2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级第一学期月考数学试卷（9月份）一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．计算＝（）A．4 B．2 C．2 D．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≥2 C．x＝2 D．x＜﹣23．下列二次根式中，与﹣5是同类二次根式的是（）A． B． C． D．4．已知a＝﹣1，b＝，则a与b的关系（）A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣15．已知a﹣b＝2﹣1，ab＝，则（a+1）（b﹣1）的值为（）A．﹣ B．3 C．3﹣2 D．﹣16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．20257．观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（）A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论8．下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程：缘缘：两边同除以（x﹣3）得：3＝x﹣3，解得：x＝6．芳芳：移项，得：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝0．下列判断正确的是（）A．缘缘和芳芳都错 B．缘缘错，芳芳对 C．缘缘和芳芳都对 D．缘缘对，芳芳错9．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A． B． C．k＜且k≠2 D．且k≠210．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算的值是．12．已知x＝，则x﹣＝．13．若根式与为同类最简二次根式，则等于．14．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根．则k的取值范围是．15．如图，在一个边长为8cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是54cm2，则小正方形的边长为cm．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：（1）；（2）（）；（3）（）+；（4）（﹣）﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|．17．解方程：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；（因式分解法）（2）x2﹣4x+5＝0；（公式法）（3）x2﹣2x﹣4＝0；（配方法）（4）4（x2﹣x）＝﹣1．（适当方法）18．已知a，b，c满足．（1）求a，b，c的值；（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．19．已知关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）若方程的一个根是﹣1，求方程的另一个根及k的值．20．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是；（2）若售价为每顶50元，求每周的销售利润；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？21．阅读与思考互为有理化的一对无理根的一元二次方程我们知道，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x1＝，x2＝．若是一个无理数，则x1，x2也都是无理数，我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．例如：一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为，x2＝，它们就是互为有理化的一对无理根．又如：方程x2＝7的两根，也是互为有理化的一对无理根．判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：①x1和x2是两个无理数；②x1•x2是一个有理数．如：，是无理数，且＝．∴x1，x2是互为有理化的一对无理根．显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．任务：（1）填空：材料中的m＝，n＝．（2）求一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．（3）若方程x2+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程x2+px+q＝0的另一根及p，q的值．22．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．23．阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．继续进行以下的探索：设a+b（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n都是正整数时，若a﹣b，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用上述方法，填空：21﹣4＝（﹣）2；（3）如果a﹣6，且a，m，n都是正整数，求a的值．

参考答案一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．计算＝（）A．4 B．2 C．2 D．【分析】先化简分子，再约分即可得．解：原式＝＝2，故选：B．【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的常用方法．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≥2 C．x＝2 D．x＜﹣2【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．解：∵式子在实数范围内有意义，∴2﹣x≥0，x﹣2≥0，解得：x＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．3．下列二次根式中，与﹣5是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与是同类二次根式，本题得以解决．解：∵，，，，∴与﹣5是同类二次根式的是，故选：A．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．4．已知a＝﹣1，b＝，则a与b的关系（）A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1【分析】本题可先将b分母有理化，然后再判断a、b的关系．解：∵b＝＝，∴a＝b．故选：A．【点评】本题主要考查了分母有理化的计算方法，在分母有理化的过程中，正确找出分母的有理化因式是解决问题的关键．5．已知a﹣b＝2﹣1，ab＝，则（a+1）（b﹣1）的值为（）A．﹣ B．3 C．3﹣2 D．﹣1【分析】把原式化简为含ab、a﹣b的形式，再整体代入计算．解：∵a﹣b＝2﹣1，ab＝，∴（a+1）（b﹣1）＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣（a﹣b）﹣1＝﹣（2﹣1）﹣1＝﹣．故选：A．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．2025【分析】由题意知，a+b+2＝0，则a+b＝﹣2，根据2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），计算求解即可．解：由题意知，a+b+2＝0，∴a+b＝﹣2，∴2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2023﹣（﹣2）＝2025．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．7．观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（）A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论【分析】根据题意确定蕴含的思想方法．解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、数学思想，正确区分所学的数学思想是解题的关键．8．下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程：缘缘：两边同除以（x﹣3）得：3＝x﹣3，解得：x＝6．芳芳：移项，得：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝0．下列判断正确的是（）A．缘缘和芳芳都错 B．缘缘错，芳芳对 C．缘缘和芳芳都对 D．缘缘对，芳芳错【分析】根据等式的基本性质和解一元二次方程的方法和步骤判断即可．解：缘缘：根据等式的基本性质可知等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，∵x﹣3的值不确定是否等于0，∴缘缘的解方程错误；芳芳：提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，∴芳芳的解方程错误．故选：A．【点评】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤并正确计算是解题关键．9．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A． B． C．k＜且k≠2 D．且k≠2【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，解得k≤且k≠2，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算的值是4﹣1．【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并即可．解：原式＝﹣1+3＝4﹣1．故答案为4﹣1．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12．已知x＝，则x﹣＝4．【分析】先化简x的值，利用倒数表示＝﹣2，再把x、值代入代数式求值．