2021年高考数学一模试卷 (31)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷（31）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.（）分）

1.设集合4={-1,0,1,2,3},B={x\x2-3x>0),则AnB=()

A.{-1}B.{-1,0}C.{-1,3}D.{-1,0,3)

2.复数zi=芸的实部为（）

A.-0B.OC.1D.2

3.已知点A,B,C,。在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量而

在荏方向上的投影为（）

A.V5

s

B.

C.2V13

13

DT

4.将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（）

A.一个圆台B.两个圆锥C.一个圆柱D.一个圆锥

已知cosa=：,aG则si/12a的值为（）

AIBc.平7

8--I

6.某校选定甲、乙、丙、丁共4名教师去3个边远学校支教,每学校至少1人，其中甲和乙必须

在同一学校的概率是（）

A4B*c.D|

7.中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、

谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的唇影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的暑影

长的和是37.5尺，芒种的唇影长为4.5尺，则冬至的辱影长为（）

A.15.5尺B.12.5RC.10.5尺D.9.5尺

8.已知直线y=x—2a2是曲线y=Inx—a的切线，则a=（）

A.-2或1B.-1或2D.-域1

9.如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5,频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）

♦S*4■*ff<Q«

1.O卜I,QL1.廿10p

A.II一B.0。4六；nun一C.o：i3»-nnncnnrD.o0-4»f.ln-iiInI.

S：

«K45601g7”|J

10.双曲线5一3=1的左、右焦点分别为F「尸2,在左支上过点&的弦A8的长为5,那么△4BF2的

周长是（）

A.12B.16C.21D.26

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABiGDi中，点P在正方体表面上移动，且满足B】PJ.BD「

则点名和动点P的轨迹形成的图形的周长是（）

A.3V2B.4V2C.3V3D.4V3

12.函数/（霜=，°82，+］），；2：：，0,则方程/（乃一日》=0的根的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

x>y

13.已知实数x,y满足了42y,则z=2%+y取得最大值时的最优解为.

3+y—640

14.设正项等比数列｛an｝满足*=81,&+。3=36,则册=.

15.己知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p>0）上的两点A,8满足存=3而，若弦AB的中点

到准线的距离为竽，则抛物线的方程为.

16.函数/（x）=ex-1-ln（2x）,则/'（x）的最小值为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.△4BC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，(b+c)(sinB+s勿C)=asinA+3csinB.

（1）求角A的大小;

(2)若b=2,a2=be,求“的值.

18.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均

生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月

的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,

在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别

加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

25周岁以上组25周岁以下组

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下

组”工人的概率.

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2x2的列联表,

并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P(X2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.如图，已知四边形ABC。为梯形，AB//CD,/.DAB=90°,8。历名为矩形，平面8。。出1_1_平

ffiABCD,又4B=40=BBi=1,CD=2.

(1)证明：CB11AD1；

(2)求当到平面AC。1的距离.

20.已知函数/'(X)=ga/+/nx.

(1)若a=-l,求/(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1］上的最大值是-3,求”的值.

21.已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,设点4(0,b),在△gF2中，

/.F1AF2—周长为4+2百.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不经过点4的直线/与椭圆C相交于M,N两点，若直线4M与AN的斜率之和为-1,求

证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为匕Z(戊为参数)

(I)以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程;

(n)若点(x,y)是圆。上的动点，求％+y的最大值.

23.已知函数f(%)=|%+2a|+|x-a|.

(1)当a=l时，求不等式f(x)N4-+2|的解集;

(2)设a>0,b>0,/(x)的最小值为f,若t+3b=3,求｝+：的最小值。

【答案与解析】

1.答案：。

解析：解：集合4={-1,0,1,2,3),

B={x\x2—3x>0}={x|x<0或x>3},

则4CB={-1,0,3).

故选：D.

解不等式得集合8,根据交集的定义写出anB.

本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

左刀1—2i1—2i(1—2i)(2—i)—Si.

解：为="=^7=^^=可=一1，

・••复数Zi=接的实部为0.

故选B.

3.答案：A

解析：解：建立如图所示平面直角坐标系,

则4(0,0),8(4,2),0(-2,3).

.,•荏=(4,2)，AD=(-2,3).

