第五章频率分析法教材课件

第五章

频率分析法频率分析法的特点1、有明确的物理意义：频率特性可以用实验方法测定；2、可以方便有效地分析噪声的控制问题。§5.1频率特性(FrequencyCharacteristic)1频率特性的基本概念

(1)频率特性的定义:系统在正弦函数的输入时,稳态输出信号的向量表达式与输入信号的向量表达式之比对频率ω的关系特性。

例如：设有下列RC网络，在输入端加入信号：r（t）=UrSinωt时，

有：c（t）=UcSin（ωt+φ）,c（t）为一个与r（t）同频率的正弦输出响应，只是幅值和相角发生了变化。

c（t）r（t）CR自动控制原理Chapter5FrequencyAnalyticalMethod第五章

频率分析1由于该网络的传递函数为：

C（S）1G（S）==其中T=RCR（S）TS+1如果c（t）与r（t）用复向量表示，则有：

C（jω）Zc1/jωC11====R（jω）Zr+ZcR+1/jωC1+jωRC1+jωT

ejφ（ω）==A（ω）ejφ（ω）=G（jω）√1+ω2T2

其中φ（ω）=-arctgωT-----c（t）与r（t）之间的相位差，A（ω）=1/√1+ω2T2-----c（t）与r（t）的幅值之比，定义:φ（ω）为系统的相频特性(phase-frequencycharacteristic)；A（ω）为系统的幅频特性(amplitude-frequencycharacteristic)；

而：A（ω）ejφ（ω）则完整地描述了系统在正弦输入下系统输出之间随频率ω的变化规律------定义G（jω）为系统的频率特性。自动控制原理由于该网络的传递函数为：2

比较网络的传递函数和复向量表达式，可见它们之间可以通过下式进行转换：（证明见教材P198-199）

G（S）︱S=jω=G（jω）

即：对于一个线性定常系统，若已知其传递函数G（S），只要将G（S）中的S以jω来代替，便可以得到系统的频率特性表达式。

2

频率特性的几何表示法常用的几何表示法有：

极坐标图：即系统幅相频率特性曲线（幅相曲线）。用以在复平面上描述系统频率特性Bode图（对数坐标图）：即系统对数频率特性曲线。用以在对数坐标系中描述系统频率特性；尼柯尔斯图（对数幅相图）：用以描述闭环系统的频率特性。（1）幅相曲线

绘制幅相曲线时，以ω为参变量（ω：0→+∞），将幅频特性和相频特性同时表示在复平面上。自动控制原理比较网络的传递函数和复向量表达式，可见它们之间可以通过3例如：RC网络的频率特性，根据其A（ω）和φ（ω）的表达式，在参变量ω∈[0→∞）时，可绘制RC网络的幅相曲线如右图所示。1（ω=0，φ=0）0φ∣G（jω）∣jω=∞，φ=90°（2）对数频率特性曲线(Bode图)

对数频率特性的定义：

L（ω）=20lg∣G（jω）∣--------对数幅频特性

φ（ω）=∠G（jω）-----------------对数相频特性对数频率特性曲线：由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。横坐标：表示频率ω（rad/s），对数分度lgω（对ω不均匀）；

纵坐标：表示对数幅频特性时，为对数幅频特性的函数值（dB）；表示对数相频特性时，为对数相频特性的函数值（弧度或度）；纵坐标为均匀分度。自动控制原理2003.9.(5-4)例如：RC网络的频率特性，1（ω=0，φ=0）0φ∣4对数分度方法：由于

ω110100100010000…lgω

0

1

2

3

4

…ω12345678910lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1十倍频程十倍频程12345678910203040506080100ω一倍频程一倍频程二倍频程结论:(1)一个十倍频程=3.32×一倍频程(lg10÷lg2=3.32)；(2)频率每变化一倍(一倍频程),其间隔距离为0.301个单位长度。自动控制原理2003.9.(5-5)对数分度方法：由于ω110100100010000…lgω53几种确定频率特性的方法（1）实验法：改变ω→频率特性曲线→频率特性→G（S）；（2）解析法：G（S）→G（jω）→频率特性；（3）零极点图法： §5.2典型环节的频率特性(FrequencyCharacteristicofTypicalLink)1比例环节:传递函数G(S)=K频率特性G（jω）=K(1)幅相曲线:

幅频特性A（ω）=K(与ω大小无关)相频特性φ（ω）=0°∴比例环节的幅相曲线为复平面实轴上的一个点(K,0)；见图(a)所示。jK0(a)比例环节的幅相曲线自动控制原理2003.9.(5-6)3几种确定频率特性的方法（1）实验法：改变ω→频6（2）对数频率特性曲线(Bode图):

对数幅频特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgK(与ω大小无关)

