2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）(教师版)

2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。(共12题；共60分)

1.设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=().

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设2=a—bi,2(z+z)+3(z—z)=5z—z=4a+6bi=44-6i,所以a=b=l,所以z=l+i。

故答案为：C

【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ},T={t|t=4n+l,nGZ},则SnT=()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】当n=2k(fceZ)时,s={s|s=4k+l,fcez},

当n=2k+l(keZ)时,S={s|s=4k+3,kEz}

所以rUS,所以snr=r,

故答案为：c.

【分析】分n的奇偶讨论集合S。

3.已知命题p：3xGR,sinx<l；命题q：VxGR,>1,则下列命题中为真命题的是()

A.pAqB.-!pAqC.pA-iqD.-l(pVq)

【答案】A

【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用

【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，

故答案为：A

【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。

4.设函数f(x)=仔，则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

【答案】B

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析1【解答】因为f(x)=三=一1+等，所以函数的对称中心是所以函数f(x)向右平移1个

单位，再向上平移1个单位后关于(0,0)中心对称，而四个选项中只有B满足条件，

故答案为：Bo

【分析】将函数变形为f(x)==-l+=后，判断。

5.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BiDi的中点，则直线PB与ADi所成的角为()

nn

C.D.

46

【答案】D

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图，连接AC,设AC与BD交于0,连接0Di,AD1,BP,设正方体的棱长为X,

因为D#||0B||BD,且DiP=B0=gBD,所以四边形0D1PB是平行四边形，所以BP||0办,所以/劣。

即为所求的角，易证40，平面BDDiBi,故4010D1,又40=^AC="人所以々。1。/

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：底盘胆=240,

故答案为：C.

【分析】利用排列与组合来求解。

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的i倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移I个单位

长度，得到函数丫=5所体?)的图像，则f(x)=()

A.sin(|一得)B.sin(|+^)C.sin(2x-瑞)D.sin(2x+^)

【答案】B

【考点】由丫=人5的(3X+巾)的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y=y=sin(x-?)的图像上所有的点向左平移平移g个单位,

纵坐标不变，得到y=sin(x+*),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期

变原来的2倍，就得到函数y=sin(|+^),故答案为：Bo

【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于\的概率为()

4

A7-23…9-2

A・一B.-C.-D.一

432329

【答案】B

【考点】几何概型

【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且0<a<l,l<b<2,在平面直角坐标系内，a,b的取值，

表示为一个正方四个顶点：0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作直线a+b=:,

满足a+b>:的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，

4

直线a+b=彳与正方形的两个交点分别为G，1),(0；),则可计算事件(a+b>:R人svyf概率为P=1—：X：x

1_23

2-32，

故选B。

【分析】利用几何概型解答。

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,

G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表高"，EG称为"表距”,

GC和EH都称为"表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差"。则海岛的高AB=().

表副■■装距,亲力

”A,表日距的差+表问

表高X表距主吉

D表目距的差一表1al

表高乂衰距

c.+表距

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

【答案】A

【考点】解三角形的实际应用

【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M,

B

则AB=AM+BM,设=a,/BFM=/?,则

黑一焉=MF-MD=。吃因为tan0=得,tana=霁,所以黑~^=MB（高一品）=MB噎-

凯•普），所以■=磊|+表氤

故答案为：A.

【分析】通过作辅助线，（如图），然后利用解直角形的知识来解答。

2

10.设awO,若x=a为函数j（x）=a（x—a）（x—|,）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则（如图1）,必有a<b,ab<a2.故B,C项错;

图①

当a<0时，若a为极大值点，则(如图2),必有a>b>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

22

11.设B是椭圆C：、+看=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|pB|<2b,则C的

ab

离心率的取值范围是()

A.除1)C.(0,与D.(0,i]

【答案】C

【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质

22222

【解析】【解答】依题意，点B(O,b),设P(xo,yo),则有=x0+(y0—b')=a(l—登)+y0—2by0+b

-3yo2-2byo+c2+2b2W4b2,移项并用十字相乘法得到：⑶。+好(一+3匹)三0,

因为—战y()+b>0,~^yo+~—券-W0恒成立，即一"(—b)+^~<O'lfi成立，

据此解得a?>2c2,故ee(0号,

故答案为：C。

【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2,再根据椭圆上任意点的纵坐标yo的取值范围，解相关

不等式得到结果。

12.设a=21nl.01,b=lnl.02,c=>/L04-1，则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质

【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(l+x)-VlT2^+1，则b-c=f(0.02),则Z7。)=W一

当X>0时，1+%=J(1+久)2=,(1+2)+%2>J(1+2%,

所以f/(x)<0,所以f(x)在(0,+—)单调递减，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再构造函数g(x)=21n(l+x)-71+4X+1,则a-c=g(0.01),而g«x)=£-?

当0<x<2时，Vl+4%>Vl+2%+x2=1+X,

所以g/(x)>0,所以g(x)在(0,2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)=0,飘i>c,所以b<c<a,

故答案为：B

【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)

13.已知双曲线C：2=1(m>0)的一条渐近线为国*+my=。，则C的焦距为.

