专题：实数与代数式

实数与代数式一、知识体系（一） 实数的有关概念实数的分类：有理数分数（有限或无限循环性数有理数分数（有限或无限循环性数）J无理数（无限不循环小数）｛负无理数整数有理数实数€无理数整数实数€无理数整数负数L无理数数轴：（1） 三要素：原点、正方向、单位长度（2） 数轴上的点与实数一一对应。相反数：实数a的相反数是-a,零的相反数还是零。（！）a、b互为相反数，则a+b=0（2）在数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。倒数：乘积为1的两个数互为倒数。零没有倒数。若a、b互为倒数,则ab=1绝对值lal=a（a>0）|a|=0（a=0）|a|=-a（aVO）非负数：形如|a|（a0）,a都表示非负数。科学计数法：把一个数写成aXlOn的形式（其中lW|a|V10,n为整数）近似数与有效数字：一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起,到精确的位数为止,所以的数字,都叫这个数的有效数字。（二）实数的运算与实数的比较大小在实数范围内,加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行,但开方运算不一定都能进行,正实数和零总能进行开方运算,而负实数只能开奇次方,不能开偶次方。有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。实数的比较大小：（1）一般规则：正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数；两个正数,绝对值大的比较大，两个负数，绝对值大的反而小。(2)利用数轴：在数轴上表示两个实数，右边的数总是大于左边的数。设a、b是任意实数，a-b>0oa>b,a-bVOoaVb,a-b=0oa=b代数式代数式的有关概念(1)代数式的分类：(2)同类项、合并同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母指数不变。去括号和添括号法则：前面是“+”，去(添)掉括号不变号；前面是“-”，去(添)掉括号要变号。整式的运算(1)加减运算：先去括号或添括号，再合并同类项。(2)乘除运算：幕的运算性质：am•an=am+n(m>n为整数，a主0)(am)n=amn(m、n为整数，a丰0)(ab)n=anbn(n为整数，a丰0,b丰0)am宁an=am~n(m、n为整数，且a丰0)a0=l(a丰0)，a-n=—=(—)n(a丰0)an a乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a土b)二a2土2ab+b2单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘。单项式与多项式相乘：与多项式的每一项分别相乘，m(a+b+c)=ma+mb+mc多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb单项式除以单项式：系数、同底数幕相除多项式除以单项式：多项式的每一项除以单项式，然后把所得的商相加。因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。基本方法：(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)(2)运用公式法：平方差公式，完全平方公式(3)分组分解法：先分组，后提取公因式或用公式(4)十字相乘法：对x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(5)求根公式法：在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求

方程ax2+bx+c=c的两个根xx，然后得ax2+bx+c=a(x—x)(x—x)1,212（6）其他方法：配方法，换元法，拆项添项法。AA分式：用A、B表示两个整式，AFB可以表示为云的形式，若B中含有字母，式子云BB就叫做分式。AAxMAA十M（1）分式的基本性质：后= ，= （其中M是不等于零的整式）BBxMBB十MTOC\o"1-5"\h\za —a a —a分式的符号法则：亍———— ——-\o"CurrentDocument"b —b —b b一a b a土b a c ad土be分式的运算：±— , ±—cccbdbdacacx— —bdbda.ca.da.cad

bdbcbdbcacacx— —bdbdaan()n= (n为正整数)b bn4） 约分：去分子和分母中的公因式5） 通分：把异分母分式化为和原来分式相等的同分母分式。6.二次根式：式子Pa（a>0）叫做二次根式。（1）二次根式的性质：（Ja）2—a（a>0）v'a2=|aIv'ab=x，a•p'b(a>0,b>0)(b>0,a>0)2）分母有理化：12）分母有理化：1<av'a二、解题思路：实数的分类：基本概念实数的比较大小：性质，数轴科学技术法的表示，注意aX10n中a的范围化简计算：考察代数式的性质、因式分解的方法与基本运算法则三.、题型体系：本专题常考题目主要有选择题、填空题与化简计算题。（一）选择题：1.（2009•北京）改革开放以来，我国国内生产总值有1978年的3645亿增长到2008年的300670亿元，将300670用科学记数法表示应为：（）A.0.30067x106B.3.0067x105C.3.0067x104D.30.067x104