对数相频特性φ（ω）=0°故：

比例环节的Bode图如下图(b)所示。

20lgK0φ（ω）ωωL（ω）0(b)比例环节的Bode图2积分环节：传递函数G(S)=1/S频率特性G（jω）=1/jω=A（ω）ejφ（ω）=1/ω·e－j90°

(1)幅相曲线:

幅频特性A（ω）=1/ω

相频特性φ（ω）=-90°自动控制原理2003.9.(5-7)（2）对数频率特性曲线(Bode图):对数幅频特性L7积分环节的幅相曲线为复平面负虚轴部分；见下图(a)所示。（2）对数频率特性曲线(Bode图):(a)积分环节的幅相曲线ω→0ω→∞j0φ（ω）－20dB/decL（ω）1010-90°200ωω(b)积分环节的Bode图对数幅频特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=－20lgω

对数相频特性φ（ω）=－90°

积分环节的Bode图如下图(b)所示。

3微分环节：传递函数G(S)=S频率特性G（jω）=jω=ω·ej90°

自动控制原理2003.9.(5-8)积分环节的幅相曲线为复平面负虚轴部分；见下图(a)所示。（28(1)幅相曲线:∵幅频特性A（ω）=ω

相频特性φ（ω）=90°∴微分环节的幅相曲线为复平面正虚轴部分；见下图(a)所示。（2）对数频率特性曲线(Bode图):∵对数幅频特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgω

对数相频特性φ（ω）=90°∴微分环节的Bode图如下图(b)所示。

ω→0(a)微分环节的幅相曲线ω→∞j020dB/decL（ω）101090°200φ（ω）ωω(b)微分环节的Bode图自动控制原理2003.9.(5-9)(1)幅相曲线:（2）对数频率特性曲线(Bode94惯性环节:传递函数G(S)=1/(1+TS)频率特性G（jω）=1/(1+jωT)=A（ω）ejφ（ω）(1)幅相曲线:

幅频特性A（ω）=1/√1+ω2T2

相频特性φ（ω）=-arctgωT

惯性环节的幅相曲线见下图(a)所示。(RC网络的相频特性)

（2）对数频率特性曲线(Bode图):1）对数幅频特性：L(ω)=20lgA（ω）=－20lg√1+ω2T2

当ωT<<1即ω<<1/T时,L(ω)≈0当ωT>>1即ω>>1/T时,L(ω)≈－20lgωT此时,斜率为–20Db/dec,与零分贝线的交点为ω=1/T,

该频率称为交接频率。即惯性环节的交接频率为ω=1/T。故:惯性环节的对数幅频特性曲线可以用两条直线来近似地描绘。如要精确绘制时需要对其进行修正(见教材P204)。

自动控制原理2003.9.(5-10)4惯性环节:(1)幅相曲线:幅频特性A（ω102）对数相频特性：φ（ω）=-arctgωT

ω=0时，φ（0）=0°…ω=1/T时，φ（1/T）=-45°…ω=∞时，φ（∞）=-90°所以，惯性环节的Bode图如下图(b)所示。

－20dB/decL（ω）1/T0-90°200φ（ω）ωω(b)0(ω=∞，φ=90°)1（ω=0，φ=0）0φA（ω）j(a)惯性环节的频率特性曲线图

自动控制原理2003.9.(5-11)2）对数相频特性：φ（ω）=-arctgωTω=0时115一阶微分环节:传递函数G(S)=1+TS频率特性G（jω）=1+jωT=A（ω）ejφ（ω）(1)幅相曲线:相频特性φ（ω）=arctgωT

∴惯性环节的幅相曲线见下图(a)所示。

（2）对数频率特性曲线(Bode图):1）对数幅频特性L(ω)=20lgA（ω）=20lg√1+ω2T2

∵幅频特性A（ω）=√1+ω2T2

当ωT<<1即ω<<1/T时,L(ω)≈0当ωT>>1即ω>>1/T时,L(ω)≈20lgωT

此时,斜率为20dB/dec,与零分贝线的交点为ω=1/T,

即一阶微分环节的交接频率为ω=1/T。

故:一阶微分环节的Bode图可以用两条直线来近似地描绘。如要精确绘制时，需要对其进行修正(参见教材P204方法)。自动控制原理2003.9.(5-12)5一阶微分环节:(1)幅相曲线:相频特性φ（122）对数相频特性φ（ω）=arctgωT

ω=0时，φ（0）=0°…ω=1/T时，φ（1/T）=45°…ω=∞时，φ（∞）=90°

一阶微分环节的Bode图如下图(b)所示。

j(a)1ω=00ω=∞90°φ（ω）20dB/decL（ω）1/T0200ωω(b)一阶微分环节的频率特性曲线图

6振荡环节:传递函数G(S)=ωn2/（S2+2ξωnS+ωn2）

频率特性G（jω）=ωn2/[（jω）2+2ξωn（jω）+ωn2]自动控制原理2003.9.(5-13)2）对数相频特性φ（ω）=arctgωTω=0时13(1)幅相曲线:

