北师大版初中数学七年级下册试讲逐字稿-教师资格证-教师编面试

1.1同底数幂的乘法我们知道距离地球最近的恒星是太阳，太阳系之外距离地球最近的恒星是什么呢？对，是比邻星。同学们，请阅读题干，计算出比邻星与地球的距离是多少？王丽同学，你计算的结果是，说的很准确，请坐。同学们思考一下，等于多少呢？让我们带着这个问题进入今天的学习。请看做一做。等于多少呢？王鑫同学，你说是两个10相乘，是三个10相乘，所以总共有五个10相乘，结果就等于了，分析得很透彻，请坐。那又等于多少呢？刘洋同学，你类比上一道小题的做法，得到这个题的答案是。那剩下这些题目结果又是什么呢？这些算式之间有怎样的共同特征呢？小组之间交流讨论一下。刚才同学们讨论的都很热烈，哪个小组能起来说一下这些算式的结果？三组同学，你算得他们的结果分别是。同学们同意他的答案吗？哪个小组起来说一下这些算式之间的共同特征？五组同学，你们发现等式左边两个数底数相同，等式右边都是底数不变，指数相加的形式，观察的真仔细，请坐。通过刚才的题目，我们发现，不管是正数、分数、负数，它们都具有以上特点。由此我们可以归纳出什么结论呢？刘伟同学，总结的很到位。如果我们用字母a来代表底数，有，同桌还有补充？嗯，你说这里m和n都应该是正整数，思维真缜密，请坐。我们来分析一下这个等式，就是m个a相乘，是n个a相乘，所以这里总共有m+n个a相乘，最终结果就是了。实际上，这就是同底数幂求同底数幂乘法法则，底数不变，指数相乘。下面我们通过例题加深一下对法则的理解，同学们请看例一。我们一起来分析一下第一小题，，根据法则，底数-3不变，指数相加，得到最终结果。我找三位同学上来板演一下234小题，其他同学在练习本上完成。我们看到这三位同学的板书非常工整。在这里我们要注意第三小题，相同的底数是x，不是-x。还有第四小题，两个指数分别为2m和2m+1，所以在运用法则指数相加的时候要整体计算。通过例题，哪位同学能够起来总结一下，运用同底数幂的乘法法则做题的关键呢？吴磊同学，你来说说看。嗯，运用法则做题的关键就是找出它们的同底数。让我们趁热打铁，做个练习，巩固一下，请完成请完成随堂练习第一题的一，三小问。哪位同学起来说一下答案？王丽同学，嗯，答案是非常准确的。让我们乘着智慧的小船，继续探索。同学们，请思考结果等于多少？何磊同学，你先运用法则计算出，再与相乘，运用整体方法得到最终结果是，思路非常清晰，请坐。数学来源于生活，有应用于生活。我们如何运用今天所学的知识解决实际问题呢？首先来看引例，这里最终结果是什么呢？张超同学。嗯，你先算出，所以最终结果是，非常好，你还注意到了要用科学计数法来表示。我们在通过例二巩固一下，哪位同学自告奋勇地来给我们分析一下呢？张鑫同学。嗯，你的理由很充分，而且还注意到结果用科学计数法来描述，大家掌声送给他。最后检验一下同学们的掌握情况。请同学们完成随堂练习的一二小题，对照一下大屏幕上的答案，你做对了吗？同底数幂乘法法则运用法则解决实际生活中的问题体会到整体思想1.5平方差公式同学们，请拿出之前准备好的一个边长为a的大正方形，在它的右下角剪去一个边长为b的小正方形，剩余这一部分的面积该如何表示呢？王磊同学，嗯，你用大正方形的面积减去小正方形的面积得到，请坐。现在老师把这一部分的图形剪下来放到现在这个位置可以得到一个长方形，此时长方形的长和宽分别是多少？它的面积又是多少？张磊同学，长方形的长是a+b，宽为a-b，所以它的面积就是，很好，请坐。同学们思考一下，在变化前后，它们的面积相等吗？对，是相等的。由此我们就得到一个规律。下面我们从代数的角度来感受一下这种变化，同学们请计算一下这四个算式。哪位同学起来说一下结果？刘超同学，嗯，你的答案是准确无误的。请同学们观察这些算式以及它们的运算结果，由此你有发现什么呢？小组之间交流讨论再举几个例子验证你的发现。