【答案】4

【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质

2

【解析】【解答】因为又曲线方程c：A—y2=1(6>0),一条渐近线是bx+my=0,以6=3,

所以双曲线方程是^—y2=1,2c=2yjm+1=4,

故答案为：4

【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。

14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(d-入行)_1_3，贝ij入=°

【答案】I

【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】【解答】因为£=(1,3),b=(3,4),=々一部=(1-34,3-44),(aTb)_Lb，所以m一助)xb

=0，

所以(3,4)x(1-34,3-4；!)=0=/l=|,

故答案为：

【分析】先计算出之一；^的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为V3，B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

【答案】2V2

【考点】余弦定理，三角形中的几何计算

(解析】【解答】ShABC=|acsinB=|acsin60°=，ac=V5今ac=4,

于是b—Va2+c2-2accosB=y/a2+c2-ac=72ac—2V2

【分析】根据面积的值，计算出ac,再由余弦定理求解。

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则

所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

【答案】②⑤或③④

【考点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

故答案为：②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(共5题；共60分)

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一

台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为定和歹，样本方差分别记为相和S2?

(1)求我,y,si2,s22；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x>2Bp，则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

【答案】(1)解：各项所求值如下所示

X=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

歹=((10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

si=9

x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,

sj=—X[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

(2)由⑴中数据得y-x=0.3,2叵1=0.34

显然9-无＜2受隹,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

\10

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数元歹，再直接用公式计算S?,S?;

⑵由(1)中的数据，计算得：y-X=0.3,2叵1=0.34,显然歹-元V2叵1,可得到答案。

710\10

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB1.AM,

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

【答案】⑴解：因为PDJ■平面ABCD,且矩形ABCD中，ADJLDC,所以以DA.DC，DP分别

为x,y,z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

Z

设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(1,1,0),P(0,0,1),所以~PB=(t,1,-1),AM

,1,0),

因为PBJLAM,所以PB,AM=--+1-0,所以t=V2，所以BC=>/2。

(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z),由于标=(-或，0,1),则

m•Ap=-V2x+z=0

｛一或c

m，AM=-Yx+y=0

令x=&,得沆=(鱼，1,2)o

设平面PMB的一个法向量为n=(xl,/,?),贝I」

1n•CB=鱼/=0

n*PB=&％亡+yt—=0

令俨=1,得n=(0,1,1).

所以cos(沅，记)=照=熹=四，所以二面角A-PM-B的正弦值为迤.

【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；

(2)呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。

21

19.记Sn为数列同｝的前n项和，bn为数列｛Sn｝的前n项和，己知S+V=2.

(1)证明：数列｛6｝是等差数列；

(2)求｛an｝的通项公式.

s

【答案】(1)由已知£+==2,则I-=Sn(n>2)

3九°n°n+i

=空-1+*=2=2b-i+2=2b=b-b-i=:(n>2),bi=1

°nDnnnnn22

故｛b"是以|为首项，为公差的等差数列。

(2)由⑴知bn=|+(n-1)>*则V++=2nS仔普

3

n=l时,ai=Si=

n+2n+11

n>2时,an=Sn-Sn-l=

n+1nn(n+l)

故an=｛i

一丽?n22

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式

【解析】【分析】(1)根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。

(2)呈上，先写出bn,再求｛bn｝前n磺的和Sn,再由an耳Sn的关系，进一步求得结果。

20.设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。

(1)求a；

(2)设函数g(x)="W，证明：g(X)<1-

xf(X)

【答案】(1)]xf(x)r=x'f(x)+xF(x)

当x=0时，[xf(x)]z=f(O)=lna=O,所以a=l

(2)由f(x)=ln(l・x),得xVl

当OVxVl时,f(x)=ln(l-x)<0,xf(x)<0；当xVO时，f(x)=ln(l-x)>0,xf(x)<0

故即证x+f(x)>xf(x),x+ln(l-x)-xln(l-x)>0

令l-x=t(t>0且t*l),x=l-t,即证l-t+lnt-(l-t)lnt>0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)Int,

则f(t)=-l-i-［(-l)lnt+呼］=-l+?+lnt-9=lnt

所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故f(t)>f(1)=0,得证。

【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】(1)先对函数y=xf(x)求导：［xf(x)］，=x，f(x)+xF(x),因为x=0是方程的根，代入求得a

值。

(2)首先由(1)写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明x+f(x)>xf(x),即证：x+ln(l-x)-xln(l-x)

>0,然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。

21.己知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p：

(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB的最大值.

【答案】(1)解：焦点F(0,p到x?+(y+4)2=1的最短距离为£4-3=4,所以p=2.

2

(2)抛物线y=^x,设A(X1,yi),B(X2,y2)>P(XO,yo),则

]P4=y=]xl(X-X)+yl,

\PB-y—2X2X-yz'且X。=-y0_8yo_15.

_1

\PA'1PB都过点P(xo,yo),则_产、°y”故(/ie：y0=l%ox-y,即y=^Xox-y0.

y0=5x2x。—y2>

X416

联立｛、一2X°_y。,得x?_2xox+40=0,A=x0-y0.

2y

x=4y

I----2__________,_____I________用-4yoi

所以lABl=Jl++J4xA16yo="^F4F%，dP*B-不：,所以

-44-42

SM4B=.dPTAB=||XOyol,7xo-y0=\(X4y0)2=1(-y0-12y0-15)2.

而yoe［-5,-3］.故当yo=-5时，SAP4B达到最大，最大值为20V5.

【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用

【解析】【分析】(1)因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1,据此得到结果；

(2)由(1)写出抛物线的标准方程，分别设出切点A,B的坐标，及P(在圆M上)的坐标，分别写出

两条切线的方程，利用A,B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。

四、［选修4一4：坐标系与参数方程］(共1题；共10分)

22.在直角坐标系xOy中，。(:的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出0C的一个参数方程；

(2)