相频特性φ（ω）=-arctg[（2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]

在0<ξ<1上取定两个ξ值(大小各一)，然后将ω/ωn在0→∞上取值，分别计算出A（ω）和φ（ω）。其中，几个特征点为：

ω=0时，A（0）=1，φ（0）=0°

ω=ωn时，A（ωn）=1/2ξ，φ（ωn）=-90°

ω=∞时，A（∞）=0，φ（∞）=-180°

∴振荡环节的幅相曲线见下图(a)所示。

∵幅频特性A（ω）=1/√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

注：关于振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr，见P206

Mr=A（ωr）=1/2ξ√1-ξ2

ωr=ωn√1-2ξ2（2）对数频率特性曲线(Bode图):

自动控制原理2003.9.(5-14)1）对数幅频特性L(ω)=－20lg√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

(1)幅相曲线:相频特性φ（ω）=-arct14当ω/ωn<<1即ω<<ωn时,L(ω)≈0；

当ω/ωn>>1即ω>>ωn时,

L(ω)≈－20lg√（ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

≈－40lg（ω/ωn）

由此可见，ω<<ωn时,对数幅频特性为零分贝线

ω>>ωn时,对数幅频特性为斜率-40dB/dec的直线

故：振荡环节环节的Bode图也可以用两条直线来近似地描绘，如要精确绘制时，亦需要对其进行修正(参见教材P207方法)。振荡环节的交接频率为ω=ωn。

2）对数相频特性：

φ（ω）=-arctg[（2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]（可参见前面“幅相曲线”方法分析）几个特征点为：

ω=0时，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn时，A（ωn）=1/2ξ，φ（ωn）=-90°ω=∞时，A（∞）=0，φ（∞）=-180°≈－20lg√（ω2/ωn2）2

2003.9.(5-15)自动控制原理当ω/ωn<<1即ω<<ωn时,L(ω)≈0；当ω15振荡环节的Bode图如下图(b)所示。

－40dB/decL（ω）ωn0-180°200φ（ω）ωω(b)-12ξω=∞ω=0ξ大ξ小10j(a)振荡环节的频率特性曲线图

7.二阶微分环节:传递函数:G(S)=（S/ωn）2+(2ξ/ωn)S+1频率特性:G（jω）=[（jω）2+2ξωn（jω）+ωn2]/ωn2

幅频特性A（ω）=√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

相频特性φ（ω）=arctg[2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]仿照“振荡环节”频率特性的分析方法，可分别得到其幅相曲线及Bode图如下图(a)、(b)所示：

自动控制原理2003.9.(5-16)振荡环节的Bode图如下图(b)所示。－40dB/decL16ωωnω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)[40]L（ω）20二阶微分环节的频率特性曲线图

8延迟环节：传递函数G(S)=e-τS

频率特性G（jω）=1·e-jωτ

=A*ejφ(1)幅相曲线:

幅频特性A（ω）=1相频特性φ（ω）=-ωτ（rad）=－57.3ωτ(°)

（2）对数频率特性曲线(Bode图):

1）对数幅频特性L(ω)=20lgA（ω）=0

2）对数相频特性：φ（ω）=-ωτ（rad）=－57.3ωτ(°)

2003.9.(5-17)自动控制原理ωω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)17可得延迟环节的频率特性曲线如下所示:

00τ小τ大ωω(ω=0)0j1延迟环节的频率特性曲线图

§5.3系统开环频率特性(FrequencyCharacteristicinOpen-loopSystem)1开环幅相特性

例题1：设某0型系统开环传递函数G（S）=K/（T1S+1）（T2S+1）（T1＞T2），试绘制系统的开环幅相曲线。

解：

G（S）可以认为是由K、1/（T1S+1）、1/（T2S+1）三个典型环节串联组成。

即G（S）=G1（S）·G2（S）·G3（S）

由于环节K、1/（T1S+1）、1/（T2S+1）的频率特性分别为:2003.9.(5-18)自动控制原理可得延迟环节的频率特性曲线如下所示:00τ小τ大ωω(ω=18自动控制原理G1（jω）=K=A1（ω）ejφ1（ω）G2（jω）=1/（jωT1+1）=A2（ω）ejφ2（ω）G3（jω）=1/（jωT2+1）=A3（ω）ejφ3（ω）

所以，开环频率特性为：

G（jω）=G1（jω）·G2（jω）·G3（jω）=A1（ω）A2（ω）A3（ω）ej[φ1（ω）+φ2（ω）+φ3（ω）]

故开环幅频特性：A（ω）=A1（ω）A2（ω）A3（ω）=K/√ω2T12+1√ω2T22+1开环相频特性：φ（ω）=∠G（jω）=φ1（ω）+φ2（ω）+φ3（ω）=0+（－arctgωT1）+（－arctgωT2）当K、T1、T2确定时，计算出ω：0→∞所对应的A（ω）和φ（ω）的值，并绘制于S平面上即得到系统的开环幅相曲线。