刚才同学们讨论的都很热烈，一组同学来说一下你们的发现，你们发现等式左边是两个数的和乘两个数的差的形式，等式的右边是这两个数平方之差的形式。观察的真仔细，请坐。我们之前也学过多项式乘多项式，两项从两项展开之后应该是~四项，那这里结果为什么如此简单呢？张超同学，你说因为展开之后有两项相互抵消了，请坐。实际上这就是两个特殊的多项式的相乘，也就是我们今天所要学习的平方差公式。这里的a表示符号相同的项，b代表符号相反的项。下面我们通过例题加深一下对公式的理解，请看例一，我们一起来分析一下第一小问。，公式里的a代表这里的5，b代表这里的6x。所以，原式等于，注意6x作为一个整体需要加括号。最终结果等于。下面我找两位同学上来板演一下二三小题，其余同学在练习本上完成。我们看到这两位同学的板书非常工整，大家要向他们学习。在这里我们注意一下，第三小题公式里的a代表-m，公式里的b代表的n。我们一起来迎接一个更大的挑战，请看例二，哪位同学自告奋勇的当小老师来给我们分析一下呢？汪海同学你手举的最高，你来说。嗯，分析的非常透彻，大家掌声送给他。在第一小题里，a代表的是，b代表的是。第二小题公式里的a代表的是这里的ab，b代表的是这里的8。请同学们在练习本上将过程补充完整，同伴之间交流一下，答疑解惑。通过刚才的题目，我们发现利用平方差公式解题的关键是找出公式里的a和b，公式里的a和b都可以代表些什么呢？汪洋同学，说的很完整，a、b可以代表一个数，一个字母，一个单项式，甚至是一个多项式。让我们乘着智慧的小船继续探索，同志们请看它的结果等于多少呢？小组之间交流讨论一下。一组同学，你们小组是将每项提出一个负号，得到，运用平方差公式，得到最终结果为。还有其他方法吗？五组同学，你们把这里的-b看成公式里的a，将这里的a看成公式里的b，得到了同样的结果，大家的思路都很广阔，请坐。最后检验一下同学们的掌握情况，请同学们完成随堂练习的四个小题。对照一下大屏幕上的答案，同伴之间交流一下，答疑解惑。平方差公式利用公式进行计算2.1两条直线的位置关系同学们，请欣赏大屏幕上的这几幅照片，从图中你能找出两条直线的位置关系有哪些吗？郑阳同学，你说有相交和平行两种，请坐。现在老师从这几幅图片中抽象出以下图形，观察一下这两条直线，它们有什么特点呢？汪涵同学，你说他们都过一个公共点。我们将这样的两条直线就称之为是相交线。继续观察，这两条直线之间又有怎样的特点呢？同桌来说一下。你说他们没有公共交点。我们将在同一平面内，两条不相交的直线称之为是平行线。生活中处处都有数学，你能举出生活中的相交线和平行线吗？王丽同学，你说马路上的斑马线是平行线。同桌还有补充？哦，你说我们的黑板上边缘和左边缘构成相交线。大家都有一双善于发现的眼睛。接下来我们继续研究相交线的一些特征。直线AB与直线CD相交于点O。这里构成了几个角呢？对，有四个角，老师给他们分别标上∠1，∠2，∠3和∠4。下面小组之间交流讨论回答议一议的几个小问题。刚才同学们讨论的都很激烈，∠1与∠2的位置有什么关系呢？一组同学。你们发现它是不相邻的两个角，而且角的两边互为反向延长线，总结的真全面。像这样有公共顶点，两边互为反向延长线的角，称之为是对顶角。图中还有哪些对顶角呢？王丽同学，你第一个举起了手，你来说。∠3和∠4也是一组对顶角。我们继续探索，∠1和∠2的大小有什么关系呢？五组同学。你们用量角器量的这两个角是相等的。还有用不同方法的吗？三组同学。你们说∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2。同学们的思维真活跃。这就是对顶角的性质，对顶角是相等的。让我们趁热打铁，做组练习，巩固一下。请看习题的第一小题。哪位同学起来说一下答案。汪洋同学。大家同意他的答案吗？嗯，看来大家掌握的都很好了。让我们乘着智慧的小船，继续探索。在这个图里∠1和∠3有什么数量关系呢？