2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷四

考前30天冲刺高考模拟考试卷(4)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合人={-3,-2,-1,23},B={x|(x+3)(x-2)<0},WJ=(

)

A.(—3,—2，—1,2}B.{-2,-1,2)

C.{-2,-1}D.{—2,-1,2,3)

2.(5分)若复数z=(l-2i)2,则|l-z|=()

A.20B.2y/5C.32D.4>/2

3.(5分)“a,b,c成等比数列"是“力，b2,0?成等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.(5分)函数/(x)=x+色区的图象大致为()

X

5.(5分)将函数/(x)=2sinxcosx-cos2x的图象向左平移。个单位长度，得到函数g(x)的

图象，则下列结论正确的是

()

A.函数g(x)的最小正周期为2万

B.函数g(x)的图象关于直线x=A对称

C.函数g（x）的图象关于点（二,0）对称

4

D.函数g（x）在区间［-（,（）］上单调递增

6.（5分）赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，由

匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史.赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱

顶至石拱两脚连线的高度）为7.23米.设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r

22

为A精确到整数部分的近似值.已知双曲线C:二-工=1（〃>0）的焦距为r,则C的离心

a2192

率为（）（参考数据：7.232+18.852=407.6）

A.5B.6C.7D.8

7.（5分）己知定义在R上的可导函数/（x）满足r（x）+/（x）>0,令a="：r）（meR）,

b=f（1）,则有（）

A.a..bB.a>bC.《，bD.a<b

8.（5分）抛物线V=4x的焦点为尸，点P（x,y）为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准

线与坐标轴的交点，则咧的最大值是（）

|尸尸|

A.2B.6C.—D.—

32

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得。分。

9.（5分）关于圆C:d+y2-日+2y+142-%+i=o,下列说法正确的是（）

4

A.A的取值范围是人>0

B.若左=4,过M（3,4）的直线与圆C相交所得弦长为26，其方程为12x-5y-16=0

C.若4=4,圆C与Y+y2=i相交

12

D.若％=4,m>0,〃>0,直线，nr--1=0恒过圆C的圆心，则一十—..8恒成立

mn

10.已知P为AABC所在平面内一点，则下列正确的是（）

A.若胡+3而+2斤=0,则点「在乙48。的中位线上

B.若阳+而+定=0,则P为A48C的重心

C.若丽•近>0,则A48C为锐角三角形

__।7

D.若丽=-而+—/，则入钻。与443尸的面积比为3:2

33

11.函数f（x）的定义域为/.若三”>0使得Vxw/均有|/（x）|<M,且函数f（x+l）是偶函

数，则/（幻可以是（）

X,71

A.f(x)=\ln--|B.f\x)=sin(—x)+cos(2乃x)

2-x

OQRQ

C./(x)=———-D.f(x)=

2*+24l,xeQ

12.（5分）将边长为2的正方形ABC。沿对角线如折成直二面角A-3£）-C,点P为线

段4）上的一动点，下列结论正确的是（）

A.异面直线AC与5D所成的角为60。

B.AACQ是等边三角形

C.ABCP面积的最小值为亚

3

D.四面体MC£>的外接球的表面积为81

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不

同的安排方法共有一种.

14.（5分）写出一个关于“与人的等式，使之+=是一个变量，且它的最小值为16,则该

a2b2

等式为—.

22

15.（5分）已知椭圆£:，+当=l（a>b>0）的右顶点为P,右焦点F与抛物线G的焦点

a"b"

重合，G的顶点与a的中心O重合.若G与G相交于点A，B,且四边形。4依为菱形,

则G的离心率为.

16.（5分）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖

杯的剖面图形如图所示，其中扇形。48的半径为10,NPB4=NQAB=60。，AQ=QP=PB,

若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时.

()

op

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在①3S“+1=S,,+1,②S"+a“=l；③q=l,。，向=2S“+1这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列｛4｝的前"项和为5,,,且满足一.

(1)求｛七｝的通项公式；

(2)求4%+%。5+%%+的值.

18.(12分)如图，在AABC中，ABLAC,AB=AC=2,点£,尸是线段5c(含端点)

上的动点，且点石在点厂的右下方，在运动的过程中，始终保持/"尸=工不变，设

4

=6弧度.

(1)写出e的取值范围，并分别求线段小，A尸关于，的函数关系式；

(2)求AE4F面积S的最小值.