曲线的起点：limG（jω）=K∠0°

ω→0曲线的终点：limG（jω）=0∠－180°ω→∞2003.9.(5-19)自动控制原理G1（jω）=K=A1（ω）ejφ19曲线与坐标轴的交点：

可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴和虚轴的交点:（也可能不存在交点，而有渐近线的情形，如P212例5-4）

G（jω）=K/[（jωT1+1）（jωT2+1）]=K/[(1－T1T2ω2)＋（T1+T2）ωj]=K[(1－T1T2ω2)－（T1+T2）ωj]/[(1－T1T2ω2)2＋（T1+T2）2ω2]

再令Im[G（jω）]=0，即（T1+T2）ω=0有ω=0

则Re[G（jω）]=K………………与实轴的交点

令Re[G（jω）]=0，即1－T1T2ω2=0或ω=1/√T1T2则Im[G（jω）]=－K√T1T2/（T1+T2）……与虚轴的交点

故0型系统开环幅相曲线为：

ω=∞K（ω=0）0j2003.9.(5-20)自动控制原理曲线与坐标轴的交点：可由G（jω）=0分别求得曲线20结论：

1）对0型系统，当ω=0时，有︱G（j0）︱=K（开环增益）且总有limG（jω）=K∠0°

ω→0即:0型系统开环幅相曲线的起点在实轴正向的K处

2）若开环传递函数中除有比例环节K以外，还有n个惯性环节，则有：limG（jω）=0∠（－90°）×n

ω→∞

3）若还有m个微分环节，则有：limG（jω）=0∠（－90°）×（n－m）

ω→∞

但此时的幅相曲线有凹凸情形发生。

2开环幅相特性曲线的绘制方法

1）直接利用开环幅相特性

计算出ω：0→∞所对应的A（ω）和φ（ω）的值，并绘制于S平面上即得到系统的开环幅相曲线。（如上例）

2003.9.(5-21)自动控制原理结论：1）对0型系统，当ω=0时，有︱G（j0）︱=K（212）复数法

计算出ω：0→∞所对应的Re[G（jω）]和Im[G（jω）]的值，并绘制于S平面上即得到系统的开环幅相曲线。

3）零极点图法

4）计算机方法

3其它各类型系统开环幅相特性曲线

根据零型系统的分析方法，可以得到其它类型系统开环幅相特性曲线大致如下图所示：3型2型1型0型0j各类型系统的幅相曲线

2003.9.(5-22)自动控制原理2）复数法计算出ω：0→∞所对应的Re[G（jω）224系统开环对数频率特性

例题2：设系统的开环传递函数G（S）=K/S（T1S+1）（T2S+1）（T1＞T2），试绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）

解：

因为系统的开环频率特性为：

G（jω）=K/jω（jωT1+1）（jωT2+1），故有：

1）对数幅频特性

L（ω）=20lg︱G（jω）︱=20lgK－20lgω－20lg√ω2T12+1－20lg√ω2T22+1=L1（ω）＋L2（ω）＋L3（ω）＋L4（ω）

即L1（ω）=20lgK；L2（ω）=－20lgωL3（ω）=－20lg√ω2T12+1L4（ω）=－20lg√ω2T22+12）对数相频特性

φ（ω）=∠G（jω）=φ1（ω）＋φ2（ω）＋φ3（ω）＋φ3（ω）=0°－90°－arctgωT1－arctgωT2

2003.9.(5-23)自动控制原理4系统开环对数频率特性例题2：设系统的开环传递函数G（23即φ1（ω）=0°φ2（ω）=－90°φ3（ω）=－arctgωT1φ4（ω）=－arctgωT2

根据上述分析，可以分别绘制L1（ω）、L2（ω）、L3（ω）、L4（ω）及φ1（ω）、φ2（ω）、φ3（ω）、φ4（ω），然后对其进行叠加，即可得到系统的Bode图如下：

0.111/T1101/T1100L(ω)40200-20-40L2(ω)L3(ω)L4(ω)L1(ω)L

(ω)ωφ（ω）ω-90900-180-270结论:

上述方法可以推广应用至n个典型环节的情形.即n个典型环节的对数频率特性都可以采用叠加法或解析法直接计算绘制。

2003.9.(5-24)自动控制原理即φ1（ω）=0°根据上述分析，可以分别绘制L245Bode图的绘制步骤（G（S）→曲线）

ⅰ）确定各环节的交接频率：ω1、ω2、…、ωn，并表示在ω轴上；

其中

（TS+1）及1/（TS+1）的交接频率为1/T；振荡环节及二阶微分环节的交接频率为ωn

ⅱ）在ω=1处量出幅值为20lgK（A点）。其中K为开环放大系数。

ⅲ）绘制低频段对数渐近线。

过A点，作一条斜率为－20·ν（dB/dec）的直线，直到第一个交接频率ω1处（B点）。

其中ν为G（S）中积分环节的个数。

若ω＜1，则低频段对数渐近线止于ω1处（B点），但其延长线经过A点。

ⅳ）从低频段渐近线开始，沿ω轴的正方向，每遇到一个交接频率时，渐近线的斜率就要改变一次。并依次由低频段→高频段画出各个频段的渐近线，即得到系统的开环对数频率特性曲线（Bode图）。斜率的改变规律：

a．遇到惯性环节的交接频率时，斜率增加-20dB/dec；b．遇到一阶微分环节的交接频率时，斜率增加＋20dB/dec；c．遇到振荡环节的交接频率时，斜率增加-40dB/dec；d．遇到二阶微分环节的交接频率时，斜率增加＋40dB/dec；

2003.9.(5-25)自动控制原理5Bode图的绘制步骤（G（S）→曲线）ⅰ）确定各环节25例题1：教材P213例题5-6

例题2：教材P214例题5-7

6.最小相角系统与非最小相角系统特点

ⅰ）定义：开环稳定的系统称之为“最小相角系统”；否则为“非最小相角系统”。（P215）

ⅱ）特点：

1）P216（1）～（4）四点2）只包含七个典型环节的系统一定是最小相角系统；含有不稳定环节或延迟环节的系统，则属非最小相角系统。

§5.4频率稳定判据

(FrequencyStabilityCriteria)

1频率稳定判据包括奈奎斯特（奈氏）判据：用于幅相曲线；对数频率稳定判据：用于Bode图。

2频率稳定判据的特点：（P217四点）

3辅助函数F（S）的引入（证明略）

根据奈氏判据的前提，特引入辅助函数F（S）=1＋G（S）H（S），

该辅助函数F（S）的特点：

2003.9.(5-26)自动控制原理例题1：教材P213例题5-6例题2：教材P214例题5-261）

F（S）的极点是G（S）H（S）的开环极点；F（S）的零点是1＋G（S）H（S）=0的特征根。

2）

F（S）的零点与极点个数相同；（分子分母同阶）3）F（S）与G（S）H（S）之间相差一个常数1。即F（S）曲线可由G（S）H（S）曲线右移一个单位得到。4引出奈氏判据的两种方法

1）教材P218—221（自学）

2）幅角定理（映射定理）：如果[S]上封闭曲线Гs内有Z个

F（S）的零点P个F（S）的极点，那么，复变量S沿着Гs顺时针旋转一圈时，在[F（S）]上的ГF曲线则绕其原点逆时针转过P-Z=R圈。

其中：

P-----F（S）在Гs内的极点数；Z-----F（S）在Гs内的零点数；R-----ГF曲线绕其原点逆时针转过的圈数；

R=0时，说明ГF不包含[F（S）]原点；R＜0时，表示ГF曲线绕其原点转过的圈数为顺时针方向；

2003.9.(5-27)自动控制原理1）

F（S）的极点是G（S）H（S）的开环极点；2）

F（27[证明如下]：

设F（S）的零点、极点在[S]上的分布如图示，并有一条封闭曲线Гs包含F（S）的第i个零点Zi，在曲线Гs上选取一点S，当S沿着Гs顺时针旋转一圈时，总有:△∠（S-Pj）=0（j=1，2，…，n）

△∠（S-Zj）=0（j=1，2，…，m，j≠i）

而△∠（S-Zi）=-2π

同理△∠（S-Pi）=2π

其中Zi、Pi------为曲线Гs之内的零、极点；Zj、Pj------为曲线Гs之外的零、极点；

ГF∠F（S）[F（S）]OГsSs-p1s-p3s-z1s-zis-p2×OO××[S]s-ziO2003.9.(5-28)自动控制原理[证明如下]：设F（S）的零点、极点在[S]上的分布如图示28若有Z个零点被曲线Гs包围，则有∑△∠（S-Zi）=Z·（-2π）;

同理：若有P个极点被曲线Гs包围，则有∑△∠（S-Pi）=P·2π;又因为:∠F（S）=∑∠（S-Zj）+∑∠（S-Pj）故有:△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+∑△∠（S-Pj）

所以，若有Z个零点、P个极点被曲线Гs包围，则有：

△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+∑△∠（S-Pj）

=Z·（-2π）+P·2π=（P-Z）·2π=R·2π

即有:R=P-Z

5奈氏判据：反馈系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点（-1，j0）的圈数R等于G（S）H（S）在右半S平面上的开环极点数P，即：