对它们的和为180°，我们称这样的两个角互为补角。图中还有其他的角互为补角吗？张涵同学。嗯，找到很完整，请坐。类似的，如果两个角的和为90°，我们称这样的两个角互为余角。同学们请看大屏幕上的这几个题目。哪位同学起来分享一下你的答案呢？贾超同学。嗯，答案是准确的，请坐。根据这些题目，同学们有什么发现呢？蒋瑶同学，总结的非常到位，互余和互补是数量关系与位置无关。让我们一起来迎接一个更大的挑战，同学们请看做一做。在这个图中有哪些角互补，哪些角互余呢？张华同学，找得很完整，请坐。我们继续来看，∠3和∠4之间有怎样的关系？哪位同学自告奋勇的当小老师来给我们分析一下呢？王鑫同学，你来试试。你说∠3是等于∠4的，因为∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4，分析的非常透彻，大家掌声送给他。由此我们可以得出怎样的结论呢？同伴之间交流一下。董丽同学，你发现等角的余角是相等的。而且特别有同角的余角也是相等的。我们再来看第三小问。哪位同学起来分享一下你的发现？刘超同学，嗯，你类第二小题得到同角或等角的补角是相等的，大家都是智慧的小能手。最后检验一下同学们的掌握情况，请同学们完成习题的第三小题。对照一下大屏幕上的答案。同桌之间交流一下，答疑解惑。两条直线的位置关系对顶角的定义及性质互补互余的定义及性质2.2探索直线平行的条件同学们，老师家最近在装修，我发现工人师傅在墙上钉木板时，将两根木板都向墙壁的边缘垂直就知道两根木板平行了，你知道这其中的道理吗？让我们带着这个问题进入今天的学习。请同学们从学具盒中拿出三根木条，按图中所示摆放，使三根木条相交形成∠1和∠2，固定木条b、c，转动木条a，通过操作你能发现∠1和∠2的大小关系吗？王洋同学：开始∠1大于∠2，慢慢的∠1等于∠2，最后∠1小于∠2，总结的很全面，请坐。我们继续观察，∠1和∠2满足什么条件时，木条a和木条b平行呢？张超同学，你手举的最快你来回答：当∠1等于∠2的时候，大家的想法和他一样吗？是不是只有当∠1是特殊角时才有这种关系呢？请同学任意改变∠1的大小，重复上述操作。大家有什么发现呢？对，还有上述关系。我们把三根木条看成三条直线，三根木条中a、b被c所截，我们将a、b作为被截直线，c作为截线，我们将具有∠1与∠2中位置关系的角称为同位角。同学们，来思考一个问题，同位角的“同”体现在哪里呢？徐翔同学，嗯，同桌也来说说，两位同学说的都不错，老师给大家总结一下，“同”即截线的同旁，被截线的同侧。老师标上其他的角号，你能找出其他的同位角吗？王丽同学，你来说下，嗯，你找的很完整。根据刚才的实验和同位角的概念，哪位同学能够总结一下两直线平行的条件呢？刘伟同学，说的很完整，我们可以简称为“同位角相等，两直线平行”。两直线平行，我们可以用符号∥来表示，如果直线a平行于直线b，那么我们记作a∥b，这条性质如何用符号语言来描述呢？高欢同学，如果∠1=∠2，则a∥b。下面我们通过习题加深一下理解，请看随堂练习第2题。谁来分析一下呢？张雷同学，你说先找到∠1的对顶角记为∠3，∠3与∠2是一组同位角，根据同位角相等两直线平行就可以了，分析的很透彻，请坐。同学们还记得如何画平行线吗，请在练习本上画一组平行线，谁来展示一下？高欢同学，画的很好，你这样画的具体步骤是什么呢？哦，利用平推三角板的方法，我们可以简记为1放2靠3推4画。这里画出平行线的依据是什么呢？对，同位角相等，两直线平行。还有其他画平行线的方法吗？我们来看下习题第二题，如何在方格纸上画出平行线呢？贾超同学，可以横着画也可以竖着画，还有呢，同桌，可以斜着画但是要注意横格数量和竖格数量都要相等，也就是同一方向。让我们乘着智慧的小船继续探索吧，老师给出一条直线a与直线外的一点A，你能过点A作出a的平行线吗？小组合作看看能画出几条，一组同学，你们画出一条，其他小组呢，也是一条。