.••福而=-8+6=-2，\AB\=V42+22=2底

.响量同在南方向上的投影为鬻==

\AB\2V55

故选：A.

建立如图所示平面直角坐标系，求出A、D、8的坐标，得到荏、近的坐标，代入投影公式求解.

本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上投影的概念，是中档题.

4.答案：D

解析：

本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键，属容易题.

根据圆锥的几何特征，可得答案.

解：将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，

所得的几何体为圆锥，

故选D

5.答案：D

解析：

本题主要考查了同角三角函数的关系式，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题.

由已知及同角三角函数的关系式可先求sina的值，从而有倍角公式即可代入求值.

解：•••cosa=aG(-pO),

・•・sin2a=2sinacosa=2x-x(-----)=------♦

4k478

故选D

6.答案：A

解析:

本题主要考查古典概型的计算，属于基础题.

解：甲、乙、丙、丁共4名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，共有戏•用=36,

其中甲和乙必须在同一学校有房=6,

则甲和乙必须在同一学校的概率是P=白=1

故选A.

7.答案：4

解析：

本题考查等差数列的通项公式的应用，属较易题.

从冬至起，唇影长依次记为由,a2>a3...%2，根据题意，有%+=37.5,求值即可.

解：从冬至起，唇影长依次记为a2>a3,a12>

根据题意，有的+。4+。7=37.5,所以根据等差数列的性质，

力=12.5,而a12=4.5,

设数列的公差为d,则有［即11%解得，?=早5,

(为+11a=4.5,(.a=-1,

所以冬至的辱影长为15.5尺，故选A.

8.答案：D

解析：

本题主要考查导数的几何意义的应用.

先求导，设切点为(m,n),由几何意义得等式5=1，求出切点坐标，把切点代入直线可求〃值.

解：切点为(m,n),

因为y'=p直线y=x-2Q2是曲线y=inx-Q的切线，

所以由几何意义得等式工=1，m=l,

m

代入曲线得切点坐标为(1,—a),代入直线方程得：-a=l-2a2,.,.2a2—a-l=O,;.a=l或一

故选D

9.答案：D

解析：解：根据题意，得；

对于A,9个数据都是5,••.方差为0；

对于8和C,数据的分布比较均匀，8的方差较小些，C的方差较大些；

对于。，数据主要分布在2和8处，距离平均数5是最远的一组，

。的数据方差最大，对应的标准差也最大.

故选：D.

根据选项中数据的波动情况，结合方差与标准差的定义，得出正确的结论.

本题考查了频率分步直方图的应用问题，也考查了数据的方差与标准差的应用问题，是基础题目.

10.答案：D

解析：解:依题意，\AF2\-\AFi\=2a=S,\BF2\-\BFt\=2a=8,

•••(|4F2T*I)+(\BF2\-IBFJ)=16,又|4B|=5,

(MF2|+\BF2\)=16+(|4F1|+IBF1I)=16+\AB\=16+5=21.

\AF2\+\BF2\+\AB\=21+5=26.

即△ABF2的周长是26.

故选:D.

依题意，利用双曲线的定义可求得|4?21-|4居1=2a=8,IBF2I-=2a=8,从而可求得△

ABF2的周长.

本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线定义的灵活应用，属于中档题.

11.答案：4

解析：解：在棱长为1的正方体4BCD中，点P在正方体表面上移动，且满足BiP1BD「

可知平面ACa与直线BA垂直，所以动点P的轨迹形成的图形是正三角形AC/,

所以动点尸的轨迹形成的图形的周长是：3®

故选：A.

利用已知条件判断动点P的轨迹形成的图形的形状，然后求解周长即可.

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，轨迹形状的判断，是基本知识的考查.

12.答案：B

解析:

本题考查函数的零点与根的关系，关键是做出函数图象，数形结合分析交点个数.

解：由题意知，函数"X)=『g2(j+2)，；2：：W0,

(/(X-1),X>0,

作出函数f(x)的图象，如图所示，

又由方程/'(x)-|x=0转化为y=/(X)和y=Ix的图象的交点个数,

结合图象可知，函数y=/(x)和y=[x的图象有三个交点,

即方程f(x)-=0有三个实数解，故选B

13.答案：(4,2)

解析：

画出约束条件的可行域，利用目标函数的儿何意义得到最优解，即可.