19.(12分)如图，在底面为矩形的四棱锥P-ABCZ)中，A4_L底面ABCD,E,尸分别

为侧棱尸£),总的中点，S.PA^AD=2AB=4.

(1)证明：平面AEF_L平面PCD.

(2)若PC是平面a的一个法向量，求a与平面A砂所成锐二面角的余弦值.

■H

20.（12分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3

局即获胜，比赛结束）.比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜

的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛,

中每局获胜的概率为2.

3

（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率.

21.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C:\+£=l（a>b>0）的离心率为且，右焦

a'b'2

点为F2,上顶点为A,，点P（a,b）到直线F2\的距离等于1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线/:y=fcr+加（机>0）与椭圆C相交于A,8两点，D为AB中点，直线DE,DF分

别与圆卬:/+（>_3M2=加相切于点E,F,求NEWF的最小值.

22.（12分）已知函数f（x）=f—2（aeR）.

sinx

⑴若曲线尸/（X）在点吟，吗））处的切线经过坐标原点，求实数“；

（2）当a>0时，判断函数/3）在工£（0,万）上的零点个数，并说明理由.

考前30天冲刺高考模拟考试卷（4）答案

1.解：•.•集合A={-3,-2,-1,2,3},

B={x［（x+3）（x-2）<0}={x|-3<x<2},

AQB={-2,-1}.

故选：C.

2.解：由题设知：z=(l-2i)2=1-4-4/=-3-4/,

二1-z=4+47，11—z|=《4。+4?=4^/2,

故选：D.

3.解：若a,b,c成等比数列，则从=ac,

此时a2c2=(ac)2=",则/,/成等比数列，即充分性成立，

反之当a=l,b=\,c=-l时满足/,b2,02成等比数列，但a,b,c不成等比数列，

即必要性不成立，

即“a,b,c成等比数列”是廿,,?成等比数列”的充分不必要条件，

故选：A.

4.解：函数y=/(x)为奇函数，所以8选项错误；

又因为f(1)=1>0,所以C选项错误；

又因为/(2)=2+㈣>0,所以。选项错误.

故选：A.

5.解：将函数/(x)=2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=JJsin(2x-5)的图象向左平移？

个单位长度，得到函数g(x)=拒sin[2(x+§-个=点sin(2x+粉的图象，

可得函数g(x)的最小正周期为7=1=不，故A错误；

令x=3,求得g(3)=应sin^|〈拒，故5错误；

令工=工，求得g(代)=7^sin@*0,故C错误；

4412

在上，2x+*(-；,*，可得g(x)=Ain(2x+粉的图象单调递增，故。正

确.

故选：D.

6.解:由题意知，R2=(?)2+(/?-7.23)2,

14.46/?=7.232+18.852»407.6,

28.19,

.-.r=28,

•.•a2+192=(-)2=142=196.

..47—2，

r

离心率e=2」=7

a2

故选：c.

7.解：设g(x)=e"(x),

-.•r(x)+/(x)>o,

g'(x)=e'(f\x)+f(x))>0

.•・函数g(x)为R上的增函数,

tn-m2=-(/m——L)+一1<1।，

24

g(/n-m2)<g(1),

即才-"(1),

./J”〉)

<f(1),即avb,

in'-tn+i

e

故选：D.

8.解：设直线E4的倾斜角为a,设PP垂直于准线于P,

由抛物线的性质可得IPPR尸产I，

所以则咧=也=,，

\PF\|PP|cos(9

当cose最小时，则咧值最大,

\PF\

所以当直线A4与抛物线相切时，6最大，即cos，最小,

由题意可得A(-1,O),

设切线PA的方程为：x=my,

x=my-1,整理可得>2_斩了+4=0,

y=4x

△=坨〃?？-16=0,可得加=±1,

将加=±1代入y?—4机>+4=0,可得y=±2,所以x=l,

即P的横坐标为1,即P的坐标(1,±2),

所以1PAi=2五，|PP|=l-(-l)=2,

所以册的最大值为：当地,

9.解：圆C的标准方程为：(X-勺2+(y+i)2=/,故A正确：

当左=4时，圆C的圆心(2,-1),半径为2,

对于选项8,当直线为x=3时，该直线过点例，此时截得弦长为2/，故选项8不正确;

对于选项C,两圆的圆心距为J(2-Op+(-1-0)2=石,

大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；

对于选项。，易得2/%+/2-1=0,即26+九=1,m>0,n>0,

12z12s、.n.m

—i—=(—i—)(2租+〃)=4H-----F4—..8n,

mnmnmn

当且仅当e=4'，即"=2加=2时取等号，故正确.

mn2

故选：ACD.