由此我们推测，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。我们再在直线a下方取一点B，请过点B画出直线a的平行线。这两条直线有什么样的位置关系呢？小组交流讨论一下，三组同学，你们讨论的最热烈，你们来说，你们画了一条截线c，构造出同位角，根据同位角相等判断出两直线平行，学以致用，很好，请坐。于是我们得到，平行与同一条直线的两条直线也互相平行，也就是，如果b∥a，c∥a，那么b∥c趁热打铁，做个习题巩固一下，请看习题第三题。现在同学们能够解决引例的问题了吗，工人师傅这样做的原理是~~~~，对，同位角相等，两直线平行。又到了收获的季节，打开我们智慧的书包，看看都有哪些收获吧。刘洋同学：你学会了判断两直线平行的一种方法，还学会了利用知识解决生活中的问题。2.3平行线的性质同学们还记得上节课学习的判定两条直线平行的条件吗？来看这几个小题目，王伟同学你来说一下答案，这三个小题你分别根据：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁角互补，两直线平行；得出了答案。这里是通过角来判断两直线平行，那反过来，两直线平行，角还有这些关系吗？让我们带着这个问题进入今天的学习。这里直线a和直线b平行，他们被直线c所截，老师标上角号，你能找出其中的一组同位角吗？王海同学，嗯，你找到了∠1和∠2这一组同位角，这两个角之间有什么大小关系呢？刘星同学，你通过测量发现∠1=∠2。下面小组合作，找出其他同位角，看看他们之间又有什么数量关系。一组同学：你们发现∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8都是同位角，通过测量发现他们是相等的。还有其他方法吗？三组：你们发现∠5和∠6分别是∠1和∠2的对顶角，所以他们也相等。四组：你们发现∠3和∠4互为∠1和∠2的补角，所以他们相等，同理∠7和∠8也相等。通过刚才的讨论，我们知道了两直线平行，同位角相等。用符号语言可以描述为：∵a∥b，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8.我们继续探索，请找出图中的内错角，王菲同学，嗯，很好，找的很全面。内错角他们的大小有什么关系呢？吴磊，你通过测量发现两直线平行，内错角相等。还有其他方法吗？同桌，你说因为∠5和∠1是一组对顶角，从而由同位角转化为内错角判断出∠5=∠2，同学们的思路真广阔。用符号语言如何来描述呢？王林：∵a∥b，∴∠5=∠2，∠4=∠7.我们再来找一下图中的同旁内角，并判断一下他们之间有什么关系。刘洋手举的最高，你通过测量发现他们的和为180°，也就是两直线平行，同旁角互补。还有其他方法吗？杨林：你用了从同位角转化和从内错角转化两种方法得到相同的结果。由此，用符号语言可以描述为：∵a∥b，∴∠5+∠4=180°，∠2+∠7=180°.接下来小组合作，再画几组平行线，看看是否还有相同的结论。五组同学，你们说是一样的结论，实际上，这就是平行线的三条性质。下面我们通过习题加深理解，请看随堂练习，分别找出与∠1相等或互补的角，对照大屏幕上的答案，你们找的正确吗？如何用所学知识解决生活中的问题呢？请看做一做。这里一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，你能找出题目中的已知信息吗？王鑫同学，找的很全面。我们来看，∠1与∠3的大小有什么关系呢，王菲同学，你说∠1=∠3，因为两直线平行，同位角相等，学以致用，请坐。∠2与∠4是什么关系呢？张超同学，∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（同位角）∴∠2=∠3又∵∠3=∠4（已知）∴∠2=∠4。