本题考查简单的线性规划的简单应用，是基本知识的考查.

%>y

解：实数羽y满足卜(2y的如图所示区域,

3+y—6《0

把y=-2x+z,平移，当直线经过点(4,2)时，z取最大值,

最大值为z=10.

故答案为：(4,2).

14.答案：3n

解析：

【试题解析】

本题考查等比数列的通项公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题.

设正项等比数列｛an｝的公比为q,则q>0,由题意可得=81求出外即可得小.

Siq+axq=36

解：设正项等比数列｛an｝的公比为矶则q>0,

由04=81，@2+。3=36,得,19工2)於，

(Qiq+Qiq'=36

解得：q=3或q=舍去)，

所以名=3,

所以斯=3x3nT=3n.

故答案为3n.

15.答案：y2=8%

解析：解：抛物线C：y2=2px的焦点尸g,0),

由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0,设直线AB的方程y=

设4(41，比)8(X2，、2)，A8的中点M(x,y),

而得一卬一%)，丽=(久2-泉丫2)，由方=3而，

=3(X2则3%2+Xi=2p,①

jy,k(%之)，整理得：k2%2_(卜2++SL=0,

(y2=2px4

由韦达定理可知：%14~%2=；2"，②%1%2=j③

由①②解得：XL*,X2;号,

代入③，解得：k2=3,

则％=中=¥，M到准线的距离d=x+§=¥，

2623

•••y=解得：p=4,

••・抛物线的方程为y2=8x.

故答案为：y2=8x.

设直线/的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得上的值，根据中点坐标

公式求得M的横坐标，则例到准线的距离d=》+。=与，即可求得”的值，求得抛物线方程.

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，中点坐标公式，考查计算能

力，属于中档题.

16.答案:1-ln2

解析：依题意知此函数的定义域为(0,+8),/(x)=ex-1-i,令((%)=0,则％=1,当0VX41

时，/'Q)W0恒成立，当%>1时，(。)>0恒成立，・・・/(乃在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，;当

%=1时，/(%)有最小值为1-ln2.

222

17.答案:解：(1)根据正弦定理得，(b+c)2=小+3bc,b+c-a=be,即cos/=庐+。2-。2=上

2ab2

•.T是三角形ABC的内角，・•./=会

2

(2)va=be,b=2fc=

由⑴得,b2+c2—a2=be,•••(a2—4)2=0.即a2=4.

为三角形边，二a=2.

解析：（1）根据正弦定理得到广+©2-。2=儿，进而求出cosA,结果可求；

（2）根据已知求出c=结合（1）中结论得到a的值.

考查了正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用.

18.答案：解：（1）由已知得：样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，

所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有60x0.05=3人，分别记为：41〃2,

4,

25周岁以下组有工人40x0.05=2人，分别记为B2,

从中随机抽取2人,可能情况为（4,4），（&，/），（4，%）,（儿初,（&,&），（&，&），（A2，4），

（砥/），（原初，（当,％）共10种，

其中至少有1名“25周岁以下组”的结果有7种，

故所求概率为P=《；

（2）由频率分别直方图可知：在抽取的100名工人中，

“25周岁以上组”中的生产能手60x0.25=15人,

“25周岁以下组”中的生产能手40x0.375=15人，

据此可得2x2列联表:

生产能手非生产能手合计

25周岁以上组154560

25周岁以下组152540

合计3070100

n(ad-bc)2100x(15x25-45x15)2

所以K2=x1.786<2,706.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x30x70

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

解析：（1）根据分层抽样，求得样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，由频

率分布直方图日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，随

机抽取2人，求得所有可能的结果，根据古典概型公式求得至少抽到一名“25周岁以下组”工人的

概率：

(2)据2x2列联表，代人求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，/<2«

1.786<2.706,没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

本题考查根据频率分布直方图的应用，考查独立性检验的概率情况，以及随机分布的概率的计算,

考查运算能力，属于中档题.

19.答案：证明：(1)・••BZWiBi是矩形，且平面生

BDDiB11平面ABCD,/\

BB]_L平面ABCD,DDi1平面ABCD,

在Rt△D/C中，=V5)也=V2,ABr=V2.