10.解：设Afi中点。，BC中点E,

若西+3方+2无=0,则西+而+2(而+玩)=0,

所以2亦+4而=0,即所=-2而，

所以P为DE的三分点，A正确；

^PA+PB+PC=O,

贝IJ2所+定=0,

所以P在中线CO上且CP=2PZ),即P为三角形重心，B正确;

若丽.蔗＞0,则A为锐角，但不能确定3,C,故AABC不一定为锐角三角形，C错误;

若衣=；荏+|/，则g(福_明+2(而一羽=6,

即丽+2元=6，

所以尸为BC上靠近C的三等分点,

所以8P=2PC,

故2\/$。与4曲的面积比为3:2,。正确.

故选：ABD.

11.解：当了—>0时，-...>0,则^^--->-oo,f(x)->-h»,/(x)无界，A错误;

2—x2—x

/(x+l)=sin(—x+—)+cos(2^x+2兀)=cosyx+cos2兀x为偶函数，且|/(x+1)|2,B

正确;

因为2，>0,2+2*>2,

1

所以一V->

42+2、4

所以"(x)l＜；，存在符合题意的

1____

因为y(x+i)=

2r+'+2-4

2X

f(—x+1)=-----------=

2-川+242+2v+14

2X11+2，1八

所以/(-x+l)+f(x+l)=c、/+cc-----=----------=(J

2,+l+242+2r142+22

故/(x+1)为奇函数，不符合题意;

fM=

因为-x+l与x+1要么都是有理数，要么都是无理数，

所以/(x+l)=/(_x+l),

故/(X+D为偶函数，符合题意.

故选：BD.

12.解：对于A,因为8O_LOA,BDVOC,OA^\OC=0,

所以3£>_L平面AOC,ACu平面AOC,

所以3£>_LAC,异面直线AC与89所成的角为90。，不是60。，所以A错;

对于8,因为OA=OC=(AC=J^,所以AC="(&)?+(曰=2,同理QC=2,

所的AACD是等边三角形，所以8对；

对于C,因为8C=2,所以要求ABCP面积的最小值，

只须求边上高的最小值，此最小值恰为异面直线相>与BC的距离，设为人，

因为AD//3C,BCu平面BCC,AO0平面3CC,所以A。//平面3CC,

又因为3Cu平面BCC,所以直线4)到平面8CC距离即为/?,

即点。到平面BCC距离为/z,

因为％-89=匕-4。，所以g，-22-sin60°/=gg"•应,解得"=半,

所以ABCP面积的最小值.也=亚，所以C对；

2233

对于。，四面体AfiCD的外接球的球心为O,半径为R=应，

所以表面积为4万7?2=阮，所以。对.

故选：BCD.

13.解：由题意可得不同的安排方法共有C；屐=70,

故答案为：70.

14.解：该等式为〃+从=1,下面证明该等式符合条件.

4+卷=(-1+台(。2+6)=1+9+(+!..10+2住。^=16,

a~ba~b~b~a~Vb~a~

当且仅当k=34时取等号,

所吟+:

是一个变量,且它的最小值为16.

故答案为：a2-\-b'=\.

5解：由题意设抛物线的方程为八2叫焦点F坐标修。),

由题意可得”=c,

2

由四边形OAPB为菱形可得AB与OP互相垂直平分，设A在x轴上方,

所以可得吗，J2P£),即味辰),

Ic1)nr

代入椭圆的方程为：3+与=1,而后=4—。2,

a2b-

整理可得：3/+8e-3=0,解得e=,，

3

16.解：作OMLQP交QP于V,交他于C,且OCJ.AS,设NAOC=6,

则A8=20sin6,OC=10cos6»,

i&AQ=QP=BP=x,作QE_LA8交4?于E,PFLAB交AB于F,

ZPBA=ZQAB=60°,AE=BF=^x,CM=PF=^-x,

EF=QP=x,:.AB=2x,则他=20sin6=2x,即x=10sin9,

(9M=OC+CM=10cos6»+^x=10cos6»+5x/3sin6>,

.-.OP2=<?M2+MP2=(10cos6»+5^sin6»)2+(5sin61)2

=1OOcos20+75sin20+100/sin6»cos0+25sin20

=100+5073sin2(9.