分析的很透彻，大家掌声送给他。同学们，BC与EF平行吗？王琳同学，平行的，因为∠2=∠4，同位角相等，两直线平行。通过这个题目，我们发现，平行线的性质和判定这是结合在一起应用的。最后习题31、平行线的三条性质2、综合应用性质和判定来解决实际问题3.1用表格表示变量间关系我们生活在一个变化的世界中时间温度，还有你的身高体重都在悄悄地发生变化，本节课我们从数学的角度来研究变化的量，讨论他们之间的关系并对下一步可能发生的情况进行预测。同学们还记得。我们坐过的小车下滑实验吗？这是某学习小组用表格记录的数据表格第一行代表~支撑物高度，第二行代表~小车下滑时间。来看第一小问，支撑物高度为70cm时，小车下滑时间为多少？汪洋同学，是1.59s。如果用h表示支撑物的高度，t表示小车下滑时间，观察一下随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？刘洋同学，随h的变大，t越来越小。我们进一步细微观察，h每增加十厘米t的变化情况相同吗？王菲同学，t变化越来越小，你能告诉同学们你是如何得到的吗？哦，你是算出相邻高度间隔的时间差。思维真活跃，请坐，刚才这位同学采用的是作差法，以后经常会用到。通过刚才的分析，你能估计一下，当h等于110cm时，t的值是多少吗？刘超同学。T=1.30s。同桌呢？t=1.35s。到底哪位同学说的正确呢，贾超同学，你手举得最高，你来说，你说h从90到100时，t变化了0.06s，所以h从100到110cm时，t的变化小于等于0.06s，所以t在1.29s到1.35s间都可以，分析很透彻，掌声送给他。刚才分析的都是变化的量。本题中有哪些量是不变的呢？冷心同学，对，小车的大小和形状，还有木板长度都没有变。下面我们再来看议一议的题目。如果用x表示时间，y表示我国人口总数。观察表格随着x的变化，Y的变化趋势是什么呢？张鑫同学。你说随着x的增大，y也增大。那从1949年起，时间每向后推移十年，人口数量是怎样变化的呢？小组合作探究一下。一组同学，人口数量是越来越多，但是变化越来越小。还有不同的说法吗？三组同学。你通过作差法发现时间每推后十年，我国人口增加1.5亿左右，但最后十年增加量约为0.76亿，为什么最后十年增加量这么小呢，因为当时我国实行了计划生育政策。我们回顾这两个题目，高度h，时间t。时间x和人口数量y都是变化的。我们将他们叫做变量。而这里时间t随高度h的变化而变化。我们将h叫做自变量，t叫做因变量。你能找出这一小题的自变量和因变量吗？王燕同学，时间x是自变量。人口数量y是因变量。在这一题中，我们说木板长度一直没有变化，像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量。刚才我们借用表格来表示因变量随自变量变化而变化的情况。生活处处都有数学，生活中有哪些例子反映了变量之间的关系呢？王伟同学，气温随时间的变化。同桌，脉搏谁运动的强度而产生变化。同学们都有一双善于发现的眼睛。让我们趁热打铁，做个练习巩固一下，请看随堂练习。阅读题干，回答第一二小问。侯磊同学，答案很准确。根据表格中的数据，你认为氮肥施肥用量是多少时比较适宜？侯娜同学，你觉得336时比较适宜，因为此时土豆产量最高。有不同意见吗？王菲，259时比较适宜，因为此时土豆产量与施用量为336时差不多，而又可以节约肥料。看来同学们已经学会了如何从表格中获取信息。这节课同学们表现得很活跃，通过本节课的学习，你有哪些收获或者哪些疑惑需要与老师交流呢？寻找自变量和因变量，还知道了变量之间的关系。从表中获取信息来认识世界，预测未来，并解决实际生活中的问题4.1认识三角形同学们，请看大屏幕，这是老师拍摄的老家房屋顶框架图，你能找出图中的三角形吗？王鑫同学，你找到了7个，有不同答案吗？贾鑫同学，你找到了10个，你是怎么找的呢？