福建省泉州市晋江市第二中学、鹏峰中学、泉港五中2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（解析版）

晋江二中鹏峰中学泉港五中2022—2023学年下学期期末高二年联考数学试卷2023年7月（满分150考试时间：150分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.【详解】化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，所以，所以.故选：D.2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为,所以“”“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.在空间中，下列说法正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；平行于同一平面两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；根据线面垂直的性质可知：D正确；故选：D．4.若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据倍角余弦公式可得，再根据，开方即可求解.【详解】因为，所以，又，则.故选：C5.若，，，则下列不等式恒成立是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式串可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.【详解】由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.当时，，排除B.，函数只有1个零点，排除C.故选：D7.著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为，经过时间天之后的新闻热度变为，其中为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数，要使该新闻的热度降到初始热度的以下，需要经过天（参考数据：）（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，，，即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.8.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点E到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取AD，BC中点N，M，正方形中心O，EF中点，连接，如图，依题意，平面，，点O是MN的中点，，等腰中，，，同理，因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心在直线上，连，正方形外接圆半径，则有，而，当点在线段的延长线（含点O）时，视为非负数，若点在线段（不含点O）上，视为负数，即有，即，解得，因此刍甍的外接球球心为O，半径为，所以刍甍的外接球的体积为.故选：A【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分9.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为A.直线与是相交直线； B.直线与是平行直线；C.直线与是异面直线： D.直线与所成的角为.【答案】CD【解析】【分析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,综上正确的结论为CD.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.10.已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】因为，两边平方可得，即可求得，从而可判断选项ABC，进而求得，从而可判断选项D.【详解】因为，两边平方可得，所以，即.对于A，，解得，A正确；对于B，因为，所以，B错误；对于C，因为，则，C错误；对于D，由选项A可知，所以，D正确.故选：AD11.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数f(x)的图象的周期为B.函数f(x)的图象关于点（，0）对称C.函数f(x)在区间[－，]上的最大值为2D.直线与）图像所有交点的横坐标之和为【答案】AC【解析】【分析】先利用函数图象，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果.【详解】依题意，，得，故A正确；，，则，当时，取最小值，则，得，即，当时，，故B错误；当[－，]，则，则，故C正确；，则，设直线与）图像所有交点的横坐标为，则，解得，故D错误；故选：AC.12.如图，直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1和2.点是直线上一个动点，过点A作，交直线于点，则（）A. B.面积的最小值是C. D.存在最小值【答案】BC【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况.【详解】设中点为，连接，以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系，则，，设，，，，且，所以，，因为，所以，即，故，即，所以，，，因为，所以，因为，故，A错误；因为，所以，即，所以三点共线，且为靠近的三等分点，所以，当且仅当，即时取等，故B正确；因为，所以，当且仅当，即时取等，故，C正确；因为，所以，因为且，所以，记，，可知单调递增，没有最值，即没有最值，故D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13.有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为___________【答案】##【解析】【分析】利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可.【详解】从位同学中任取人，有种情况；取出的人中，没有女生的情况有种，至少有名女生的概率.

故答案为：.14.已知角为第二象限角，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.【详解】因为角为第二象限角，，所以，所以.故答案为：.15.已知偶函数满足，且当时，，则_______.【答案】【解析】【分析】先求函数的周期，再利用奇偶性和周期求解.【详解】因为，所以，即周期为4；，因为时，，所以，即.故答案为：.16.如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.【详解】【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，满足，．（1）若，的夹角为，求；（2）若，求与的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先算出，再按照数量积的公式计算即可（1）根据得到，计算出，再根据即可【小问1详解】，所以，所以【小问2详解】因为，所以，所以，所以，令所以，因为，所以故与的夹角为．18.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求B；（2）设，，求c.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B；（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.【详解】（1）由正弦定理得：，而，∴，又，，∴，又，即.（2）由余弦定理，即，∴，解得.19.年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据第百分位数为．（1）求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．【答案】（1）；平均值为（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可【小问1详解】由频率分布直方图，可得，则①因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，所以，则②将①与②联立，解得．所以平均值为．【小问2详解】根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得．所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：．20.如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．（1）求证：平面PAB；（2）求证：平面PAC⊥平面PCD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可【小问1详解】（1）过E作交PA于点F，连接BF，因，所以．又，所以．又，所以所以四边形BCEF为平行四边形，所以，又CE平面PAB，BF平面PAB，所以平面PAB．【小问2详解】在梯形ABCD中，，，，，所以．所以，即因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以．又，所以CD⊥平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．21.设函数是定义域为R的偶函数.（1）求p的值；（2）若在上最小值为，求k的值；（3）若不等式对任意实数x都成立，求实数m的范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.（2）由（1）可得解析式，代入所求，即可得解析式，令，可得，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论和两种情况，结合题意，即可求得答案.（3）根据，原不等式可化为，令，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得的最小值，即可得答案.【小问1详解】是偶函数，恒成立，即恒成立，即，.【小问2详解】由（1）知，，.令，为增函数，，则，，，为对称轴为直线，开口向上的抛物线，①当时，在递增，所以，，（不合题意），②当时，，，解得或（舍去），的最小值为-4时，的值为.【小问3详解】不等式，即，，当且仅当x=1时等号成立.，令，，则，，又对勾函数在上递增，，.故实数m的取值范围为.22.如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上､点在上､点和在上､点在上，记.（1）经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？（2）设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.【答案】（1）时，最大值为百米