解：∵x＝＝+2，∴＝﹣2，原式＝﹣（﹣2）＝4．故本题答案为：4．【点评】本题考查了二次根式的化简求值以及分式求值的计算．13．若根式与为同类最简二次根式，则等于3．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．解：∵根式与为同类最简二次根式，∴2x﹣3＝x+1，∴x＝4．∴＝＝＝3．故答案为3．【点评】本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根．则k的取值范围是k≤且k≠0．【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8k≥0，解得k≤且k≠0．故答案为：k≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．15．如图，在一个边长为8cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是54cm2，则小正方形的边长为1cm．【分析】设小正方形的边长为xcm，则小长方形的宽为xcm，长为4cm，利用折成的长方体盒子的表面积＝大正方形的面积﹣2×小正方形的面积﹣2×小长方形的面积，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．解：设小正方形的边长为xcm，则小长方形的宽为xcm，长为×8＝4（cm），根据题意得：8×8﹣2x2﹣2×4x＝54，整理得：x2+4x﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴小正方形的边长为1cm．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：（1）；（2）（）；（3）（）+；（4）（﹣）﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|．【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（3）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后分母有理化，最后合并即可；（4）先根据绝对值和零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可．解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝2﹣﹣+＝+；（3）原式＝÷+5＝×+5＝+5＝6（﹣）+5＝6﹣6+5＝6﹣；（4）原式＝﹣﹣2+1+﹣2＝﹣﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂的意义是解决问题的关键．17．解方程：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；（因式分解法）（2）x2﹣4x+5＝0；（公式法）（3）x2﹣2x﹣4＝0；（配方法）（4）4（x2﹣x）＝﹣1．（适当方法）【分析】（1）先移项，再因式分解即可求解；（2）先由题意得a＝1，b＝﹣4，c＝5，再根据Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0得出方程无实数解；（3）先将常数项移到方程右边．再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边化成完全平方式，最后再开方即可求解；（4）先方程两边同时除以4，再移项，得，则有，然后开平方即可求解．解：（1）移项，得5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，分解因式，得（x﹣3）（5x﹣2）＝0，x﹣3＝0或5x﹣2＝0，∴x1＝3，；（2）∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，∴原方程无实数根；（3）移项，得，x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝4+1（x﹣1）2＝5∴，；（4）4（x2﹣x）＝﹣1，，，∴．【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．18．已知a，b，c满足．（1）求a，b，c的值；（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解．解：（1）∵，∴，b﹣5＝0，＝0，∴，b＝5，；（2）以a，b，c为边不能构成直角三角形．理由如下：∵a2＝8，b2＝25，c2＝18，∴较小的两边之和为：a2+c2＝8+18＝26，∴a2+c2≠b2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．【点评】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．19．已知关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）若方程的一个根是﹣1，求方程的另一个根及k的值．【分析】（1）因为关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可；（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入方程，求出k的值，再解方程即可求得方程的另一个根．解：（1）∵关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4•k•（﹣1）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1且k≠0；（2）∵方程的一个根是﹣1，∴k×（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝0，解得k＝﹣1，∴﹣x2﹣2x﹣1＝0，即x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．即另一个根为﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解的定义，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．20．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是y＝100+20x；（2）若售价为每顶50元，求每周的销售利润；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？【分析】（1）利用平均每周的销售量＝100+40×，即可找出y与x之间的函数关系式；（2）利用每周的销售利润＝每顶的销售利润×每周的销售量，即可求出结论；（3）利用每周的销售利润＝每顶的销售利润×每周的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论．解：（1）根据题意得：y＝100+40×＝100+20x．故答案为：y＝100+20x；（2）根据题意得：（50﹣40）[100+20×（68﹣50）]＝10×[100+20×18]＝10×[100+360]＝10×460＝4600（元）．答：每周的销售利润为4600元；（3）根据题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，当x＝3时，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合题意，舍去；当x＝20时，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合题意．答：每顶头盔应降价20元．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．阅读与思考互为有理化的一对无理根的一元二次方程我们知道，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x1＝，x2＝．若是一个无理数，则x1，x2也都是无理数，我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．例如：一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为，x2＝m，它们就是互为有理化的一对无理根．又如：方程x2＝7的两根，也是互为有理化的一对无理根．判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：①x1和x2是两个无理数；②x1•x2是一个有理数．如：，是无理数，且＝n．∴x1，x2是互为有理化的一对无理根．显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．任务：（1）填空：材料中的m＝，n＝1．（2）求一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．（3）若方程x2+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程x2+px+q＝0的另一根及p，q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系求得即可；（2）解方程求得方程的解即可判断；（3）根据互为有理化的一对无理根的概念即可求得方程x2+px+q＝0的另一根，利用根与系数的关系即可求得p，q的值．解：（1）材料中的m＝，n＝1．故答案为：，1．（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝1+21＝22＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根为x1＝，x＝，∴该方程的两根是互为有理化的一对无理根．（3）由题意可知，方程x2+px+q＝0的另一根是1﹣，∴﹣p＝1++1﹣，q＝（1+）（1﹣），∴p＝﹣2，q＝﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，无理根的概念，熟练掌握新概念以及根与系数的关系是解题的关键．22．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，可得DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°，结合，再解方程并检验即可；（2）由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t，可得P