哦，先找出一个三角形的，再找由两个小三角形构成的三角形，以此类推，思维真缜密，请坐。这些三角形之间有什么共同特征呢？刘超同学，三个顶点三条边三个内角，还有补充吗？王华，三条边都是由线段构成，且首尾顺次相接，观察的很仔细。具有上述特征的图形就是三角形，来看定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。这里要注意1、三条线段不在同一直线上，2、首尾顺次相接。请看老师抽象出来的示意图三角形ABC，它的三个顶点是，A,B,C，可以记作▲ABC。三边是AB,AC,BC，我们可以把顶点A所对应的边记作a，把顶点BC所对应的边记作b，c生活中处处都有数学，你能举出生活中的三角形吗？王娜同学，三角形衣架。刘洋，山地自行车前架，大家都有一双善于发现的眼睛。我们继续探索，三角形的内角和等于多少度呢，对，180°。拿出课前准备好的三角形纸片，小组合作探究一下如何得到这一结论。刚刚同学们讨论的都很热烈，一组，通过测量得到的，三组，将三角形三个角撕下来拼在一起得到一个平角，五组，你们小组只撕了一个角，那请你来给同学们分析一下吧，分析的很透彻，大家掌声送给他们。根据刚才的方法，将▲ABC的∠1放在这个位置，记为∠4，使∠4顶点与∠3顶点重合，它的一边与∠3的一边重合，因为∠1=∠4，所以AB∥CD，故根据两直线平行，同旁角互补得到内角和为180°.同学们换一个三角形纸片，重复上述过程，你能得到相同结论吗，嗯，所以我们发现三角形内角和等于180°，如何用符号语言来描述呢，王丽：在▲ABC中，∠1+∠2+∠3=180°下面我们通过习题加深理解，请看习题第一小题我们根据这条性质来做一个小游戏，老师有三个三角形，但是残缺了两个角只剩一个角，你能猜出这两个内角时什么角吗？来看第一个钝角，王菲你手举得最高，根据三角形内角和为180°，剩余两个角和为锐角，故每一个都是锐角，思维清晰。我们把一个内角是钝角的三角形称为钝角三角形。来看第二个直角，张雷同学，你类比上一个小题方法，得到这两个角都是锐角，学以致用很好。我们把有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。来看最后一个锐角，小组之间交流讨论，二组同学，你们说有三种情况，分别是1、两个锐角2、一个钝角一个锐角3，一个锐角一个直角，思维缜密，我们把三个角都是锐角的三角形成为锐角三角形这是我们按三角形内角大小分成的三类，其中直角三角形ABC，我们可以用符号RT▲ABC表示，把直角所对应的边称为斜边，夹直角的两边成为直角边，我们进一步观察，这两个锐角三角形之间有什么关系呢，孙欣同学，两锐角之和等于90°，于是我们发现之间三角形两锐角互余，符号语言可以描述为：在RT▲ABC中，∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°趁热打铁，做个练习巩固一下，你能角将这些三角形分类吗，刘林，答案很准确。我们来解决一个实际问题，请看习题的第5小题，对照大屏幕上的答案。三角形的定义、性质和分类，学会利用这些知识解决实际问题。4.3探索三角形全等的条件同学们请看大屏幕，这是世界第一斜拉桥的效果图。你能找到其中的全等三角形吗？王超同学。嗯，找到很准确。你能告诉老师你是如何判断它们全等的吗？哦，你是根据定义能够完全重合的两个三角形全等得到的。但有时候受条件的限制，我们无法用定义判断。那又该如何来判断呢？三角形全等的条件都有什么呢？让我们带着这个问题走进今天的学习。判断一个三角形全等需要几个条件呢？我们先从最简单的入手，如果只给出一个条件，画三角形，这个条件可能是什么？汪洋同学，可能是一条边或者一个角，请坐。请同学们画一个其中一条边为3cm的三角形，与你身边的同学画的对比一下它们一样吗？看来一条边