解析：B考点：科学记数法的表示：把一个数写成aXlOn的形式（其中lW|a|V10,n为整数）注意a的范围以及准确的判断n（2009•江苏）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b,则下列结论正确的是（ ）B A-Lb 0a1-I（第2题）A.aB A-Lb 0a1-I（第2题）C.a一b>0 D.Ia丨一丨bl>0解析：C考点：数轴的性质：右边的数总比左边的数大，b<-l,O<a<l（2009•日照）计算—（—3a2b3）4的结果为：（）A.81a8bi2b.12a6b7c.-12a6bd.-81a8bi2解析：D考点：幂的运算性质。（am）n=amn（m、n为整数，a主0）（2006•南充）已知a<0,那么\、、：a2—2aI可化为：（）A.- B.a C.-3a D.3a解析：C考点：绝对值、二次根式的性质。av0,、'a2=-a,-a-2a=-3a，而绝对值后大于等于零，所以答案C（2007•黄冈）下列运算中错误的是：（）aac —a—b 亠 0.5a+b 5a+10b x—yy—x〒二〒-（c主0）B。• =T C。- 二 D。- =-——bbc a+b 0.2a-0.3b 2a-3b x+yy+x解析：D考点：分式的基本性质。—a—b —（a+b）r=— r=—1a+ba+b0.5a+b （0.5a+b）x10 5a+10b0.2a—0.3b（0.2a—0.3b）x10 2a—3b（2007•济南）已知整式6x-1的值为2，y2—y的值为2，则（5x2y+5xy-7x）-（4x2y+5xy-7x）为（）11111111A——口或——B—口或—— C——口或— D—口或—• 4或2B.4或2 4或2D.4或2解析：B考点：去括号、添括号法则；因式分解的方法；解方程16x-l=2,x=—,y2—y=2,y2—y—2=0，因式分解后得：(y-2)(y+1)=0,y=2或y=-l。原式=5x2y-4x2y=X2y,将所求值代入即可。(二)填空题(2009•河北)若m、n互为倒数，则mn2-(n—1)=解析：1考点：互为倒数的两个数的性质。若m、n互为倒数，则mn=1。所以，m=^，代入即可。n(2009•湖南怀化)若la-21+pb—3+(c—4)2=0,则a-b+c= 解析：-3考点：绝对值的性质、根式的性质因为lal>0,、；a—0,(a+b)2—0，而原式=0，故la-2l=0,u：b—3=0,(c—4)2=0。所以，a=2,b=3,c=4,代入式子即可。a2+b2=5,ab=2，贝I」(a+b)2= 解析：9考点：完全平方公式。(a+b)2=a2+b2+2ab(2009•杭州)在实数范围内分解因式：x4-4= 解析：(x2+2)(x+^2)(x-\；2)考点：因式分解的方法。换元法,公式法(平方差公式),令x2=a,x4—4=a2-22=(a+2)(a-2)所以，原式=(x2+2)(x2_2)=(x2+2)[x2_W2)2]=(x2+2)(x+\：'2)(x—、⑵3x+5 5 1(2008•广安)若分式 无意义，则当 - =0时，m的指为 x一1 3m一2x2m一x3解析：7考点：分式的性质。分式有意义的条件是分母不能为零。所以，分式无意义，则x-1=0,x=1.,代人，得到关于m的方程，解出m。三、化简计算11.(2009•山东济宁)计算：(兀一1)0+(2)-1+15一、：27|—2^3解析：原式=1+2+3\：3-5-2\：3=<3-2考点：幂的运算性质：= =(―)n(a丰0)以及去绝对值时符号变化：a|=-a(aV0)ana

因为5-J27<o,所以，去掉绝对值后前面应加符号。2.（2008•苏州）先化简，在求值：a；2-4-（晋-1）一（2-a，其中a=2。解析：原式 2原式=(解析：原式 2原式=(a+2)(a-2)a2+4—4a4aa-22a2 (a-2)2 2a• x—(a+2)(a—2) 4aa—2因为a=2，代入，得，原式=2。考点：分式的计算，通分，分解因式，分式的运算性质。总结：实数与代数式部分是初中数学的基础知识，难点较少，常出选择、填空与计算题，难度相对较小。做题的关键是抓住概念、熟记运算法则。尤其是分式、二次根式成立的条件部分较常出题，也是易忽略的地方。其次就是掌握分解因式的一般方法，熟记平方差、完全平方公式等。练习1.如图，数轴上A点表示的数减去B练习1.如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数,结果是（）．-301第1题图A．8 B．-8 C．2D．-22．一3的绝对值是1A3C±3B3D土一3D1.012X1012元.3．D1.012X1012元.A1012X108元B1.012X1011元 C1.0X1011元.下列各式计算正确的是A(aA(a5)2二a71B2x-2=2x2C3a22a3=6a6x2+2x—35•若使分式 的值为0,则x的取值为 （ ）x2-1A.1或-1B.-3或1C.-3 D.-3或-1徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元。则平均每次降低成本的百分率是（）TOC\o"1-5"\h\zA.8.5％B.9％C. 9.5％D. 10％若分式二有意义，则x应满足 （）x-1A.x=0 B.x工0C.x=1 D.x工1下列根式中，属于最简二次根式的是 （ ）

x-2仁2)1——9.计算x21x丿，所得的正确结果是()11x—2A、xB、x c、xD、 xA.10、已知”=5,b=2，且a+b<0，则ab的值是()B.J3A、1011.估算旦空的值.2B、-10 c、10或B.J3A、1011.估算旦空的值.2A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间12.分解因式：a3-a= 13.函数