Z=P–R若P≠R，则Z≠0，那么，系统不稳定。而且，此时闭环正实部特征根的个数为Z个。2003.9.(5-29)自动控制原理若有Z个零点被曲线Гs包围，则有∑△∠（S-Zi）=29其中，R——奈氏曲线绕（-1，j0）逆时针（R＞0）转过的圈数；P——F（S）在右半S平面上的极点数；Z——F（S）在右半S平面上的零点数；奈氏曲线---指ω∈（-∞，+∞）时，G（jω）的整个幅相曲线。

例题1：已知下图各系统中开环都是稳定的（即P=0），试根据各图奈氏曲线分析系统稳定性。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因开环都是稳定的，即P=0,根据奈氏判据：图（a）之奈氏曲线不包围（-1，j0）点，即R=0，故Z=P-R=0，所以，系统稳定。

图（b）之奈氏曲线恰好穿过（-1，j0）点，系统处于临界稳定。

图（c）之奈氏曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即R=-2，故Z=P-R=2≠0，所以，系统不稳定。

2003.9.(5-30)自动控制原理其中，R——奈氏曲线绕（-1，j0）逆时针（R＞0）转过的圈306根据幅相曲线判定系统稳定性

若已知ω∈（0，+∞）时系统的开环幅相曲线和G（S）H（S）在右半S平面上的开环极点数P，根据该幅相曲线包围临界点（-1，j0）的圈数N（逆时针为正）是否满足：

Z=P－2N来确定系统的稳定性。

当Z=0时，闭环系统稳定；当Z≠0时，闭环系统不稳定，且闭环特征方程有Z个正实部根；

例题2：教材P221例5-10，5-11

如果G（S）H（S）含有v个积分环节，则应在原有的开环幅相曲线基础上从ω=0+开始，逆时针方向补足v/4个半圆，以形成封闭曲线，再进行分析。例题3：下述各图所示系统开环都是稳定的，试根据其开环幅相曲线分析各系统的稳定性。

2003.9.(5-31)自动控制原理6根据幅相曲线判定系统稳定性若已知ω∈（0，31av=1cv=2dv=3bv=1解：因为系统开环都是稳定的，即P=0

根据各系统的所含积分环节的个数，故将其开环幅相曲线分别补足1/4，1/4，1/2，3/4个半圆，如图所示。

a，c，d图开环幅相曲线均不包围（-1，0j），故N=0，所以，Z=P-2N=0即它们对应的闭环系统是稳定的。

b图开环幅相曲线包围（-1，0j）一圈，故N=-1，所以，Z=P-2N=2≠0即对应的闭环系统是不稳定的。

例题4：教材P222例5-12，5-13

2003.9.(5-32)自动控制原理av=1cv=2dv=3bv=1解：因为系统开环都是稳定的，327对数频率稳定判据

由于奈氏判据表明：若系统开环稳定（P=0），则ω在（0，+∞）变化时，开环幅相曲线不包围（-1，0j）点，即曲线绕（-1，0j）点的转角为零时，系统闭环稳定。

幅相曲线不包围（-1，0j）点有两种情况：

1）相曲线不穿越实轴上（-∞，-1）区间：2）幅相曲线穿越实轴上（-∞，-1）区间，但正穿越次数N+与负穿越N－次数相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）内∠G（jω）对－π线的正、负穿越次数相等。

正穿越：φ（ω）↑的方向，即（-∞，-1）区间由上向下方向；负穿越：φ（ω）↓的方向，即（-∞，-1）区间由下向上方向。

比如：

-1P=0第一种情况-1P=0正负第二种情况N+=N－=1

R=N+－N－=0即相当于没有穿越2003.9.(5-33)自动控制原理7对数频率稳定判据由于奈氏判据表明：若系统开环33第一种情况：不穿越（-∞，-1），故闭环稳定

第二种情况：穿越（-∞，-1）两次，但正、负各一次，故闭环稳定

若开环不稳定（P≠0），则ω在（0，+∞）变化时，要满足：Z=P－2R=0系统才能稳定；否则闭环不稳定。注意：G（jω）曲线的起点或终点如果在实轴（-∞，-1）上的穿越则为半次穿越。

对数频率稳定判据：

P=0时：开环对数频率特性中，在20lg∣G（jω）∣＞0的范围内，∠G（jω）对－π线的正穿越与负穿越次数相等，则系统稳定；

P≠0时：在20lg∣G（jω）∣＞0的范围内，∠G（jω）对－π线的正、负穿越次数之差等于P/2，则系统稳定；

对应于上述两个幅相曲线的Bode图如下：

-πφdB+—-πφdB2013.9.(5-34)自动控制原理第一种情况：不穿越（-∞，-1），故闭环稳定第二种情况：穿34P=0时：在20lg∣G（jω）∣＞0内不穿越，系统稳定

