华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C

一、填空题〔每题10份，共80分〕

1.计算：【答案】1【考点】计算：分数小数综合运输【解析】2.在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，一样汉字代表一样数字、不同汉字代表不同数字，则“数学竞赛〞所代表的四位数是________．

【答案】1962【考点】组合：数字谜【解析】遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：个位为4，所以赛为2或7，假设赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以；个位为2，假设，原式为，有重复数字；所以，．3.如以下图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF2FB，四边形EBCD是平行四边形，则FD:EF为________．【答案】【考点】几何：沙漏模型【解析】由沙漏模型可知4.以下图是由假设干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了假设干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考点】组合：最值问题【解析】要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是厘米，水平爬行的路程是厘米，所以至少用时秒5.设a，b，c，d，e均是自然数，并且abcde，abc4d5e300，则ab的最大值为________．【答案】35【考点】组合：最值问题【解析】和是五个数中最小的两个，要想最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部调整；，则先让．而，大于300，调整得：，离300差5，则最后让即可．所以的最大值．也可通过计算证明最大只能取到35：可得6.现有甲、乙、丙三个容量一样的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一期向丙水池注水．注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要________个小时．【答案】4【考点】应用题：工程问题【解析】设注满丙池用小时，则注满乙池用时小时，注满甲池用时小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：所以注满丙池的三分之二需要小时注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字穿插法，对于小学生来说是无法做的．而此题解法比拟巧妙，设丙池的时间，最终只需要解即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路．7.用八块棱长为1cm的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如以下图所示，则共有

________种不同的堆法．〔经过旋转能重合的算一种堆法〕【答案】10【考点】计数：分类枚举【解析】法一：〔先每列放几块讨论〕可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可，1种；，3种，，〔这两个不一样，此题的易错点〕，，2种，，，3种，，，，1种，．共：种法二：〔按每层放几块讨论〕底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见以下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法．总计有10种堆法．8.如图，在三角形ABC中，AF2BF，CE3AE，CD4BD，连接CF交DE于P点，则【答案】【考点】几何：风筝模型【解析】连接和．因为，所以,又因为，；同理可得；所以．注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．二、解答以下各题〔每题10分，共40分，要求写出简要过程〕

9.有三个农村在一条公路边，分别在以下图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？

【答案】处【考点】应用题：分类讨论【解析】讨论变化趋势，比拟A、B两点设仓库可知A→B运费越来越高，而B→A则运费越来越低，同理可知C→B运费越来越低，而B→C则运费越来越高．具体比拟三点：假设建在处，运费为：元假设建在处，运费为：元假设建在处，运费为：元所以建在处运费最低．10.把中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【答案】468【考点】数论：因数倍数【解析】全局部数都化成最简分数分母还是2014，则说明原分子和2014互质，接下来计算1~2013中，与2014互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一：〔容斥原理〕，，，，，，；所以1~2013中，与2014互质的数有个；法二：〔利用欧拉公式直接计算〕因为，所以1~2013中，与2014互质的数有个；而这936个数中，只要有一个是最简分数，一定也有一个也是最简分数，两个一组和为1〔如：；〕，所以他们的和为．11.上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见以下图的〔a〕，〔b〕，和〔c〕．现有5块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用假设干个这些积木在地面上组成一个五颗星的长条，则一共有多少种不同的摆放方式？〔以下图〔d〕是其中一种摆放方式〕．【答案】13【考点】计数：分类枚举、乘法原理【解析】先拆分5，再算每种情况有多少种摆法即可两块：三块：四块：五块：共：．12.*自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数【答案】160，208，400，2848【考点】数论：因数倍数、分类讨论【解析】设这个数为，则，〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；所以可能为160，208，400和2848．三、解答以下各题〔每题15分，共30分，要求写出详细过程〕

13.如图，圆周上均匀地标出十个点，将1~10这十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1~10分成两组，每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积．记五个积中最小的值为K，问所有的摆放中，K最大为多少？【答案】756【考点】组合：最值问题、构造与论证【解析】，共55要分成两组，则两组的和一定为55，由最值原理：和一定，差小积大可知，当这两组的和分别为27、28时，乘积为最大．而要取到756，需要构造出一种摆法能实现五个分组方式中，两个组的和都为27、28．经尝试，可以实现，构造方法不唯一，如下图为两种不同的情况．14.将每个最简分数〔其中mn,为互质的非零自然数〕染成红色或蓝色，染色规则如下：〔1〕将1