为直径作⊙O交AB于G，过A作⊙O的切线AD，D为切点．在AB上截取AE=AD，过E作AB的垂线与AC的延长线交于F，求证：〔1〕AB·AC=AE·AF；〔2〕．证明：〔1〕连结CG.因为BC是⊙O的直径，所以∠BGC=90°.又因为EF⊥AB，所以∠BEF=90°.故EF∥CG，于是又因为AD是⊙O的切线，AGB是⊙O的割线，所以AG·AB.又因为AD=AE，所以AG·AB，即于是所以AE·AF=AC·AB；〔2〕因为又因为AB·AC=AE·AF，所以例5：如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E．BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.〔1〕设是*°的弧，要使点E在线段BA的延长线上，求*的取值围；〔2〕不管点D取在半圆的什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予以证明。解：〔1〕如图，当E点由右趋向于A点时，D点趋向于OS与半圆交点，此处OS⊥AB，△ADB成为等腰直角三角形。此时E点从右运动到A点时，AD为45°弧，即*=45.当E点离开A到BA的延长线上时，离A点越远，D点就越接近A点，此时*就接近于0.D与A点重合时，*=0，故满足条件的*的取值围是0≤*＜45°；〔2〕由题设∠CDE=90°，∠CAB=∠EBF=90°，∠ADB=90°，又AC为切线，得∠CAD=∠ABD.在四边形ACDE中，∠C与∠DEB均为∠AED的补角，故∠DEB=∠C，于是△ACD∽△EBD，得又∠ABD=∠BFD，于是△ABD∽△BFD，得故而AB=AC，则BE=BF.例6：如左图，设凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O在AB上，且与四边形的其余三边相切，求证：AD＋BC=AB.证明：如右图，设“另一圆〞的圆心为O，AD、BC的延长线交于M点，连结OC、OD、OM，于是OC、OD分别是∠DCB和∠CDA的平分线．设MC=a，MD=b，CD=c，⊙O的半径为r，于是因为四边形ABCD是圆的接四边形，所以△MAB∽△MCD.故〔常数〕，于是，且故，即由此可得kb－kc=MA＋MB－AB，所以AB=MA－b＋MB－a=(MA－MD)＋(MB－MC)，所以AB=AD＋BC.A卷一、填空题1.假设⊙O的外切等腰梯形的中位线的长为5cm，梯形两底长的差为6cm，则⊙O的半径长为cm.2.⊙O中直径AB与弦AC的夹角是30°，过C点的切线交AB的延长线于D.如果OD=30cm，则⊙O半径的长为cm.3.PA、PB分别切⊙O于A、B，PO交⊙O于C，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于E和F.假设OA=6，OP=10，则△PEF的周长为。4.假设⊙O外一点P与点O的距离为4，从P向⊙O作切线，切线长与圆的半径之差为2，则圆的半径为。5.△ABC是⊙O的外切三角形，D是BC边上的切点。BD=4，DC=3，△ABC的周长是18，则AB的长是。6.等腰梯形各边都与⊙O相切，⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则该等腰梯形的面积为cm．7.PT切⊙O于T，PAB为经过圆心O的割线，交⊙O于A、B两点．假设PT=4，PA=2，则∠BPT的余弦值为。8.过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点为A和B.假设AB＝8，AB的弦心距为3，则PA的长为。9.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°.以CD为直径的圆切AB于E点，交BC于F.AD=3，BC=4，则AB的长是。10.如图，切线PF切⊙O于F，割线PDC交⊙O于D、C，直径AB⊥CD，垂足为E.如果AB=7cm，PF＝6cm，PD＝4cm，则OE＝cm.二、解答题11.如图，D是半圆直径AB上一点，C是半圆上的一点，FD⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于G，交圆的过C点的切线于F，求证：EF=FG.12.如图，△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，过点D作⊙O的切线EF交AC于E.假设BC=3，DE=2，求AD的长。13.如图，OAB是以O为圆心，OA为半径的圆，在弧上任取一点P，过P作切线l，从B点作l的垂线BE交l于E，从P点作OB的垂线PF交OB于F.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕求证：PE=PF．14.如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DT是圆的一条切线，T是切点，C是B在DT上的射影，求证：∠ACB=B卷一、填空题1.如图，⊙O的直径AB=2，延长AB至P，使，过P作⊙O的切线PC，C是切点，则弦AC的长是。2.如图，AB是直径，CD是弦，过C点的切线与AD的延长线交于E点。假设∠A=56°，∠B=64°，则∠CED的度数是。3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O切CD于点M.假设这个梯形的面积是10cm，周长是14cm，则半圆O的半径等于cm.4.如图，AC是⊙O的直径，OE⊥AD，OF⊥AB，E、F为垂足，OE=OF，AC是AD和AB的比例中项，∠BAD=50°，则∠B的度数为。5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上．假设AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于。6.如图，弦AC、BD相交于E，，∠BEC=130°，则∠ACD的度数等于。7.如图，DE为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，延长AB与直线DE交于C，且BC等于圆的半径。∠AOD=54°，则∠ACD=。8.如图，四边形ABCD接于半圆O，AD是半圆的直径，AD=4，AB=BC=1，则CD=。9.如图，△ABC中，切圆O的半径为4，D、E、F分别是BC、AC、AB上的切点，且BD=6，CE=8，则这个三角形的最短的边长是。10.如图，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，则P到BC的距离是cm.二、解答题11.由钝角△ABC的钝角顶点A引高AD，以垂足D为圆心，AD为半径作圆，分别交AB、AC于M、N.如果AB=c，AM=m，AN=n，求AC的边长。12.如图，直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，直线AP与⊙O的半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB．13.如图，锐角△ABC的外接圆的切线PB、PC相交于P，M是BC的中点，证明：∠BAM=∠CAP．14.如图，设线段AB的长为2l，中点为C，以点C为圆心，小于l的任意长为半径，在AB上方作一半圆，并从A、B作这半圆的切线，切点分别记为D、E.假设DE上任意一点F处的切线与自A、B所作切线分别交于A'、B'，证明：AA'·BB'=．C卷一、填空题1.如图，半圆的圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上，且半圆与两直角边相切。假设直角三角形的面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r=。2.如图，以AB为直径的半圆中，有一个接正方形CDEF，边长为1，AC=a，BC=b，则a=，b=。3.如图，AB为⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线，AD、BC相交于P点，且P点在⊙O上。假设AC=a，BD=b，则⊙O的半径为。4.如图，M是弧CAB的中点，线段MP垂直于弦AB于P．假设AC=a，AP=b，则PB的长是。5.如图，AB是半径为a的⊙O的直径，作弦AD并延长交过B的切线于C，E为AC上的一点，且AE=CD，EF⊥AB于F.设AF=*，EF=y，则y与*的函数关系是。6.如图，PA切⊙O于A，PO延长后交⊙O于B，PC是∠APB的平分线，交AB于C，则∠PCA的度数是。7.如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影局部的面积等于。8.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC=4，三个直角三角形△ABC、△ACD、△BCD的切圆半径分别为、、，则＋＋的值是。10.如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角的度数是。二、解答题11.如图，AB为⊙O的直径，