•.•sin20e[-l,Ij,.•.当sin2，=l,即，=；时，。尸最大,

也就是OP最长时，ZAOB=-.

2

71

故答案为:

2

17.解：若选①:

(1)3s〃+]=S“+1,当〃=1时，3S0=S[+1,即3q+3a2=q+1,

因为的=",所以q=；,

当”..2时，3S„=S„_,+1,所以3a“”=a"，即％1=1，

43

又皈=1,所以-=1,〃eN*,

43an3

所以数列｛q｝是以g为首项，g为公比的等比数列，

所以％=(3’.

⑵**=♦*",

c

所以4%+03a5+a5h+…+%〃一。〃+1=(2)」+(：)'+—+(2)'"

（孑口一小力「34

若选②：

（1）因为S“+a“=l,当〃=1时，可得4=」，

当〃..2时，Si+a,i=l,可得2a“=a,—,即=

%2

所以数列数列｛《,｝是以g为首项，g为公比的等比数列,

所以/=（；）"-

若选③:

(1)4=1,a„+1=25„+1,

当〃=1时，4=2S1+1=3,

当〃..2时，4=2S,i+1,

两式相减得4田=3%,即也=3,

%

又0_=3,所以也=3,MN*,

所以数列｛%｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

所以

(2)=34n,所以4a3+a3a5+4%+••,+=3?+3‘+...+34/,

32M

1-3*4

18.解：（1）由ABJLAC,点石，尸是线段8c（含端点）上的动点,

且点石在点尸的右下方，/£4尸=工不变，可知。£。勺.

44

AF

在4院中，由正弦定理可得」巴A8

.71•/34八、

sin-sm(--6)

4

.­.AE=―[—

sin(子-0)

4F

在AAB/中，由正弦定理可得幺AB

sin-sin(--0)

42

z.AF=^~,

cos。

（2）由（1）可得,

SMKF=gIAE||AF|sin?=乎x—3—x名

244si哼一6)co，，

22jr

,0e[O,-],

l+cos26+sin281+72sin(20+^)4

/.sin(26+?)£[^』],

三角形AAEF的面积的最小值为2(a-1),此时6=工.

8

19.解：(1)证明：底面ABCD,.•.P4_LCZ),

在矩形ABC£＞中，CDLAD,

■：AD[\PA=A,.•.8_L平面/W),则C£)_LAE,

-.PA=AD,E为PD的中点，:.AEYPD,

又C£＞nPO=。，.,-A£'"L平面PCD，

•rAEu平面AEF,平面97,平面PC£＞；

(2)以A为坐标原点，分别以AB,4)所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标

系.

A(0,0,0),P(4,0,0),E(2,0,2),F(2,1,0),(0,2,4),

荏=(2,0,2),通=(2,1,0),PC=(-4,2,4),

设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),

il♦AE=2x+2z=0

在・取％=1得―T),

rl-AF=2x+y=0

—►-12J6

cos<PC,n>=----尸=----.

6x>/63

故a与平面AEF所成锐二面角的余弦值为好.

3

20.解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(x=o)=(f+G.|.(yU，

p(x=D=c1ew*

P(X=2)=C：.(|)2.(吴|吟，

P(X=3)=C；.($2

所以X的分布列为

X0123

p81616

98?8?27

所以数学期望E(X)=0*2+lx*+2x竺+3x^=吧.

981812781

(2)记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A,

设第i场甲、乙两队积分分别为X,,工，则X,=3-Y，i=l,2,

因两队积分相等，所以X1+Xz=X+X，即X1+X?=(3-XJ+G-X?),则X1+X?=3,

所以P(A)

=尸(凡=0)尸氏=3)+尸(凡=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X,=1)+P(X,=3)P(X2=0)

1168161681611120

——V______I______y_______I______V_______I______V——_________

92781818181279~6561

21.解：(1)直线6A)的方程为二+)=l=>fer+勺一Z?c=0.

cb

ah+be-beah

P(a,b)到直线F\的距离为=b=l.

2Jb2+c2a

而£=2^,a2=h2+c2,

a2

.a=2,