；P=0时：在20lg∣G（jω）∣＞0内穿越（-∞，-1）两次，但正、负各一次，故系统稳定

注意：在20lg∣G（jω）∣＞0的范围内，G（jω）曲线的起点或终点在－π线上时的穿越为半次穿越。

例题1：已知系统开环传递函数为：G（S）H（S）=100/S（0.2S+1）（0.02S+1）,试用对数频率稳定判据分析系统稳定性。

解：1）绘制Bode图（ω1=5、ω2=50）

ωω－π2005102050100

L（ωφ（ω）02013.9.(5-35)自动控制原理P=0时：在20lg∣G（jω）∣＞0内不穿越，系统稳352）稳定性分析

因φ（ω）=-π/2–arctg5ω–arctg50ω且φˊ（ω）=-[1/（1+25ω2）+1/（1+2500ω2）]＜0故在ω∈（0，+∞）内，φ（ω）是单调减少的又φ（10）≈-164.7°

φ（20）≈-187.8°

所以,φ（ω）应该是在10＜ω＜20内某个值ω=ωg时穿越－π线一次,因此有N－=1由开环传递函数可知：P=0∴R=N+－N－=－1≠P/2故系统闭环不稳定

（同样，可以用劳斯判据验证之：系统闭环不稳定）

若系统开环传递函数G（S）H（S）中含有两个或两个以上积分环节，在计算正、负穿越次数时，应该补画一条从相角：∠G（j0+）H（j0+）＋90°×v到∠G（j0+）H（j0+）的虚线。

例题2：教材P224例5-14，5-15

2013.9.(5-36)自动控制原理2）稳定性分析因φ（ω）=-π/2–arctg536注意：§5.5稳定裕度(StabilityMargin)1）开环稳定时，必有P=0；反之，若P=0，开环稳定，但闭环不一定稳定；2）P≠0时，开环不稳定，而闭环并非就完全不稳定，而是条件稳定。频率稳定判据：用以定性分析系统的稳定性；稳定裕度：则用来定量分析系统的稳定程度。稳定裕度包括幅值裕度h和相角裕度γ。

G（jω）离（-1，0j）点越远，系统越稳定，即稳定程度越高；G（jω）离（-1，0j）点越近，系统越趋向不稳定，即稳定程度越低；

1、幅值裕度h的定义：幅相曲线上相角为-180°时所对应的幅值之倒数。即（-1，0j）点的幅值与ω=ωg的幅值之比。即：

1h=———————————∣G（jωg）H（jωg）∣ωcγφ（ωc）-1ωg∣G（jωg）H（jωg）∣ω=0ωg——相角交界频率

2003.9.(5-37)自动控制原理注意：§5.5稳定裕度(StabilityMarg37幅值裕度h的含义：对于稳定系统，φ（ωc）如果系统开环增益增大到原来的hωcγ倍，则系统将处于临界稳定状态。

注意：即使h相同，系统的稳定程度也可以不同。2、相角裕度γ的定义：180°加上开环幅相曲线幅值等于1时的相角。即：

γ=180°＋∠G（jωc）H（jωc）=180°＋φ（ωc）ωc——系统截止频率（零分贝频率）

相角裕度γ的含义：当系统对频率ωc信号的相角迟后再增大γ时，则系统处于临界稳定状态。

γ的理解：指幅相曲线上幅值等于1的复向量与负实轴的夹角。

3、在Bode图中求取h和γ

ωcγh-180°L（ω）φ（ω）00ωω因：h（dB）=20lgh

=-20lg∣G（jωg）H（jωg）∣上式表明，从Bode图中读取

20lg∣G（jωg）H（jωg）∣后

并将其反号，即得到h的分贝值

20lgh。

2003.9.(5-38)自动控制原理幅值裕度h的含义：对于稳定系统，φ（ωc）如果系统开环增益增38而γ=180°＋φ（ωc）

=φ（ωc）－（-180°）即：

20lg∣G（jωc）H（jωc）∣=0处的相角φ（ωc）与-180°的相角差。

结论：对于开环稳定系统，系统闭环稳定的条件为：γ＞0，h＞1；且γ和h越大，系统越稳定否则，γ＜0，h＜1，系统不稳定；工程设计中，一般取：1）γ=30°—70°（45°最佳）；2）h≥4—6dB以上；3）在ωc附近Bode图的斜率控制在-20—-40dB/dec（以-20较理想）。例题1：教材P227例题5-16

例题2：某单位负反馈系统，开环传递函数为：G（S）=k/S（S+1）（S/5+1），试分别求K=2和K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。

解法一：

根据G（jω）=k/jω（jω+1）（jω/5+1），在ω∈（0，+∞）内求出相应的∣G（jω）∣和∠G（jω），并分别画出当K=2和K=20时的两条幅相曲线如下图所示。

2003.9.(5-39)自动控制原理而γ=180°＋φ（ωc）=φ（ωc）－（-18039从图中分别读得：

当：K=2时，γ1≈24°＞0，

h1=1/∣-0.3∣≈3.33＞1,故此时系统稳定;