连结AC,在梯形ABC。中，N/X4B=90°,AD=AB=

1,DC=2,

•••AC-V5，BC=V2,B[C=V3>

在ABiCiC中，DrC=V5,B[D1=BD=&,

B、C=V3»BiC1Bi%,

在ZiBiCA中，B1C=V3,ABX=V2,AC=V5,

B]C1ABt,

B]D[nABr=Bi，■1•B]C1^8124,

ADXu平面8也4CB]1ADr.

解：(2)在△Bi。]?!中，ABr=B1D1=V2,ADr=V2>

则小的面积S=手.(V2)2=y,

.•・四面体勺一4。11c的体积V=|xyxV3=i,

在△4C0i中，AC=CDr=V5;而

等腰△AC%的边4么上的高d=J(V5)2-(y)2=专，

ACC]的面积S=|xV2x宠=g,

设当到平面AC。1的距离为h,由等体积法得;SAA^C♦h=VBi_ADiC,

•••|x|x/i=I，解得h=1.

•1•当到平面ZCDi的距离为1.

解析：⑴推导出SB11平面4BCO,皿1平面ABC。，连结AC,推导出1.B1],B^C

从而B]C_1面当。14由此能证明CBi1ADr.

(2)求出四面体Bi-ADiC的体积l/=1x当x^=£设当到平面4CD]的距离为〃，由等体积法得

->5A4D1C,h—%[-4£)iC，由此能求出B1到平面AC。1的距离.

本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：(l)f(x)的定义域是(0,+8),

、।1—x2+l

/(x)=-x+-=—

令r(x)=0,则%i=l,必=一1(舍去)，

当x6(0,1)时，f(x)>0,故/(x)在(0,1)上单调递增;

当x6(1,+8)时，fr(x)<0,故/(%)在(1,+8)上单调递减.

axz+l

(2)/，(x)=ax+-=

x

①当a20时，/'(%)在(0,+8)上单调递增,

故在(0,1]上的最大值是f(l)==-3,显然不合题意;

a<0,

②若口>1即一1<a<0时,

(0,1]£(0,J-i],则/(x)在(0,1]上是单调递增,

故在(0,1]上的最大值是/(1)=：。=一3,不合题意，舍去;

a<0,

③若iv]即aV—1时,

故在(。国上的最大值是/(R)工=_3,解得a=-e5,符合,

-2na

综合①，②，③，得。=—e5.

解析：本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，函数的导数的应用，考查分类讨论思想以及

转化思想的应用，是中档题.

(1)求出函数的导数/'(乃=一%+：=亭，通过/(x)=0,求出极值点，判断导函数的符号，然后

求解函数的单调区间.

(2)①当a20时，/(x)在(0,+8)上是增函数，判断最值不合题意.②一lWa<0时，判断函数的

最值不合题意；③若a<-1时，通过/(%)在(0,6)上单调递增，在(E，l)上单调递减，故在(0,1]

上的最大值求解a即可.

21.答案:⑴解:由“仍=与=>」尸记0=或

•••a=2b=~Y~C,①

又44产出的周长为4+2V3,

2a+2c=4+2V3>②

联立①②，解得

・,・椭圆方程为弓+y2=1；

(2)证明：设NQ2J2)，

当直线/的斜率存在时，设直线/方程：y=/c%+?n,且mwl,

,(y=kx-^m

由I/+4y2_4=(1+4/co2)%o2+8kmx4-4(mo2-1)=0.

4、c.8km4(m2-l)

J>0,X1+X2=__

依题：k4-k==-1,

AMANxlx2

•••yi=kXI4-m,y2=kx2+m,

.kXi+m-l

kx2+Tn-l_1

X1X2

・•・2k+(m—1)•=—1=>m=—2k—1.

xlx2

,直线/方程为：y=kx+m=kx—2k—1=k(x—2)—1,

则过定点(2,-1).

当直线/的斜率不存在时,

(yLl)Xz+(yzT)Xi

由+^AN—1,%!=%2»y-L=—丫2,

X1X2

得％=亚=2,此时直线/的方程为％=2,显然此时只有一个交点，不符合题意舍去,

综上可得直线/过定点(2,-1).

解析：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是较难题.

(1)由已知可得a,c的关系，结合周长求得a,c,进一步