K=20时,γ2

≈

－24°＜0，

h2=1/∣-3.2∣≈

0.313＜1,此时系统不稳定;

γ2γ2K=20K=2-2j0解法二:由G(S)绘制系统的Bode图如下:

2003.9.(5-40)自动控制原理从图中分别读得：当：K=2时，γ1≈24°＞040当K=2时,对应∣G（jωc）∣=1时,有∠G（jωc）=-156°，故：γ1=180°+(-156°)=24°

对应∠G（jω）=-180°时,20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣

=-(-10)=10故h1=3.161520-180°-270°同理,当K=20时,对应∣G（jωc）∣=1时,有∠G（jωc）=-204°，故γ2=180°+(-204°)=－24°,

对应∠G（jω）=-180°时,20lgh2=－20lg∣G（jωg）∣=-(10)=-10故h2=0.316可见,当K=2时,系统稳定；当K=20时,系统不稳定。

例题3：某系统开环频率特性G（jω）H（jω）如下，且P=0。1)试判断闭环系统的稳定性；2)若再串入一个积分环节1/S，试重新断闭环系统的稳定性。

2003.9.(5-41)自动控制原理当K=2时,对应∣G（jωc）∣=1时,有∠G（jωc41解：（1）已知P=0，且从图中可知

N=-1，故Z=P-2N=2所以，闭环系统不稳定；

（2）串入一个1/S后，系统的开环频率特性变为：

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1-1.3(ω=10)∣G2（jω）∣=∣G（jω）H（jω）∣/∣jω∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）分别为原来的幅频和相频特性。

当ω=0时，∣G2（jω）∣=∞；∠G2（jω）=-90°

当ω=5时，∣G2（j5）∣=1.4/5=0.28；∠G2（j5）=-180°

当ω=10时，∣G2（j10）∣=1.3/10=0.13；∠G2（j10）=-270°

当ω=250时，∣G2（j250）∣=0.7/250=0.0028；∠G2（j250）=0°当ω=∞时，∣G2（j∞）∣=0；∠G2（j∞）=-90°

由此,可绘制G2（jω）幅相特性曲线如下:

2003.9.(5-42)自动控制原理解：（1）已知P=0，且从图中可知N=-1，故Z=P420-1已知:P=0，且从图中可知

N=0，故Z=P-2N=0所以，闭环系统不稳定；

§5.6频率特性分析(FrequencyCharacteristicAnalysis)

1误差问题（P229）：

2系统时域性能指标与频域指标的关系

系统时域性能指标：主要有Mp%及ts等；

频域指标：主要有γ和ωc等；

（1）二阶系统

①γ—Mp%之间的关系

γ=arctg[2ξ/√√1+4ξ4-2ξ2

]（一般°≤γ≤70°）

2003.9.(5-43)自动控制原理0-1已知:P=0，且从图中可知N=0，§5.643－ξπ/(√1-ξ2)Mp=e×100%由此可见，ξ越小↔γ越小↔

Mp越大；

ξ越大↔γ越大↔

Mp越小；

γ—Mp%变化关系曲线见P231图5-54②γ、ωc与ts之间的关系

因:ts=3/(ξωn)

则:ts=6/（ωc·tgγ）,其关系参见P231图5-55。

§5.7传递函数的实验确定方法(experimentaldeterminationmethod)1.最小相角系统(不含有延迟环节)传递函数的确定

1)原理

正弦信号G(S)变换器变换器记录仪图1频率特性实验原理2003.9.(5-44)自动控制原理－ξπ/(√1-442)例题

例题1:设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。

(dB)0．2220200ω40200-20解：1）低频段斜率为-20dB/dec，应有环节1/S；

2）在ω1=2和ω2=20处，斜率分别由-20变为0，由0变为-20，

说明系统含有环节S+2，1/（S+20）

故系统开环传递函数具有下如形式：K(S/2+1)G(S)=-----------------------

S（S/20+1）3）在ω=2处的分贝值为20dB，显然：

此处的分贝值是由K与1/S共同决定的，即:20lg（K/ω）=20

2003.9.(5-45)自动控制原理2)例题例题1:设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下45当ω=2时，有K=20

因此，有:20(S/2+1)G(S)=--------------------

S（S/20+1）例题2:设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。[-60][-40][-20](dB)40200-12-20

ω1ω2ω

解：1）低频段斜率为-20dB/dec，应有环节1/S；2）

2)有两个交接频率：ω1，ω2，且经过ω1，ω2处时斜率分别由-20变为-40，由-40变为-60，说明系统开环传递函数中含有环节:1/（S/ω1+1）和1/（S/ω2+1），3)系统开环传递函数形式为：

KG(S)=----------------------------------------

S（S/ω1+1）（S/ω2+1）2003.9.(5-46)自动控制原理5当ω=2时，有K=20因此，有:464）根据已知条件确定K，